Cours Fonctions ciculaires réciproques

Cours Fonctions ciculaires r´eciproques
3 octobre 2006
0.1 Fonctions circulaires r´eciproques
D´efinition 1. La fontion sinus r´ealise une bijection strictement croissante
de [−π/2, π/2] sur [−1,1] ; sa bijection r´eciproque s’appelle la fonction arc-
sinus, not´ee arcsin.
La fonction arcsin r´elise une bijection strcitement croissante de [−1,1]
sur [−π/2, π/2] ; arcsin xest le r´eel θ∈[−π/2, π/2] qui v´erifie
sin θ=x.
Proposition 0.1. On a pour tout x∈[−1,1]
sin arcsin x=x.
De plus on a
arcsin sin x=x⇔x∈[−π
2,π 2].
Attention : On n’a pas toujours arcsin sin x=x, en effet par exemple
pour x=π, sin x= 0 donc arcsin sin x= 0 et 0 6=π.
Proposition 0.2. La fonction arcsin est impaire.
D´efinition 2. La fonction cosinus r´ealise une bijection strictement d´ecroissante
de [0, π]sur [−1,1] ; on appele sa bijection r´eciproque la fonction arccosinus,
not´ee arccos.
La fonction arccos r´elise une bijection strcitement d´ecroissante de [−1,1]
sur [0, π] ; arccos xest le r´eel θ∈[0, π] qui v´erifie
cos θ=x.
Proposition 0.3. On a pour tout x∈[−1,1]
cos arccos x=x.
De plus on a
arccos cos x=x⇔x∈[0, π].
1

Attention : On n’a pas toujours arccos cos x=x, en effet par exemple
pour x= 2π, cos x= 1 donc arccos cos x= 0 et 0 6= 2π.
Proposition 0.4. Pour tout x∈[−1,1] :
arccos(−x) = π−arccos(x).
Proposition 0.5. On a les propri´et´es suivantes :
(i) Pour tout x∈[−1,1] :
cos(arcsin x) = p1−x2
sin(arccos x) = p1−x2.
(ii) Pour tout x∈[−1,1] :
arcsin x+ arccos x=π
2.
(iii) Les fonctions arccos et arcsin sont d´erivables sur [−1,1] et
arccos0(x) = −1
√1−x2
arcsin0(x) = 1
√1−x2
•La fonction arctangente :
D´efinition 3. La fontion tangente r´ealise une bijection strictement crois-
sante de ]−π/2, π/2[ sur [−1,1] ; sa bijection r´eciproque s’appelle la fonction
arctangente, not´ee arctan.
La fonction arctan r´elise une bijection strcitement croissante de [−1,1]
sur ] −π/2, π/2[ ; arctan xest le r´eel θ∈]−π/2, π/2[ qui v´erifie
tan θ=x.
Proposition 0.6. On a pour tout x∈[−1,1]
tan arctan x=x.
De plus on a
arctan tan x=x⇔x∈]−π/2, π/2[.
Attention : On n’a pas toujours arctan tan x=x, en effet par exemple
pour x=π,tanx = 0 donc arctan tan x= 0 et 0 6=π.
Proposition 0.7. La fonction arctan est impaire.
Proposition 0.8. On a les propri´et´es suivantes :
2

(i) Pour tout x∈[−1,1] :
cos(arctan x) = 1
√1 + x2
sin(arctan x) = x
√1 + x2.
(ii) Pour tout x∈[−1,1] :
arctan x+ arctan 1
x=sgn(x)π 2.
(iii) La fonctions arctan est d´erivable sur [−1,1] et
arctan0(x) = 1
1 + x2.
1 Fonctions hyperboliques et hyperboliques r´eciproques
1.1 Fonctions hyperboliques
•Les fonction cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique :
D´efinition 4. Les fonctions sinus et cosinus hyperbolique, not´ee respective-
ment sh et ch, sont d´efinies par
ch (x) = ex+e−x
2
sh (x) = ex−e−x
2
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