Fonctions trigonométriques et réciproques

Fonctions trigonométriques et réciproques
Fonction sinus et réciproque
La fonction sinus
 Df = ℝ
 Fonction impaire : ∀ x ∈ Df, sin(-x) = – sin(x)
 Périodicité de 2π : ∀ x ∈ Df, sin(x + 2π) = sin(x)
𝜋
 Maximum pour sin(2 ) = 1 [2π]
𝜋
Minimum pour sin(− 2 ) = -1 [2π]
 Pas de limites car varies en -1 et 1
 Racines : Sin(x) = 0  x = 0 [π]
 sin’(x) = cos(x)
𝜋 𝜋
𝜋 3𝜋
La fonction est croissante sur [− 2 ; 2 ] et décroissante sur [ 2 ;
2
]
La réciproque de la fonction sinus
𝜋 𝜋
La restriction de la fonction sinus sur [− 2 ; 2 ] est bijective (pour une valeur de y, on a une
seule valeur x).
On peut définir sa réciproque notée sin-1 ou plutôt Arcsin ou asin.
sin(Arcsin x) = x
sin o Arcsin(x) = identité
sin(x) = y  x = Arcsin(y) [2π]
Dérivons sin(Arcsin x) = x.
Arcsin’(x) × cos(Arcsin x) = 1
Arcsin’(x) √1 − sin⁡(𝐴𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛⁡𝑥)² = 1
1
Arcsin’(x) =
√1−𝑥²
Fonction cosinus et réciproque
La fonction cosinus
 Df = ℝ
 Fonction paire : ∀ x ∈ Df, cos(-x) = cos(x)
 Périodicité de 2π : ∀ x ∈ Df, cos(x + 2π) = cos(x)
 Maximum pour cos(0) = 1 [2π]
Minimum pour cos(π) = -1 [2π]
 Pas de limites car varies en -1 et 1
𝜋
 Racines : cos(x) = 0  x = 2 [π]
 cos’(x) = -sin(x)
La fonction est croissante sur [-π ; 0] et décroissante sur [0 ; π]
La réciproque de la fonction cosinus
La restriction de la fonction cosinus sur [0 ; π] est bijective (pour une valeur de y, on a une
seule valeur de x).
On peut définir sa réciproque notée cos-1 ou plutôt Arccos ou acos.
cos (Arccos x) = x
cos o Arccos(x) = identité
cos x = y  x = Arccos(y) [2π]
Dérivons cos (Arccos x) = x.
Arccos’(x) × (–sin(Arccos x)) = 1
– Arccos’(x) √1 − cos⁡(𝐴𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠⁡𝑥)² = 1
−⁡1
Arccos’(x) =
√1−𝑥²
Fonction tangente et réciproque
La fonction tangente
 Df = ℝ\{π [π]}
 Fonction impaire : ∀ x ∈ Df, tan(-x) = – tan(x)
 Périodicité de 2π : ∀ x ∈ Df, tan(x + 2π) = sin(x)
 Maximum lim− tan 𝑥 = +∞ [2π]
𝑥→𝜋
Minimum lim + tan 𝑥 = ⁡ −∞ [2π]
𝑥→−𝜋
 Pas de limites car varies entre −∞ et +∞
 Racines : tan(x) = 0  x = 0 [2π]
cos 𝑥
 tan’(x) = − sin 𝑥
La fonction est strictement croissante sur ]-π ; π[
La réciproque de la fonction tangente
La restriction de la fonction tangente sur ]-π ; π[ est bijective (pour une valeur de y, on a une
seule valeur de x).
On peut définir sa réciproque notée tan-1 ou plutôt Arctan ou atan.
tan(Arctan x) = x
tan o Arctan(x) = identité
Dérivons la fonction tan(Arctan x) = x.
Arctan’(x) × (1 + tan²(Arctan x)) = 1
Arctan’(x) × (1 + x²) = 1
1
Arctan’(x) = 1⁡+⁡𝑥²