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ALGÈBRE ET ANALYSE (II)
Partie 2 (Analyse)
Chapitre I
DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS ET INTEGRALES
EXERCICES DE RÉVISIONS: ANALYSE (II)-CHAPITRE I
Développement Limité
2
n
h 0
Formule de Taylor-Young: f (x0 + h) = f (x0 ) + 1!
f (h) + h2! f 00 (h) + ::: hn! f (n) (h) + O(hn ):
2
n
Formule de Taylor: f (x) = f (x0 ) + x 1!x0 f 0 (x0 ) + (x 2!x0 ) f 00 (x0 ) + ::: (x n!x0 ) f (n) (x0 ) + O((x
x0 )n ):
Intégrales Dé…nies
Géométriquement, l’intégrale dé…nie d’une fonction mesure algébriquement la surface comprise
Rb
entre la courbe de la fonction et l’axe des x: Elle est notée par a f (x)dx:
Rb
1
f (x)dx représente la moyenne de f sur [a; b]; notée f ou hf i:
Rb
R ba a a
f (x)dx =
f (x)dx:
b
Rab
Rb
Rb
[
f
(x)
+
g(x)]
dx =
f (x)dx + a g(x)dx:
a
a
Rb
Rc
Rb
f (x)dx = a f (x)dx + c g(x)dx: (Relation de Chasles.)
a
Rb
Si 8x 2 [a; b]; f (x) = 0 alors a f (x)dx = 0:
Rb
Si f est continue et f > 0 sur [a; b] et a f (x)dx = 0 alors f (x) = 0 sur [a; b]:
Si a < b et m 6 f 6 M sur [a; b] alors m 6 hf i 6 M:
Rb
Rb
Si a < b et f 6 g sur [a; b] alors a f (x)dx 6 a g(x)dx:
Rb
Rb
Si a < b alors a f (x)dx 6 a jf (x)j dx:
Rb
Si a < b alors a f (x)dx 6 (b a) sup jf (x)j :
Si a < b alors
Rb
a
x2[a;b]
f (x)g(x)dx 6 sup jf (x)j
x2[a;b]
Rb
a
jg(x)j dx:
Calcul des Primitives
F est appelée une primitive de f si elle est Rdérivable et si F 0 (x) = f (x):
Elle est calculée par F (x) = f (x)dx:
F (x) +R C est aussi une primitive de f car F 0 (x) + 0 = F 0 (x) = f (x):
x
F (x) = a f (t)dt est aussi une primitive de f , qui s’annule en a : F (a) = 0:
Rb
b
Si F est une primitive de f alors a f (x)dx = [F (x)]a = F (b) F (a):
R
b
b
Si f est de classe C 1 sur [a; b] alor a f 0 (x)dx = [f (x)]a = f (b) f (a):
Rb
R
b
b
f (x)g(x)dx = [F (x)g(x)]a
f (x)G(x)dx: (Intégration par parties.)
a
Rab
R
u(b)
0
f (u(x))u (x)dx = u(a) f (u)du: (Changement de Variable x ! u.)
a
Intégrales Généralisées (ou Impropres)
L’intégrale généralisée de f est une intégrale sur un intervalle non fermé ]a; b] ou [a; b[ ou ]a; b[.
Ce genre d’intégrales peuvent ne pas être convergentes.
Rb
Sur ]a; b] on véri…e si lim+ t f (x)dx est …nie: l’intégrale est dite alors convergente sinon divergente.
t!a R
t
Sur [a; b[ on véri…e si lim a f (x)dx est …nie: l’intégrale est dite alors convergente sinon divergente.
t!b
Rb
Rc
Rt
Rb
Rc
Sur ]a; b[ on écrit a f (x)dx = a f (x)dx + c f (x)dx puis on véri…e lim+ t f (x)dx et lim c f (x)dx.
t!aR
t!b
Rb
+1
Sur ] 1; b[ on véri…e lim
f (x)dx. Sur [a; +1[ on véri…e lim a f (x)dx.
1
t! 1
t!+1
Rc
R +1
R +1
Sur ] 1; 1[ on écrit 1 f (x)dx = 1 f (x)dx + c f (x)dx et on véri…e les deux intégrales.
R +1
f est dite sommable sur [a; +1[ si a jf (x)j dx est convergente. (Dite aussi absolument convergente)
R1
R1
R1
R1
Si 0 < f 6 g sur [a; +1[ alors: a f dx (div.) ) a g dx (div.), a g dx (conv.) ) a f dx (conv.)
R +1
R +1
Si f
g sur [a; +1[ alors a f dx et a g dx convergent ou divergent ensemble.
+1
R +1
R +1
Si a jf j dx converge alors ) a f dx converge aussi.
F. HAMMAD
http://exerev.yolasite.com
-
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Quelques Fonctions Particulières
sin x
Les Fonctions Trigonométriques et leurs réciproques:
(sin x, cos x). Dé…nies 8x 2 R:
sin x. (Impaire.) cos
sin2 x + cos2 x = 1:
R x: (Paire.)
0
(sin x) = cos x:
Rsin xdx = cos x + C:
(cos x)0 = sin x.
cos xdx = sin x + C:
1)n x2n+1
x5
x3
+ ::: sin x x:
sin x = x 3! + 5! ::: + ( (2n+1)!
x2
x4
2! + 4!
sin x
= cos
x : Dé…nie
2
0
cos x = 1
::: +
( 1)n x2n
(2n)!
(2k+1)
2R :
1
-π
-1
arcsin x = x +
arccos x =
2
arctan x=x
x
6
+
3x
40
x3
6
+ :::
+ :::
cos x
x!0
1)n+1 xn
n
La Fonction Exponentiel: exp(x)
lim ex = 0:
x! 1
arccos x
π
π/2
-1
1 x
0
-1
-π/2
x:
π/2
ln x
ex
x!+1
+ :::
ln(1+x)
0
0
x:
x
1
F. HAMMAD
1
x
0
ex .
Dé…nie 8x 2 R:
0
lim ex = +1:
ch x
sh x
1
0
x
x
0
1
x!+1
th x
p 1
;
x2 +1
argsh x = ln (x +
x
-π/2
sh 0 = 0; ch 0 = 1:
ch x + sh x = ex :
ch2 x sh2 x = 1: 1 th2 x = ch12 x :
0
0
0
2
1
Rsh x = ch x: ch x = sh
R x: th x = 1 th x = ch 2 x :
sh xdx = ch x + C:
ch xdx = sh x + C.
x3
x2n+1
sh x = x + 3! + ::: + (2n+1)! + ::: (sh x x:)
ch x = 1 +
(argsh x) =
1 x
0
arctan x
0
x:
Les Fonctions Hyperboliques et leurs réciproques:
x
x
x
x
sh x
sh x= e 2e ; ch x= e +e
; th x= ch
2
x : ([Ang]: sinh; cosh , tanh )
0
x
x
arcsin x
π/2
e0 = 1: (ex )y = exy : ex ey = ex+y : eln x = x: ln ex = x:
x
ax = eln a = exR ln a : (Appelé exponentielle de base a)
x 0
x
(e ) = e :
ex dx = ex + C.
n
2
0:
ex = 1 + x + x2! + ::: + xn! + ::: ex 1: ex
ln e = 1:
π/2
0
-π/2
0
arcsin x
:::+ (
π
0
-1
x2
2 :
1
0
cos x
sin x :
0
3x5
x
arccos x 2 :
40 :::
0
( 1)n x2n+1
x3
x5
+
+:::+
+
:::
arctan x
3
5
2n+1
0
x2
x3
2 + 3
1
tanx
La Fonction Logarithme Népérien: ln x. Dé…nie 8x > 0:
ln 1 = 0: ln(xy) = ln x + ln y: ln( xy ) = ln x–ln y: ln xy = y ln x:
x
loga x = ln
(Appelée logarithme de base a:)
ln a : R
1
0
(ln x) = x :
ln xdx = x1 + C. lim+ ln x= 1: lim ln x=+1:
ln(1 + x) = x
-π
0
(arcsin x, arccos x) Dé…nies pour x 2 [–1; 1]: ( arctan x) Déf. sur R:
arcsin x + arccos x = 2 : arccos x + arccos(–x) = :
arctan x + arctan x1 = f 2 si x < 0; 2 si x > 0g:
1
(arccos x)0 = p1 1x2 : (arcsin x)0 = p11 x2 : (arctan x)0 = 1+x
2:
5
x
π
0
tan x
8x 6=
( cot x =
x 6= k :)
tan xdx = ln jcos xj + C:
(tan x) = 1 + tan x = cos12 x :
3
5
tan x = x + x3 + 2x
( tan x x:)
15 + :::
3
cos x
p
0
(argch x) =
x2 + 1):
0
p 1
;
x2 1
0
1
0
x2
2!
+ ::: +
x2n
(2n)!
+ ::: (sh x
1
1 x2 :
(argth x) =
p
argch x = ln (x + x2 1) (x > 1):
http://exerev.yolasite.com
x
-1
argth x =
-
1
2
ln
1+x
1 x
0
x:)
(–1<x<1:)
http://sites.google.com/site/exerev