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ALGÈBRE ET ANALYSE (II)
Partie 2 (Analyse)
Chapitre I
DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS ET INTEGRALES

EXERCICES DE RÉVISIONS: ANALYSE (II)-CHAPITRE I
Développement Limité
Formule de Taylor-Young: f(x0+h) = f(x0) + h
1! f0(h) + h2 2! f00(h) + ::: hn n!f(n)(h) + O(hn):
Formule de Taylor: f(x) = f(x0) + xx0
1! f0(x0) + (xx0)2 2! f00(x0) + ::: (xx0)n n!f(n)(x0) + O((xx0)n):
Intégrales Dé…nies
Géométriquement, l’intégrale dé…nie d’une fonction mesure algébriquement la surface comprise
entre la courbe de la fonction et l’axe des x: Elle est notée par Rb
af(x)dx:
1
baRb
af(x)dxreprésente la moyenne de fsur [a; b];notée fou hfi:
Rb
af(x)dx=Ra bf(x)dx:
Rb
a[f(x) + g(x)] dx=Rb af(x)dx+Rb ag(x)dx:
Rb
af(x)dx=Rc af(x)dx+Rb cg(x)dx: (Relation de Chasles.)
Si 8x2[a; b]; f(x) = 0 alors Rb
af(x)dx= 0:
Si fest continue et f>0sur [a; b]et Rb
af(x)dx= 0 alors f(x) = 0 sur [a; b]:
Si a < b et m6f6Msur [a; b]alors m6hfi6M:
Si a < b et f6gsur [a; b]alors Rb
af(x)dx6Rb ag(x)dx:
Si a < b alors 
Rb
af(x)dx
6Rb
ajf(x)jdx:
Si a < b alors 
Rb
af(x)dx
6(ba) sup
x2[a;b]jf(x)j:
Si a < b alors 
Rb
af(x)g(x)dx
6sup
x2[a;b]jf(x)jRb
ajg(x)jdx:
Calcul des Primitives
Fest appelée une primitive de fsi elle est dérivable et si F0(x) = f(x):
Elle est calculée par F(x) = Rf(x)dx:
F(x) + C est aussi une primitive de fcar F0(x) + 0 = F0(x) = f(x):
F(x) = Rx
af(t)dtest aussi une primitive de f, qui s’annule en a:F(a) = 0:
Si Fest une primitive de falors Rb
af(x)dx= [F(x)]b
a=F(b)F(a):
Si fest de classe C1sur [a; b]alor Rb
af0(x)dx= [f(x)]b
a=f(b)f(a):
Rb
af(x)g(x)dx= [F(x)g(x)]b
aRb
af(x)G(x)dx: (Intégration par parties.)
Rb
af(u(x))u0(x)dx=Ru(b) u(a)f(u)du: (Changement de Variable x!u.)
Intégrales Généralisées (ou Impropres)
L’intégrale généralisée de fest une intégrale sur un intervalle non fermé ]a; b]ou [a; b[ou ]a; b[.
Ce genre d’intégrales peuvent ne pas être convergentes.
Sur ]a; b]on véri…e si lim
t!a+Rb
tf(x)dxest …nie: l’intégrale est dite alors convergente sinon divergente.
Sur [a; b[on véri…e si lim
t!bRt
af(x)dxest …nie: l’intégrale est dite alors convergente sinon divergente.
Sur ]a; b[on écrit Rb
af(x)dx=Rc af(x)dx+Rb cf(x)dxpuis on véri…e lim
t!a+Rc
tf(x)dxet lim
t!bRt
cf(x)dx.
Sur ] 1; b[on véri…e lim
t!1 Rb
1 f(x)dx. Sur [a; +1[on véri…e lim
t!+1R+1
af(x)dx.
Sur ] 1;1[on écrit R+1
1 f(x)dx=Rc 1 f(x)dx+R+1 cf(x)dxet on véri…e les deux intégrales.
fest dite sommable sur [a; +1[si R+1
ajf(x)jdxest convergente. (Dite aussi absolument convergente)
Si 0< f 6gsur [a; +1[alors: R1
afdx(div.))R1 agdx(div.), R1 agdx(conv.))R1 afdx(conv.)
Si f
+1gsur [a; +1[alors R+1
afdxet R+1 agdxconvergent ou divergent ensemble.
Si R+1
ajfjdxconverge alors )R+1 afdxconverge aussi.
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Quelques Fonctions Particulières
Les Fonctions Trigonométriques et leurs réciproques:
(sin x,cos x). Dé…nies 8x2R:
sin x. (Impaire.) cos x: (Paire.) sin2x+ cos2x= 1:
(sin x)0= cos x: Rsin xdx=cos x+C:
(cos x)0=sin x.Rcos xdx= sin x+C:
sin x=xx3
3! +x5 5! ::: +(1)nx2n+1 (2n+1)! +::: sin x
0x:
cos x= 1 x2
2! +x4 4! ::: +(1)nx2n (2n)! +::: cos x
01x2
2:
tan x=sin x
cos x:Dé…nie 8x6=(2k+1) 2:(cot x=cos x sin x: x 6=k:)
(tan x)0= 1 + tan2x=1
cos2x:Rtan xdx=ln jcos xj+C:
tan x=x+x3
3+2x5 15 +::: (tan x
0x:)
(arcsin x,arccos x)Dé…nies pour x2[–1;1]:(arctan x)Déf. sur R:
arcsin x+ arccos x=
2:arccos x+ arccos(–x) = :
arctan x+ arctan 1
x=f 2si x < 0; 2si x > 0g:
(arccos x)0=1
p1x2:(arcsin x)0=1 p1x2:(arctan x)0=1
1+x2:
arcsin x=x+x3
6+3x5 40 +::: arcsin x
0x:
arccos x=
2xx3 63x5 40 ::: arccos x
0
2:
arctan x=xx3
3+x5 5+:::+(1)nx2n+1 2n+1 +::: arctan x
0x:
1
x
sin x
0
-1
π
-π
1
x
cos x
0
-1
π
-π
0
x
tanx
π/2
-π/2
1
x
arcsin x
0
-1
-π/2
π/2
1
x
arccos x
0
-1
π/2
π
x
arctan x
0
-π/2
π/2
La Fonction Logarithme Népérien: ln x. Dé…nie 8x > 0:
ln 1 = 0:ln(xy) = ln x+ ln y: ln(x
y) = ln x–ln y: ln xy=yln x:
logax=ln x
ln a:(Appelée logarithme de base a:)
(ln x)0=1
x:Rln xdx=1 x+C. lim
x!0+ln x= 1:lim
x!+1ln x=+1:
ln(1 + x) = xx2
2+x3 3:::+(1)n+1xn n+::: ln(1+x)
0x:
La Fonction Exponentiel: exp(x)ex. Dé…nie 8x2R:
e0= 1:(ex)y=exy: exey=ex+y: eln x=x: ln ex=x:
ax=eln ax=exln a:(Appelé exponentielle de base a)
(ex)0=ex:Rexdx=ex+C.
ex= 1 + x+x2
2! +::: +xn n!+::: ex
01: ex
1 0:
ln e= 1:lim
x!1ex= 0:lim x!+1ex= +1:
Les Fonctions Hyperboliques et leurs réciproques:
sh x=exex
2;ch x=ex+ex 2;th x=sh x ch x:([Ang]: sinh;cosh ,tanh )
sh 0 = 0;ch 0 = 1:
ch x+sh x=ex:ch2xsh2x= 1:1th2x=1
ch2x:
sh0x=ch x: ch0x=sh x: th0x= 1 th2x=1
ch2x:
Rsh xdx=ch x+C:Rch xdx=sh x+C.
1
0
x
ln x
1
x
ex
0
0
x
sh x
1
0
x
ch x
x
th x
0
-1
1
sh x=x+x3
3! +::: +x2n+1 (2n+1)! +::: (sh x
0x:) ch x= 1 + x2
2! +::: +x2n (2n)! +::: (sh x
0x:)
(argsh x)0=1
px2+1 ;(argch x)0=1 px21;(argth x)0=1
1x2:
argsh x= ln (x+px2+ 1):argch x= ln (x+px21) (x>1):argth x=1
2ln 1+x 1x(–1<x<1:)
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