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16 novembre 2015
Exercices : Étude globale d’une fonction d’une variable réelle
I Bijections, applications réciproques
Exercice I.1 : Montrer que les fonctions suivantes définissent une bijection de leur ensemble de définition sur un
ensemble à préciser, et écrire les fonctions réciproques :
1) f1(x)=3x−5
2) f2(x)=p3−x
3) f3(x)=x2−1 sur ]−∞,0]
4) f4(x)=1
3x−2
5) f5(x)=3x+2
2x−1
Exercice I.2 : Étudier et représenter les fonctions suivantes définies par :
1) f(x)=xex. Montrer que la restriction de fà [−1,+∞[ est une bijection de [−1,+∞[ sur [−e−1,+∞[, et représenter
aussi son application réciproque.
2) g(x)=e2x−5
ex−2. Montrer que la restriction de gà ]ln2,+∞[ est une bijection de ]ln2,+∞[ sur R, et représenter aussi
son application réciproque.
Exercice I.3 : Dans chacun des cas suivants, montrer que f:I→Radmet une fonction réciproque y7→ f−1(y),
préciser son domaine de définition, et calculer sa dérivée au point indiqué entre parenthèses :
1. a) I=R,f(x)=x3+2x−1 (y=2)
b) f(x)=x5+3x3+2x−1 (y=5)
Justifier rapidement que les équations x3+2x−1=0 et x5+3x3+2x−1=0 admettent une unique solution
réelle.
2. I=R∗
+:
a) f(x)=−2x+8
x3, (y=−3)
b) f(x)=e3x+e2x−5, (y=7)
Exercice I.4 : Dans chacun des cas suivants, montrer que fest une bijection de son ensemble de définition sur un
ensemble à déterminer.
Préciser le domaine de définition de la fonction réciproque f−1, et calculer sa dérivée en indiquant son domaine
de définition :
a) f(x)=p2x−3b) f(x)=ex3−1c) f(x)=x2−4x+5, pour xÊ2
II Calculs de limites
Exercice II.1 : Déterminer, si elles existent, les limites :
a) lim
x→+∞
ex+2
x8+1
b) lim
x→+∞
lnx+x10
xlnx+ex
c) lim
x→+∞
xex
3x
d) lim
x→−∞
xex
3x
e) lim
x→0+xx
f) lim
x→+∞
(xx)x
x(xx)
g) lim
x→+∞
a(bx)
b(ax)avec 1 <a<b
III Fonctions logarithmes et exponentielles
Exercice III.1 : Simplifier les expressions suivantes :
a) xln(ln x)
lnx
b) logx(logxxxy)
Exercice III.2 : Résoudre les équations :
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a) 2x3=3x2
b) xpx=pxx
c) xx=p2
2d) xx1
2=1
2
e) 2sin2x=cosx
IV Fonctions circulaires réciproques
Exercice IV.1 : Calculer :
a) arcsinÃ−p2
2!
b) arccosÃ−p2
2!
c) arcsinµ−1
2¶
d) arccosµ−1
2¶
e) arctan³−p3´
f) arctan(−1)
g) arctanµ1
p3¶
h) arcsinÃp3
2!
i) sinµarcsinµ1
3¶¶
j) arccos(cos(4π))
k) arcsinµsinµ2π
3¶¶
l) arccosµcosµ−2π
3¶¶
m) arcsinµsinµ5π
4¶¶
n) arccosµcosµ5π
4¶¶
o) arctanµtanµ3π
4¶¶
p) arctanµtanµ7π
6¶¶.
Exercice IV.2 : Calculer les dérivées des expressions suivantes, en précisant leurs domaines de définition :
a) arcsin¡px¢
b) arcsin x
3
c) x2arctanx2
d) arctan(sin(2x))
e) ln¡arctan(x2)¢
f) arctanµx−1
x+1¶
g) arccosµx−1
x+1¶
Exercice IV.3 : Montrer la relation suivante sur un intervalle à préciser : 2arctanr1−x
1+x+arcsinx=
π
2
Exercice IV.4 : Donner une expression plus simple de :
a) cos(arctanx)
b) sin(arctanx)
c) tan(arccosx)d) cotanµarcsin 1
x¶
Exercice IV.5 : Résoudre les équations :
a) arctanx+arctan2x=
π
4
b) 2arctanx+arccosµ4
5¶=
π
2
c) arcsin2x=arcsinx+arcsin¡xp2¢
d) arcsinx+arcsinp1−x2=
π
2
Exercice IV.6 : Soit gl’application de Rdans Rdéfinie par g(t)=arctan(t)−t+t3
3
a) Démontrer que gest impaire et dérivable sur R.
b) Démontrer que ∀t∈R, 0 Ég′(t)Ét2
c) En déduire que ∀t∈R+,t−t3
3Éarctan(x)Ét
d) Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction fdéfinie sur Rpar :
(f(t)=arctant
t∀t6=0
f(0) =1
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