Algèbre 3 : Etude de signe et inéquations 0 1 Inégalités

Algèbre 3 : Etude de signe et inéquations 0
1 Inégalités équivalentes (rappels)
1.1 Transformation
Propriété I 1
En réduisant, en développant, en factorisant, ou en mettant au même dénominateur un
seul ou les deux membres d'une inégalité, on obtient une inégalité
équivalente.
Démonstration: ces transformations ne changent pas les nombres, et donc pas leur ordre.
1.2 Addition
Propriété I 2
En ajoutant le même nombre aux deux membres d'une inégalité, on obtient
une inégalité équivalente.
Démonstration: admise.
Remarque : on peut aussi soustraire le même nombre aux deux membres, car soustraire
c'est ajouter l'opposé.
Conséquence : avec a et b deux nombres,
a>b
est équivalent à
a−b>0
a<b
est équivalent à
a−b<0
Démonstration : on passe des inégalités de gauche à celles de droite en soustrayant b.
1.3 Multiplication et division
Propriété I 3
En multipliant par le même nombre strictement positif les deux
membres d'une inégalité, on obtient une inégalité équivalente.
Preuve : à la fin de ce cours.
Remarque : on peut aussi diviser par le même nombre strictement positif, car diviser
c'est multiplier par l'inverse, qui est aussi positif.
Propriété I 4
En multipliant par le même nombre strictement négatif les deux
membres d'une inégalité, on obtient une inégalité équivalente en inversant l'ordre.
Preuve : à la fin de ce cours.
Remarque : on peut aussi diviser par le même nombre strictement négatif, car diviser
c'est multiplier par l'inverse, qui est aussi négatif.
v.dujardin v1.1 1

2 C'est quoi une inéquation ?
Définition 1
Une inéquation est une condition posée avec un signe parmi
( <,⩽,>,⩾ )
entre
deux expressions dont l'une au moins contient une inconnue x.
Autrement dit : une inéquation est une sorte d'énigme concernant les valeurs de
l'inconnue.
Exemples : reconnaître les inéquations :
Pour
x∈ℝ
,
x+2<3
est une inéquation,
3+2<7
est une inégalité (pas d'inconnue)
Définition 2
Résoudre une inéquation c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui vérifient la
condition.
Autrement dit : pour les solutions de l'inéquation et pour elles seules, l'inégalité est
vraie.
Remarques :
•Trouver une solution d'une inéquation n'est pas résoudre l'inéquation.
•Parfois,
S=ℝ
. L'inéquation est alors une inégalité vraie.
•Parfois,
S=∅
. L'inéquation est alors une inégalité fausse.
Cas particulier
Résoudre une inéquation dont le membre de droite est 0 revient à étudier le
signe du membre de gauche.
On se ramène souvent à une étude de signe pour résoudre une inéquation.
Pourquoi ? Parce que l'on a beaucoup d'outils mathématiques pour étudier les signes.
v.dujardin v1.1 2

3 Etude de signes
Il existe deux signes : + et -, et tous les nombres ont un signe sauf 0.
Conséquence : pour étudier le signe d'une expression A, on peut résoudre l'équation A=0
puis l'inéquation A>0.
Exemple : étude du signe de
2x+3
−2x+3=0
équivaut à
x=3
2
donc
−2x+3
est nul pour
x=3
2
−2x+3>0
équivaut à
−2x>−3
et à
x<3
2
donc
−2x+3
est positive pour
x<3
2
Par élimination,
−2x+3<0
pour les autres valeurs de x, c'est à dire
x>3
2
3.1 Règle des signes dans un produit/quotient (rappel)
Propriété S1 (admise)
Un produit ou quotient comportant :
a) un nombre pair de facteurs négatifs est positif
b) un nombre impair de facteurs négatifs est négatif
Preuve : admise
Méthode : lorsqu'un quotient ou un produit comporte plusieurs facteurs, on peut étudier
son signe en appliquant cette propriété.
Exemple : étude du signe de
−2×x2×
(
−
√
x
)
pour
x∈ℝ+
Cette expression s'annule lorsque l'un au moins de ses facteurs est nul, c'est à dire
pour
x2=0
ou
−
√
x
=0, ce qui équivaut à
x=0
dans les deux cas.
Conclusion : en dehors de
x=0
, cette expression est positive car
−2<0
,
x2>0
et
−
√
x<0
(2 facteurs négatifs)
Méthode : pour appliquer sans se tromper la règle des signes dans un produit, on peut
donner le signe de chaque facteur dans un tableau de signes, et résumer le signe du
produit/quotient dans la dernière ligne.
Exemple : étude du signe de
P=
(
2x+1
)(
3−x
)
x2
Le produit a trois facteurs dont on peut connaître le signe en fonction de x.
x
-
∞
−1
2
0 3
+∞
2x+1
−
0 + + +
( 3−x )
+ + + 0 -
x2
+ + 0 + +
P-0 + 0 + 0 -
v.dujardin v1.1 3
Signe de 2x+1 et 3-x : voir 
fonctions affines
Signe de x² : voir fonction 
carré
Signe du produit P : on 
compte les - par intervalles.

3.2 Somme de termes positifs (ou négatifs)
Propriété S2 (admise)
La somme de deux termes positifs est positive.
La somme de deux termes négatifs est négative.
Preuve : admise (et presque évidente...)
Exemples :
Pour tout
x∈ℝ
,
x2+3⩾0
comme somme de termes positifs (car
x2⩾0
)
Pour tout
x∈ℝ+
,
−
√
x−7⩽0
comme somme de termes négatifs (
√
x>0
donc
−
√
x<0
)
4 Résoudre une inéquation produit/quotient
4.1 « Ze » méthode (presque universelle en lycée)
1. Si quotient : on identifie l'ensemble de résolution (avec l'énoncé ou en
cherchant les valeurs interdites)
2. Si besoin, on se ramène à une étude de signe (soustraire le membre de droite
pour comparer à 0)
3. Si besoin, on transforme l'expression à étudier en un produit/quotient
4. Si besoin, on applique la règle des signes (tableau de signes si plusieurs facteurs).
5. On conclut avec la solution
Pour vérifier son résultat : une vérification graphique avec une calculatrice est souvent
bien utile.
v.dujardin v1.1 4

4.2 Un exemple complet, détaillé et expliqué
On résout l'inéquation quotient :
3x−2
4−x⩾2
1. Ensemble de résolution :
4−x=0
équivaut à
x=4
(valeur interdite).
On résout donc cette inéquation dans
ℝ
- {4}
2 et 3. Manipulation de l'inéquation :
L'inéquation équivaut à :
3x−2
4−x−2⩾0
(on se ramène à étude une de signe avec I2)
et à
3x−2−2 ( 4−x )
4−x⩾0
(même dénominateur pour obtenir un quotient avec I1)
et à
5x−10
4−x⩾0
(on développe et on réduit le numérateur avec I1)
Remarque : cette dernière forme est une étude de signe (comparaison à 0) que l'on sait
analyser (quotient de deux formes affines).
4. Tableau de signes :
x
−∞
2 4
+∞
5x−10
−
0 + +
4−x
+ + 0 -
5x−10
4−x
- 0 + -
Conclusion : la solution est S=[2;4[
Remarques :
•La double barre symbolise la valeur interdite du quotient.
•La dernière forme de l'inéquation finit par un « supérieur ou égal à 0 ». On repère
donc les signes + et les 0 dans la dernière ligne du tableau. Les solutions se lisent
dans les valeurs de x correspondantes (ligne 1).
•On peut vérifier la solution graphiquement (voir conjecture graphique ci-dessus).
Annexes
Démonstration de I3 et I4 : soient a et b tels que
a>b
. On cherche à comparer ac et bc.
On a toujours
ac −bc =c ( a−b )
(distributivité). Or
a−b
est positif car
a>b
, donc
c ( a−b )
est du signe de c.
•Si
c>0
,
ac −bc >0
et donc
ac >bc
d'après I2 : on a démontré I3 .
•Si
c<0
,
ac −bc <0
et donc
ac <bc
d'après I2: on a démontré I4.
v.dujardin v1.1 5
Conjecture graphique : l'hyperbole 
est au dessus de la droite pour x
appartient à [2;4[