Algèbre 3 : Etude de signe et inéquations 0 1 Inégalités

Algèbre 3 : Etude de signe et inéquations
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1 Inégalités équivalentes (rappels)
1.1 Transformation
Propriété I1
En réduisant, en développant, en factorisant, ou en mettant au même dénominateur
un
seul ou les deux membres d'une inégalité, on obtient une inégalité
équivalente.
Démonstration: ces transformations ne changent pas les nombres, et donc pas leur ordre.
1.2 Addition
Propriété I2
En ajoutant le même nombre aux deux
une inégalité équivalente.
membres d'une inégalité, on obtient
Démonstration: admise.
Remarque : on peut aussi soustraire le même nombre aux deux membres, car soustraire
c'est ajouter l'opposé.
Conséquence : avec a et b deux nombres,
a>b
est équivalent à
a−b >0
a<b
est équivalent à
a−b <0
Démonstration : on passe des inégalités de gauche à celles de droite en soustrayant b.
1.3 Multiplication et division
Propriété I3
En multipliant par le même nombre strictement positif les deux
membres d'une inégalité, on obtient une inégalité équivalente.
Preuve : à la fin de ce cours.
Remarque : on peut aussi diviser par le même nombre strictement positif, car diviser
c'est multiplier par l'inverse, qui est aussi positif.
Propriété I4
En multipliant par le même
nombre strictement négatif les deux
membres d'une inégalité, on obtient une inégalité équivalente en inversant l'ordre.
Preuve : à la fin de ce cours.
Remarque : on peut aussi diviser par le même nombre strictement négatif, car diviser
c'est multiplier par l'inverse, qui est aussi négatif.
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2 C'est quoi une inéquation ?
Définition 1
Une inéquation est une condition posée avec un signe parmi
deux expressions dont l'une au moins contient une
( <,⩽,>,⩾ )
entre
inconnue x.
Autrement dit : une inéquation est une sorte d'énigme concernant les valeurs de
l'inconnue.
Exemples : reconnaître les inéquations :
Pour x ∈ℝ , x +2<3 est une inéquation,
3+2<7 est une inégalité (pas d'inconnue)
Définition 2
Résoudre une inéquation c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui vérifient la
condition.
Autrement dit : pour les solutions de l'inéquation et pour elles seules, l'inégalité est
vraie.
Remarques :
•
Trouver une solution d'une inéquation n'est pas résoudre l'inéquation.
•
Parfois, S =ℝ . L'inéquation est alors une inégalité vraie.
•
Parfois, S =∅ . L'inéquation est alors une inégalité fausse.
Cas particulier
Résoudre une inéquation dont le membre
de droite est 0 revient à étudier le
signe du membre de gauche.
On se ramène souvent à une étude de signe pour résoudre une inéquation.
Pourquoi ? Parce que l'on a beaucoup d'outils mathématiques pour étudier les signes.
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3 Etude de signes
Il existe deux signes : + et -, et tous les nombres ont un signe sauf 0.
Conséquence : pour étudier le signe d'une expression A, on peut résoudre l'équation A=0
puis l'inéquation A>0.
Exemple : étude du signe de 2 x+3
3
3
−2 x+3=0 équivaut à x= 2 donc −2 x+3 est nul pour x= 2
3
3
−2 x+3>0 équivaut à −2 x>−3 et à x< 2 donc −2 x+3 est positive pour x< 2
3
Par élimination, −2 x+3<0 pour les autres valeurs de x, c'est à dire x> 2
3.1 Règle des signes dans un produit/quotient (rappel)
Propriété S1 (admise)
Un produit ou quotient comportant :
a) un nombre pair de facteurs négatifs est positif
b) un nombre impair de facteurs négatifs est négatif
Preuve : admise
Méthode : lorsqu'un quotient ou un produit comporte plusieurs facteurs, on peut étudier
son signe en appliquant cette propriété.
Exemple : étude du signe de −2×x 2 ×(−√ x ) pour x ∈ℝ+
Cette expression s'annule lorsque l'un au moins de ses facteurs est nul, c'est à dire
pour x 2=0 ou −√ x =0, ce qui équivaut à x =0 dans les deux cas.
Conclusion : en dehors de x =0 , cette expression est positive car −2<0 , x 2>0 et
−√ x<0 (2 facteurs négatifs)
Méthode : pour appliquer sans se tromper la règle des signes dans un produit, on peut
donner le signe de chaque facteur dans un tableau de signes, et résumer le signe du
produit/quotient dans la dernière ligne.
Exemple : étude du signe de P=( 2 x +1 )(3−x ) x 2
Le produit a trois facteurs dont on peut connaître le signe en fonction de x.
x
2 x+1
(3−x )
x2
P
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-∞
−
+
+
-
−
0
0
1
2
0
+
+
+
+
0
0
3
+
+
+
+
0
0
+∞
+
+
-
Signe de 2x+1 et 3-x : voir
fonctions affines
Signe de x² : voir fonction
carré
Signe du produit P : on
compte les - par intervalles.
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3.2 Somme de termes positifs (ou négatifs)
Propriété S2 (admise)
La somme de deux termes positifs est positive.
La somme de deux termes négatifs est négative.
Preuve : admise (et presque évidente...)
Exemples :
Pour tout x ∈ℝ , x 2+3⩾0 comme somme de termes positifs (car x 2⩾0 )
Pour tout x ∈ℝ+ , −√ x−7⩽0 comme somme de termes négatifs ( √ x>0 donc −√ x<0 )
4 Résoudre une inéquation produit/quotient
4.1 « Ze » méthode (presque universelle en lycée)
1. Si quotient : on identifie l'ensemble
cherchant les valeurs interdites)
2. Si besoin, on se ramène à une étude
pour comparer à 0)
de résolution (avec l'énoncé ou en
de signe (soustraire le membre de droite
3. Si besoin, on transforme l'expression à étudier en un
produit/quotient
4. Si besoin, on applique la règle des signes (tableau de signes si plusieurs facteurs).
5. On conclut avec la solution
Pour vérifier son résultat : une vérification graphique avec une calculatrice est souvent
bien utile.
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4.2 Un exemple complet, détaillé et expliqué
On résout l'inéquation quotient :
3 x−2
⩾2
4−x
1. Ensemble de résolution :
4−x =0 équivaut à x =4 (valeur interdite).
On résout donc cette inéquation dans ℝ - {4}
2 et 3. Manipulation de l'inéquation :
Conjecture graphique : l'hyperbole
est au dessus de la droite pour x
appartient à [2;4[
L'inéquation équivaut à :
3 x −2
−2⩾0
4−x
(on se ramène à étude une de signe avec I2)
et à
3 x −2−2 ( 4−x )
⩾0
4−x
(même dénominateur pour obtenir un quotient avec I1)
et à
5 x −10
⩾0
4−x
(on développe et on réduit le numérateur avec I1)
Remarque : cette dernière forme est une étude de signe (comparaison à 0) que l'on sait
analyser (quotient de deux formes affines).
4. Tableau de signes :
x
−∞
5 x −10
4−x
5 x −10
4−x
−
2
0
+
-
0
4
+
+
0
+
+∞
+
-
Conclusion : la solution est S=[2;4[
Remarques :
•
La double barre symbolise la valeur interdite du quotient.
•
La dernière forme de l'inéquation finit par un « supérieur ou égal à 0 ». On repère
donc les signes + et les 0 dans la dernière ligne du tableau. Les solutions se lisent
dans les valeurs de x correspondantes (ligne 1).
•
On peut vérifier la solution graphiquement (voir conjecture graphique ci-dessus).
Annexes
Démonstration de I3 et I4 : soient a et b tels que a>b . On cherche à comparer ac et bc.
On a toujours ac −bc =c (a −b ) (distributivité). Or a−b est positif car a>b , donc
c ( a−b ) est du signe de c.
•
Si c >0 , ac −bc >0 et donc ac >bc d'après I2 : on a démontré I3 .
•
Si c <0 , ac −bc <0 et donc ac <bc d'après I2: on a démontré I4.
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