CHAPITRE 15 : INÉGALITÉS ET INÉQUATIONS

CHAPITRE 15 : INÉGALITÉS ET INÉQUATIONS
Objectifs :
•
3.250 [–] Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue.
•
3.251 [–] Représenter les solutions d'une inéquation sur une droite graduée.
I. Inégalités
a) Inégalités au sens large
ab signifie a = b ou a < b.
ab signifie a = b ou a > b.
Exemple : Si a est un entier positif qui vérifie a2 , alors a = 0 ou a = 1 ou a = 2.
b) Inégalités et opérations
Si on ajoute (ou on soustrait) un même nombre aux deux membres d'une inégalité, on ne change
pas le sens de l'inégalité.
Quels que soient les nombres a, b et c,
– si ab alors acbc ;
– si ab alors a−cb−c .
Exemple : si x y alors x7y7 et x−3y−3 .
Si on multiplie (ou on divise) les deux membres Si on multiplie (ou on divise) les deux membres
d'une inégalité par un même nombre positif, on d'une inégalité par un même nombre négatif, on
ne change pas le sens de l'inégalité.
change le sens de l'inégalité.
Quels que soient les nombres a, b et c,
–
–
si ab et c0 alors acbc .
a b
si ab et c > 0 alors  .
c c
–
–
si ab et c0 alors acbc .
a b
si ab et c < 0 alors  .
c c
Exemple :
−12
3
6
Si −2 x6 alors x
−2
Si 3 x−12 alors x
L'inégalité change de sens
car on a divisé par un nombre négatif (-2)
II. Inéquation
Une inéquation est une inégalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, désigné le plus
souvent par une lettre.
Résoudre une inéquation c'est trouver toutes les valeurs possibles du nombre inconnu telles que
l'inégalité soit vraie. Les valeurs trouvées sont appelées les solutions de l'inéquation.
Exemple 1 :
Résoudre l'inéquation 3 x  5
Si 3 × x  5 alors x 
5
3
Représentation graphique des solutions
0
1
5
3
2
Les solutions de l'inéquation sont tous les
5
nombres inférieurs à .
3
Le crochet est tourné vers les solutions car le nombre
5
est solution de l'inéquation.
3
Exemple 1 :
Représentation graphique des solutions
1
Résoudre l'inéquation − x 1  4
2
1
x 1 −1 4 −1
2
1
− x 3
L'inégalité change
2
de sens.
3
x
1
−
−
2
x  3×−2
x −6
Les solutions de l'inéquation sont tous les
nombres strictement supérieurs à -6.
-6
0
1
Le crochet n'est pas tourné vers les solutions car le
nombre - 6 n'est pas solution de l'inéquation.