Application de la dérivation et problèmes

Application de la dérivation ES
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Application de la dérivation et problèmes
Vérifier les acquis n°1 à 6 p 84
I.
Signe de la dérivée et variations
A. Du sens de variation de la fonction au signe de sa dérivée
Propriétés (admises)
𝑓 est une fonction dérivable sur un intervalle I.
 Si f est croissante sur I alors pour tout nombre réel 𝑥 de I, 𝒇’(𝒙) ≥ 𝟎.
 Si f est constante sur I alors pour tout nombre réel 𝑥 de I, 𝒇’(𝒙) = 𝟎.
 Si f est décroissante sur I alors pour tout nombre réel 𝑥 de I, 𝒇’(𝒙) ≤ 𝟎.
Illustrations
Voir exercice résolu 1 p 87
Exercices n°11 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 p 92
B. Du signe de la dérivée au sens de variation de la fonction
Propriétés (admises)
𝑓 est une fonction dérivable sur un intervalle I.
 Si pour tout nombre réel 𝑥 de I, 𝒇’(𝒙) ≥ 𝟎, alors f est croissante.
 Si pour tout nombre réel 𝑥 de I, 𝒇’(𝒙) = 𝟎, alors f est constante.
 Si pour tout nombre réel 𝑥 de I, 𝒇’(𝒙) ≤ 𝟎, alors f est décroissante.
Illustrations
Exemple
𝑓 est la fonction dérivable sur R définie par 𝑓(𝑥 ) = 2𝑥 3 − 7.
Pour tout nombre réel 𝑥, 𝑓 ′(𝑥 ) = 6𝑥 2 . Donc, pour tout 𝑥 ≠ 0, 𝑓 ′(𝑥 ) > 0 et 𝑓 ′ (0) = 0.
Par conséquent, la fonction 𝑓 est strictement croissante sur R.
Voir exercice résolu 2 p 87
Exercices n°18 – 20 – 21 – 22 – 23 – 24 – 25 – 26 – 27 p 92 – 93
Application de la dérivation ES
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II.
Tableau de variation d’une fonction et extremum
A. Comment dresser un tableau de variation ?
Pour étudier les variations d’une fonction donnée par son expression, on procède ainsi :
1- On calcule 𝑓′(𝑥).
2- On étudie le signe de 𝑓 ′(𝑥 ).
3- On dresse le tableau de variations de 𝑓.
Sur la ligne « 𝑥 », on note l’ensemble de définition de 𝑓 et les valeurs qui annulent 𝑓 ′(𝑥 ).
Sur la ligne « 𝑓′(𝑥) », on indique le signe de 𝑓 ′(𝑥 ).
Sur la ligne « 𝑓(𝑥) », on indique le sens de variation de f par des flèches et on note les valeurs
exactes des images des nombres qui figurent sur la première ligne.
Exemple
1
2
1
𝑓 est la fonction définie sur [−1 ; 3] par 𝑓(𝑥 ) = 4 𝑥 4 − 3 𝑥 3 + 2 𝑥 2 − 1
Calcul de la dérivée : 𝑓 ′(𝑥 ) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 𝑥
Signe de la dérivée : 𝑓 ′(𝑥 ) = 𝑥(𝑥 2 − 2𝑥 + 1) pour tout 𝑥 ∈ [−1; 3]
𝑓 ′(𝑥 ) = 𝑥(𝑥 − 1)² pour tout 𝑥 ∈ [−1; 3]
Or (𝑥 − 1)² ≥ 0 donc 𝑓 ′(𝑥 ) est du signe de 𝑥.
Donc 𝑓′(𝑥) ≤ 0 si 𝑥 ≤ 0 et 𝑓′(𝑥) ≥ 0 si 𝑥 ≥ 0. 𝑓′ s’annule en 0 et en 1.
Tableau de variation :
B. Extremum et tableau de variation
Propriété
Lorsque la dérivée s’annule en 𝑥0 en changeant de signe, la fonction admet un extremum local en 𝑥0 . Cet
extremum vaut 𝑓(𝑥0 )
Exemple
Pour la fonction de l’exemple précédent, on voit que la dérivée s’annule en 0 en changeant de signe, donc f
admet un minimum en 0 qui vaut −1.
Donc pour tout 𝑥 ∈ [−1; 3], 𝑓(𝑥) ≥ 1
Voir exercices résolus 1 – 2 p 89
Exercices n°28 – 29 – 30 – 31 – 33 – 36 – 37 p 94 – 95
Problèmes n°51 – 52 – 53 p 98 – 99
Approfondissement n°67 – 69 p102 – 103
AP n°1 à 10 p 90 – 91
Autonomie n°58 à 65 p 100 – 101