Mathématique Pré-Calcul 40S Chapitre 6 : Les identités trigonométriques : Travail Nom : ____________________________ /30 Date : __________________________ 6. À l’aide d’une calculatrice à affichage graphique, détermine si chaque équation peut être une identité. Leçon 1 : 1. Détermine les valeurs non permises de x, en radians, dans chaque expression. a) sin2 x sec2 x sec2 x 1 b) a) c) cotan x tan x cosec x cotan x b) 7. Simplifie chaque expression, puis réécris-la sous la forme d’un des trois rapports trigonométriques inverses : cosec x, sec x ou cotan x. c) d) 2. Détermine les valeurs non permises de x, en radians, dans l’expression suivante : a) b) cos x tan x sin x c) sin x cos x cotan x 3. Simplifie chaque expression pour la réécrire sous la forme d’un des trois rapports trigonométriques de base : sin x, cos x ou tan x. 8. Vérifie que l’équation sin4 x cos4 x 2 sin2 x 1 est vraie pour . 9. Soit l’équation sec x sec x cos x 1 sec x. a) Montre qu’elle est vraie pour b) cotan x sin x 10. Soit l’équation c) . d) 4. À l’aide de la technologie, vérifie graphiquement que l’expression de la question 3 b) est équivalente à sa forme simplifiée. 5. Simplifie chaque expression. a) 2(cosec x cotan x) 2 2 b) cotan2 x (sec2 x 1) c) d) e) tan x cos2 x f) . a) Vérifie qu’elle est vraie pour . b) Quelles sont les valeurs non permises de l’équation dans l’intervalle 0 x 360 ? 11. Transforme algébriquement l’identité de Pythagore cos2 x sin2 x 1, pour obtenir l’identité équivalente cotan2 x 1 cosec2 x. Mathématique Pré-Calcul 40S Chapitre 6 : Les identités trigonométriques : Travail Leçon 2 : 1.Réécris chaque expression sous la forme d’un seul rapport trigonométrique. 6. Simplifie chaque expression pour obtenir un seul rapport trigonométrique de base. a) sin 28° cos 35° cos 28° sin 35° a) b) cos 10° cos 7° sin 10° sin 7° b) cos 3x cos x sin 3x sin x c) c) d) d) 2. Simplifie chaque expression et donne sa valeur exacte. a) cos 25° cos 5° sin 25° sin 5° 7. Détermine la valeur exacte de chaque expression trigonométrique. b) sin 40° cos 20° cos 40° sin 20° a) c) b) tan 15° c) sin 105° d) d) 3. Réécris chaque expression sous la forme d’un seul rapport trigonométrique. a) 8. Détermine si chaque équation est vraie. a) cos 80° cos 75° cos 5° sin 75° sin 5° b) cos (24°) cos 16° cos 40° b) c) tan 70° c) 1 2 sin 15° 2 9. Si A et B se situent dans le quadrant I, que , quelle est d) la valeur de chaque expression ? 4. Simplifie chaque expression à l’aide d’une identité de la somme. a) cos (A B) b) sin (A B) a) sin (90° A) b) cos (90° A) c) cos 2A c) sin ( A) d) cos (2 A) d) sin 2A 5. Simplifie chaque expression à l’aide d’une identité de la différence. a) sin (90° A) b) sin (270° A) c) d) 10. Si cos et que A se situe dans le quadrant IV, quelle est la valeur exacte de sin 2A ? Mathématique Pré-Calcul 40S Chapitre 6 : Les identités trigonométriques : Travail Leçon 3 : 1. Réécris chaque expression en fonction du sinus et du cosinus seulement. a) b) c) 2. Décompose en facteurs chaque expression trigonométrique rationnelle, puis simplifie-la. 6. Vérifie si chaque équation peut être une identité, puis démontre l’identité. a) b) c) 7. Démontre chaque identité algébriquement. a) a) cos (x y) cos (x y) cos2 x sin2 y b) b) c) c) 1 sin 2x (sin x cos x)2 d) d) 3. À l’aide des différentes formes de l’identité de Pythagore, démontre chaque identité pour toutes les valeurs permises de x. a) cosec2 x(1 cos2 x) 1 b) (tan x 1)2 sec2 x 2 tan x 8. Vérifie que chaque équation est vraie lorsque x 30°. Démontre ensuite que chaque équation est une identité. a) sec4 x sec2 x tan4 x tan2 x b) cos x cos x tan2 x sec x 9. Soit l’équation . c) 4. Démontre chaque identité. Au besoin, réécris deux termes sous la forme d’un seul à l’aide d’un dénominateur commun. a) a) Montre que l’équation est vraie lorsque x 3,2 radians. b) Par la méthode graphique, montre que l’équation pourrait être une identité. 10. a) Démontre que . b) b) Détermine toute valeur non permise. c) 5. Démontre chaque identité à l’aide de la décomposition en facteurs. a) b) c) 11. Démontre l’identité 1 sin 2x (sin x cos x)2. 12. Démontre l’identité cos 3x 1 4 cos3 x 3 cos x 1. Mathématique Pré-Calcul 40S Chapitre 6 : Les identités trigonométriques : Travail Leçon 4 : 1. Résous algébriquement chaque équation, dans l’intervalle 0 x 2. 7. Un élève doit écrire la ou les solutions générales de l’équation sin 2x 1. a) sin 2x cos x 0 Les solutions de cette équation dans l’intervalle b) cos 2x 0 0 x 2 sont c) 2 cos x 1 0 . 2 d) cos2 x 2 cos x 2. Résous algébriquement chaque équation, dans l’intervalle 0 x 360. L’élève écrit les solutions générales sous la forme . a) cos 2x cos 3x a) Quelle erreur l’élève a-t-il commise ? b) 2 cos2 x 5 sin x 5 0 b) Écris correctement les solutions générales de cette équation. c) cotan2 x 0 3. Réécris chaque équation en fonction du cosinus seulement. Ensuite, résous-la algébriquement pour 0 x 2. a) cos 2x 5 cos x 2 b) cotan2 x 2 0 c) 1 cos x 2 sin2 x 4. Résous algébriquement 2 cos2 x 1 dans l’intervalle 180 x 180. 5. Résous algébriquement tan2 x 2 tan x 1 0 dans l’intervalle 0 x 2. 6. Détermine l’erreur que l’élève a commise dans le travail suivant, puis corrige-la. 8. a) Explique comment résoudre graphiquement l’équation cos x 2 sin x cos x 0 à l’aide de la commande Zéro de la calculatrice à affichage graphique. b) Résous algébriquement l’équation en a) pour 0 x 2. 9. Résous algébriquement (sin x 1)(tan x 1) 0 pour toutes les valeurs de x. 10. Résous l’équation 2 cos 2x 1 0. Indique la ou les solutions générales, exprimées en degrés.