Leçon 1 - Mme Layton

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Mathématique Pré-Calcul 40S
Chapitre 6 : Les identités trigonométriques : Travail
Nom : ____________________________
/30
Date : __________________________
6. À l’aide d’une calculatrice à affichage
graphique, détermine si chaque équation peut
être une identité.
Leçon 1 :
1. Détermine les valeurs non permises de x, en
radians, dans chaque expression.
a) sin2 x sec2 x  sec2 x  1
b)
a)
c) cotan x  tan x  cosec x cotan x
b)
7. Simplifie chaque expression, puis réécris-la
sous la forme d’un des trois rapports
trigonométriques inverses : cosec x, sec x ou
cotan x.
c)
d)
2. Détermine les valeurs non permises de x, en
radians, dans l’expression suivante :
a)
b) cos x  tan x sin x
c) sin x  cos x cotan x
3. Simplifie chaque expression pour la réécrire
sous la forme d’un des trois rapports
trigonométriques de base : sin x, cos x ou tan x.
8. Vérifie que l’équation sin4 x  cos4 x  2 sin2 x
1
est vraie pour
.
9. Soit l’équation sec x  sec x cos x  1  sec x.
a)
Montre qu’elle est vraie pour
b) cotan x sin x
10. Soit l’équation
c)
.
d)
4. À l’aide de la technologie, vérifie
graphiquement que l’expression de la question
3 b) est équivalente à sa forme simplifiée.
5. Simplifie chaque expression.
a) 2(cosec x  cotan x)
2
2
b) cotan2 x (sec2 x  1)
c)
d)
e) tan x cos2 x
f)
.
a) Vérifie qu’elle est vraie pour
.
b) Quelles sont les valeurs non permises de
l’équation dans l’intervalle 0  x  360 ?
11. Transforme algébriquement l’identité de
Pythagore cos2 x  sin2 x  1, pour obtenir
l’identité équivalente cotan2 x  1  cosec2 x.
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Chapitre 6 : Les identités trigonométriques : Travail
Leçon 2 :
1.Réécris chaque expression sous la forme d’un seul
rapport trigonométrique.
6. Simplifie chaque expression pour obtenir un
seul rapport trigonométrique de base.
a) sin 28° cos 35°  cos 28° sin 35°
a)
b) cos 10° cos 7°  sin 10° sin 7°
b) cos 3x cos x  sin 3x sin x
c)
c)
d)
d)
2. Simplifie chaque expression et donne sa valeur
exacte.
a) cos 25° cos 5°  sin 25° sin 5°
7. Détermine la valeur exacte de chaque
expression trigonométrique.
b) sin 40° cos 20°  cos 40° sin 20°
a)
c)
b) tan 15°
c) sin 105°
d)
d)
3. Réécris chaque expression sous la forme d’un
seul rapport trigonométrique.
a)
8. Détermine si chaque équation est vraie.
a) cos 80°  cos 75° cos 5°  sin 75° sin 5°
b) cos (24°)  cos 16°  cos 40°
b)
c) tan 70° 
c) 1  2 sin 15°
2
9. Si A et B se situent dans le quadrant I, que
, quelle est
d)
la valeur de chaque expression ?
4. Simplifie chaque expression à l’aide d’une
identité de la somme.
a) cos (A  B)
b) sin (A  B)
a) sin (90°  A)
b) cos (90°  A)
c) cos 2A
c) sin (  A)
d) cos (2  A)
d) sin 2A
5. Simplifie chaque expression à l’aide d’une
identité de la différence.
a) sin (90°  A)
b) sin (270°  A)
c)
d)
10. Si cos
et que A se situe dans le
quadrant IV, quelle est la valeur exacte de
sin 2A ?
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Chapitre 6 : Les identités trigonométriques : Travail
Leçon 3 :
1. Réécris chaque expression en fonction du sinus
et du cosinus seulement.
a)
b)
c)
2. Décompose en facteurs chaque expression
trigonométrique rationnelle, puis simplifie-la.
6. Vérifie si chaque équation peut être une
identité, puis démontre l’identité.
a)
b)
c)
7. Démontre chaque identité algébriquement.
a)
a) cos (x  y) cos (x  y)  cos2 x  sin2 y
b)
b)
c)
c) 1  sin 2x  (sin x  cos x)2
d)
d)
3. À l’aide des différentes formes de l’identité de
Pythagore, démontre chaque identité pour
toutes les valeurs permises de x.
a) cosec2 x(1  cos2 x)  1
b) (tan x  1)2  sec2 x  2 tan x
8. Vérifie que chaque équation est vraie lorsque
x  30°. Démontre ensuite que chaque équation
est une identité.
a) sec4 x  sec2 x  tan4 x  tan2 x
b) cos x  cos x tan2 x  sec x
9. Soit l’équation
.
c)
4. Démontre chaque identité. Au besoin, réécris
deux termes sous la forme d’un seul à l’aide
d’un dénominateur commun.
a)
a) Montre que l’équation est vraie lorsque
x  3,2 radians.
b) Par la méthode graphique, montre que
l’équation pourrait être une identité.
10. a) Démontre que
.
b)
b) Détermine toute valeur non permise.
c)
5. Démontre chaque identité à l’aide de la
décomposition en facteurs.
a)
b)
c)
11. Démontre l’identité 1  sin 2x  (sin x  cos
x)2.
12. Démontre l’identité
cos 3x  1  4 cos3 x  3 cos x  1.
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Chapitre 6 : Les identités trigonométriques : Travail
Leçon 4 :
1. Résous algébriquement chaque équation, dans
l’intervalle 0  x  2.
7. Un élève doit écrire la ou les solutions
générales de l’équation sin 2x  1.
a) sin 2x  cos x  0
Les solutions de cette équation dans l’intervalle
b) cos 2x  0
0  x  2 sont
c) 2 cos x  1  0
.
2
d) cos2 x  2  cos x
2. Résous algébriquement chaque équation, dans
l’intervalle 0  x  360.
L’élève écrit les solutions générales sous la
forme
.
a) cos 2x  cos 3x
a) Quelle erreur l’élève a-t-il commise ?
b) 2 cos2 x  5 sin x  5  0
b) Écris correctement les solutions générales
de cette équation.
c) cotan2 x  0
3. Réécris chaque équation en fonction du cosinus
seulement. Ensuite, résous-la algébriquement
pour 0  x  2.
a) cos 2x  5 cos x  2
b) cotan2 x  2  0
c) 1  cos x  2 sin2 x
4. Résous algébriquement 2 cos2 x  1 dans
l’intervalle 180  x  180.
5. Résous algébriquement tan2 x  2 tan x  1  0
dans l’intervalle 0  x  2.
6. Détermine l’erreur que l’élève a commise dans
le travail suivant, puis corrige-la.
8. a) Explique comment résoudre
graphiquement l’équation cos x  2 sin x
cos x  0 à l’aide
de la commande Zéro de la calculatrice à
affichage graphique.
b) Résous algébriquement l’équation en a)
pour 0  x  2.
9. Résous algébriquement (sin x  1)(tan x  1) 
0 pour toutes les valeurs de x.
10. Résous l’équation 2 cos 2x  1  0. Indique la
ou les solutions générales, exprimées en
degrés.
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