Leçon 1 - Mme Layton

Mathématique Pré-Calcul 40S
Chapitre 6 : Les identités trigonométriques : Travail
Nom : ____________________________ /30 Date : __________________________
Leçon 1 :
1. Détermine les valeurs non permises de x, en
radians, dans chaque expression.
a)
b)
c)
d)
2. Détermine les valeurs non permises de x, en
radians, dans l’expression suivante :
3. Simplifie chaque expression pour la réécrire
sous la forme d’un des trois rapports
trigonométriques de base : sin x, cos x ou tan x.
a)
b) cotan x sin x
c)
d)
4. À l’aide de la technologie, vérifie
graphiquement que l’expression de la question
3 b) est équivalente à sa forme simplifiée.
5. Simplifie chaque expression.
a) 2(cosec2 x  cotan2 x)
b) cotan2 x (sec2 x  1)
c)
d)
e) tan x cos2 x
f)
6. À l’aide d’une calculatrice à affichage
graphique, détermine si chaque équation peut
être une identité.
a) sin2 x sec2 x  sec2 x  1
b)
c) cotan x  tan x  cosec x cotan x
7. Simplifie chaque expression, puis réécris-la
sous la forme d’un des trois rapports
trigonométriques inverses : cosec x, sec x ou
cotan x.
a)
b) cos x  tan x sin x
c) sin x  cos x cotan x
8. Vérifie que l’équation sin4 x  cos4 x  2 sin2 x
 1
est vraie pour .
9. Soit l’équation sec x  sec x cos x  1  sec x.
Montre qu’elle est vraie pour .
10. Soit l’équation
.
a) Vérifie qu’elle est vraie pour .
b) Quelles sont les valeurs non permises de
l’équation dans l’intervalle 0  x  360 ?
11. Transforme algébriquement l’identité de
Pythagore cos2 x  sin2 x  1, pour obtenir
l’identité équivalente cotan2 x  1  cosec2 x.

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Chapitre 6 : Les identités trigonométriques : Travail
Leçon 2 :
1.Réécris chaque expression sous la forme d’un seul
rapport trigonométrique.
a) sin 28° cos 35°  cos 28° sin 35°
b) cos 10° cos 7°  sin 10° sin 7°
c)
d)
2. Simplifie chaque expression et donne sa valeur
exacte.
a) cos 25° cos 5°  sin 25° sin 5°
b) sin 40° cos 20°  cos 40° sin 20°
c)
d)
3. Réécris chaque expression sous la forme d’un
seul rapport trigonométrique.
a)
b)
c) 1  2 sin2 15°
d)
4. Simplifie chaque expression à l’aide d’une
identité de la somme.
a) sin (90°  A) b) cos (90°  A)
c) sin (  A) d) cos (2  A)
5. Simplifie chaque expression à l’aide d’une
identité de la différence.
a) sin (90°  A) b) sin (270°  A)
c) d)
6. Simplifie chaque expression pour obtenir un
seul rapport trigonométrique de base.
a)
b) cos 3x cos x  sin 3x sin x
c)
d)
7. Détermine la valeur exacte de chaque
expression trigonométrique.
a)
b) tan 15°
c) sin 105°
d)
8. Détermine si chaque équation est vraie.
a) cos 80°  cos 75° cos 5°  sin 75° sin 5°
b) cos (24°)  cos 16°  cos 40°
c) tan 70° 
9. Si A et B se situent dans le quadrant I, que
, quelle est
la valeur de chaque expression ?
a) cos (A  B)
b) sin (A  B)
c) cos 2A
d) sin 2A
10. Si cos et que A se situe dans le
quadrant IV, quelle est la valeur exacte de
sin 2A ?

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Chapitre 6 : Les identités trigonométriques : Travail
Leçon 3 :
1. Réécris chaque expression en fonction du sinus
et du cosinus seulement.
a) b)
c)
2. Décompose en facteurs chaque expression
trigonométrique rationnelle, puis simplifie-la.
a)
b)
c)
d)
3. À l’aide des différentes formes de l’identité de
Pythagore, démontre chaque identité pour
toutes les valeurs permises de x.
a) cosec2 x(1  cos2 x)  1
b) (tan x  1)2  sec2 x  2 tan x
c)
4. Démontre chaque identité. Au besoin, réécris
deux termes sous la forme d’un seul à l’aide
d’un dénominateur commun.
a)
b)
c)
5. Démontre chaque identité à l’aide de la
décomposition en facteurs.
a)
b)
c)
6. Vérifie si chaque équation peut être une
identité, puis démontre l’identité.
a)
b)
c)
7. Démontre chaque identité algébriquement.
a) cos (x  y) cos (x  y)  cos2 x  sin2 y
b)
c) 1  sin 2x  (sin x  cos x)2
d)
8. Vérifie que chaque équation est vraie lorsque
x  30°. Démontre ensuite que chaque équation
est une identité.
a) sec4 x  sec2 x  tan4 x  tan2 x
b) cos x  cos x tan2 x  sec x
9. Soit l’équation
.
a) Montre que l’équation est vraie lorsque
x  3,2 radians.
b) Par la méthode graphique, montre que
l’équation pourrait être une identité.
10. a) Démontre que .
b) Détermine toute valeur non permise.
11. Démontre l’identité 1  sin 2x  (sin x  cos
x)2.
12. Démontre l’identité
cos 3x  1  4 cos3 x  3 cos x  1.

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Chapitre 6 : Les identités trigonométriques : Travail
Leçon 4 :
1. Résous algébriquement chaque équation, dans
l’intervalle 0  x  2.
a) sin 2x  cos x  0
b) cos 2x  0
c) 2 cos2 x  1  0
d) cos2 x  2  cos x
2. Résous algébriquement chaque équation, dans
l’intervalle 0  x  360.
a) cos 2x  cos 3x
b) 2 cos2 x  5 sin x  5  0
c) cotan2 x  0
3. Réécris chaque équation en fonction du cosinus
seulement. Ensuite, résous-la algébriquement
pour 0  x  2.
a) cos 2x  5 cos x  2
b) cotan2 x  2  0
c) 1  cos x  2 sin2 x
4. Résous algébriquement 2 cos2 x  1 dans
l’intervalle 180  x  180.
5. Résous algébriquement tan2 x  2 tan x  1  0
dans l’intervalle 0  x  2.
6. Détermine l’erreur que l’élève a commise dans
le travail suivant, puis corrige-la.
7. Un élève doit écrire la ou les solutions
générales de l’équation sin 2x  1.
Les solutions de cette équation dans l’intervalle
0  x  2 sont .
L’élève écrit les solutions générales sous la
forme
.
a) Quelle erreur l’élève a-t-il commise ?
b) Écris correctement les solutions générales
de cette équation.
8. a) Explique comment résoudre
graphiquement l’équation cos x  2 sin x
cos x  0 à l’aide
de la commande Zéro de la calculatrice à
affichage graphique.
b) Résous algébriquement l’équation en a)
pour 0  x  2.
9. Résous algébriquement (sin x  1)(tan x  1) 
0 pour toutes les valeurs de x.
10. Résous l’équation 2 cos 2x  1  0. Indique la
ou les solutions générales, exprimées en
degrés.