Cours-Exercices

Algorithmique
I D´efinition
Voici une d´efinition du mot algorithme que l’on peut trouver dans un dictionnaire :
≪Ensemble de r`egles op´eratoires dont l’application permet de r´esoudre un probl`eme ´enonc´e au moyen
d’une nombre fini d’op´erations. Un algorithme peut ˆetre traduit, grˆace `a un langage de programmation, en
un programme executable par un ordinateur. ≫
Ainsi, un algorithme d´esigne un ensemble fini d’instructions d’un calcul ou de la r´esolution d’un
probl`eme. Un programme sera la traduction d’un algorithme dans un langage de programmation ex´ecutable
par un ordinateur ou une calculatrice programmable.
Le mot ≪Algorithme ≫vient du nom du math´ematicien Al-Khuwarizmi (latinis´e au Moyen Age en
Algoritmi) n´e vers 783 en Ouzb´ekistan et mort vers 850. Dans son trait´e Kitab al jabr m’al muqabalah, il
´etudie les ´equations du second degr´e.
Exemple 1:
•Voici un algorithme de calcul ´ecrit en langage courant :
– Choisir un nombre
– Lui soustraire 1
–´ Elever au carr´e le r´esultat obtenu
– Ajouter l’oppos´e de 4
–´ Ecrire le r´esultat
•Pour ´ecrire un algorithme on utilise aussi souvent un langage symbolique. Avec l’algorithme pr´ec´edent
on obtient :
Entr´ees
Saisir x
Traitement
Affecter `a ala valeur de x−1
Affecter `a bla valeur de a2
Affecter `a cla valeur de b−4
Sortie
Afficher c
Entr´ees
Saisir x
Traitement
x−1→a
a2→b
b−4→c
Sortie
Afficher c
Pour ´eviter d’avoir trop de lettres on peut r´eutiliser plusieurs fois la mˆeme variable :
Entr´ees
Saisir x
Traitement
x−1→a
a2→a
a−4→a
Sortie
Afficher a
•Programmation `a la calculatrice : voir `a la fin du livre
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II Boucles et instruction conditionnelle
1 Boucle ≪Pour ≫
On souhaite ´ecrire un algorithme permettant de calculer u50 o`u la suite uest d´efinie par u0= 1 et pour
tout entier n,un+1 =p3u2
n+ 4.
Pour une suite d´efinie par r´ecurrence pour calculer u50 on doit calculer u1, puis u2, puis u3,... jusqu’`a
arriver `a u50.
Pour calculer u1, on prend u0, on le met au carr´e, on multiplie par 3, on ajoute 4 puis on prend la
racine carr´e.
Pour calculer u2, on prend u1, on le met au carr´e, on multiplie par 3, on ajoute 4 puis on prend la
racine carr´e.
Pour calculer u3, on prend u2, on le met au carr´e, on multiplie par 3, on ajoute 4 puis on prend la
racine carr´e.
On remarque que l’on va r´ep´eter 50 fois la mˆeme op´eration. Au lieu d’´ecrire 50 fois la mˆeme instruction
on va demander de r´ep´eter l’op´eration un certain nombre de fois. Pour pouvoir savoir combien de fois on
fait les mˆemes op´erations on utilise un compteur.
Voici l’algorithme :
Entr´ees
1→u
Traitement
Pour kallant de 1 `a 50 faire
√3u2+ 4 →u
FinPour
Sortie
Afficher u
Grˆace `a la calculatrice on trouve u50 ≈1,46 ×1012
Exercice 79 page 35 :
Partie A : Situation th´eorique
1. v1= 1035, v4≈1141,054
2.
K S
1 1005
2 1010,025
3≈1015,075
4≈1020,151
On multiplie `a chaque fois Spar la mˆeme valeur 1,005. On a donc ici une suite g´eom´etrique.
L’algorithme calcul uNo`u uest la suite g´eom´etrique de raison 1,005 et de premier terme Sque l’on
choisit au d´ebut.
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3. Entr´ees
Deux nombres entiers Set N
Traitement
Pour Kallant de 1 `a N
affecter `a Sla valeur S×1,005 + 30
FinPour
Sortie
Afficher S
Partie B : Situation pratique
1. a) 1000 ×1,005 + 30 = 1035.
b) 1035 ×1,005 + 30 = 1070,175
2. Entr´ee
1000 →S
Traitement
Pour Kallant de 1 `a 12 faire
S×1,005 + 30 →S
FinPour
Sortie
Afficher S
Exercice 21 page 22 :
1. On note unle PIB de la Chine en milliards de dollars en l’ann´ee 2009 + n.
On a u0= 5 000 et un+1 = 1,09un.
unest une suite g´eom´etrique de raison 1,09 donc un= 5 000(1,09)n.
Ainsi le PIB de la Chine en 2015 est u6≈8385,5 milliards de dollars.
2. U= 5000, N= 6
3. a) Entrer ≪U0≫et stocker dans U
Entrer N
Pour Kallant de 1 `a N, faire
stocker U+ 0,06 ×Udans U
FinPour
Afficher U
Il faut ensuite entrer U= 200 et N= 7 (on commence ici en 2008 et non 2009).
b) La pr´evision pour le PIB en 2015 au Nig´eria est d’environ 300,72 milliards de dollars.
Exercice 24 page 23 :
1. a) On note unle nombre de boites produites la n-i`eme semaine.
On a donc u1= 50 et un+1 =un+ 10.
unest une suite arithm´etique de raison 10, donc un= 50 + 10(n−1) = 10n+ 40.
b) On cherche pour quelle valeur de non aura un>200 :
un>200 ⇔10n+ 40 >200 ⇔10n > 160 ⇔n > 16
La production d´epassera les 200 boites lors de la 17-i`eme semaine. (u16 = 200)
2. N= 5 donne S= 350.
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2 Boucle ≪Tant que ≫
L’instruction ≪Tant que ≫permet de r´ep´eter les mˆeme op´eration tant que le but recherch´e n’est pas
atteint. A la diff´erence de l’instruction pr´ec´edente, on ne sait pas `a l’avance combien de fois on va r´ep´eter
les op´erations.
Exercice 59 page 29 (1., 2. et 3.) :
1. Pour passer d’une semaine `a l’autre on doit multiplier l’aire d´ej`a envahie par 1,04 (augmentation de
4%) puis ajouter 13 (augmentation de 13m2chaque semaine).
On a donc bien un+1 = 1,04 ×un+ 13.
2. Stocker 0 dans Net 300 dans U
Tant que U6600 faire
stocker N+ 1 dans N
stocker 1,04 ×U+ 13 dans U
FinTantQue
Afficher N
On trouve N= 10
3. a) vn+1 =un+1 + 325 = 1,04un+ 13 + 325 = 1,04(vn−325) + 338 = 1,04vn−338 + 338 = 1,04vn
vnest une suite g´eom´etrique de raison 1,04 et de premier terme v0=u0+ 325 = 625.
b) vn= 625 ×1,04n
un=vn−325 = 625 ×1,04n−325
c) En entrant la suite dans la calculatrice et en affichant la table de valeurs on a u9≈564,57 et
u10 ≈600,15.
Donc on retrouve bien qu’au bout de 10 semaines les chardons auront envahit plus de 600 m2.
Exercice 72 page 33 :
1. Une ann´ee : 15000 ×1,0225 = 15337,5. Deux ann´ees : 15337,5×1,0225 = 15682,59375
2. a) On passe d’une ann´ee `a l’autre en multipliant le capitale toujours par le mˆeme nombre :1,0225.
Cnest une suite g´eom´etrique de raison 1,0225 et de premier terme C0= 15000.
Donc Cn= 15000 ×1,0225n.
b) Cn+1
Cn
=15000 ×1,0225n+1
15000 ×1,0225n=1,0225n+1 1,0225n= 1,0225 >1
Donc, comme Cn>0, on a Cn+1 > Cnet donc la suite est croissante.
De plus 1,0225 >1 donc lim
n→+∞
1,0225n= +∞et donc lim
n→+∞
Cn= +∞
Le capital augmente tous les ans vers l’infini.
3. Il faut corriger le calcul de C: Stocker C×1,0225 dans C
4. Il faut 32 ann´ee pour atteindre un capital de plus de 30000 euros.
5. Il faut 55 ans pour atteindre plus de 50000 euros, ce qui est envisageable si H´el`ene commence `a
´epargner jeune et si le taux ne baisse pas...
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Exercice 44 page 26 :
1. un= 100 ×1,1n
2. unest croissante et lim
n→+∞
un= +∞car 1,1>1.
3. a) Comme unest croissante et tend vers +∞les valeurs de unvont forc´ement finir par d´epasser le
chiffre 500.
b) P= 17
Exercice 48 page 26 :
1. 1h : 1,84cm3, 2h : ≈1,693cm3, 24h : ≈0,27
2. a) vnest une suite g´eom´etrique de raison 0,92 car on passe d’un terme au suivant en multipliant
toujours par le mˆeme nombre : 0,92.
On a donc vn= 2 ×0,92n.
b) Comme 0 <0,92 <1, la suite vnest d´ecroissante et lim
n→+∞
vn= 0.
Le produit va donc finir par disparaitre du corps du patient.
3. a) Au bout de 9 heures.
b) Au bout de 17 heures
c) Au bout de 92 heures
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