PRIMITIVES D`UNE FONCTION

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PRIMITIVES D'UNE FONCTION
I.Introduction :
Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = 2x . Si on dérive la fonction F telle que F(x) = x² on obtient f (x).
On dit alors que F est une primitive de f .
Mais si on dérive F1(x) = x² + 8 on obtient aussi f(x). F1 est donc aussi une primitive de f .
Les primitives d'une fonction sont donc définies à une constante près.
II. Définition et petits exemples:
1) Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR.
On appelle fonction primitive de f , toute fonction F , définie et dérivable sur I, dont la dérivée est f .
2) Petits exemples :
Fonction
f(x) = 2
f(x) = x
F(x) = 2 x
1
F(x) = x²
2
f(x) = 5 x
f(x) = – 3 x²
f(x) = x² – 5 x
f(x) = 2 x + 1
1
f(x) = x²
2
x–5 1
f(x) =
= (x–5)
4
4
f(x) = x – 4
f(x) = – 3 x5
f(x) =
Une primitive
3 x² – 5
5
= x² –
3
3
F(x) = 5
1
5
x² = x²
2
2
F(x) = – x3
1
5
F(x) = x3 – x²
3
2
F(x) = x² + x
1 1 3 1 3
F(x) =
x = x
2 3
6
1 1
1
5
F(x) = ( x² – 5x ) = x² – x
4 2
8
4
1
F(x) = x² – 4x
2
1 6
1
F(x) = – 3
x = – x6
6
2
1 3 5
F(x) = x – x
3
3
3) Propriété :
Toute fonction dérivable sur un intervalle I admet une infinité de primitive sur I.
Si F est une primitive de f sur I alors F + k avec k IR est aussi une primitive de f sur I.
Exemple : Soit f une fonction définie sur IR par f (x) = 2x . Trouver les primitives de f sur IR .
Une primitive de f sur IR est F1(x) = x² .
Toutes les primitives de f sont donc données par F(x) = x² + k , k IR .
Si k = – 2 on a une primitive F2 (x) = x² – 2 …..
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4) Primitive particulière :
Parmi l'infinité de primitives d'une fonction f définies sur un intervalle I , on peut en choisir une
vérifiant certaines conditions . Ceci va permettre de déterminer la constante k .
Par exemple , on aimerait connaître la primitive F de f (x) = 2x s'annulant pour x = 5.
On a F(x) = x² + k , k IR . On veut que F(5) = 0 donc 5² + k = 0
k = – 25.
La primitive de f s'annulant pour x = 5 est F(x) = x² – 25.
Soit a
IR . Il existe une unique primitive F d'une fonction f sur I vérifiant F(a) = b avec b IR .
5) Tableau des primitives usuelles :
Ce tableau s'obtient par lecture inverse du tableau des dérivées.
F
Fonction f
f
Intervalle de définition
Primitive F
f (x) = a
IR
F(x) = ax + k , k
f (x) = x
IR
F(x) = 12 x² + k , k
IR
f (x) = x²
IR
F(x) = 13 x3 + k , k
IR
IR
F(x) = n +1 1 xn + 1 + k , k
f (x) = xn n
IN , n > 1
1
f (x) = x²
f (x) =
1
n
xn
IN , n > 1
IR* = IR \ { 0 }
F(x) = – 1x + k , k
IR* = IR \ { 0 }
F(x) = –
[ 0;+
f(x) = x
f(x) =
1
x
]0;+
[
[0;+
[
1
+k, k
(n – 1)xn – 1
IR
F(x) = 2 x + k , k
IR
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IR
IR
2
x x+k, k
3
F(x) =
[
IR
IR
3
III. Propriétés des primitives :
1) Somme de deux fonctions :
Si F est une primitive de f sur I
alors F G est une primitive de f
Si G est une primitive de g sur I
g sur I .
Exemple : Soit h la fonction définies sur IR par h(x) = x² + 2x .
Déterminer les primitives H de h sur IR .
h(x) = f(x) + g(x) avec f(x) = x² et g(x) = 2x
1
H(x) = F(x) + G(x) avec F(x) = x3 + k1 , k1 IR et G(x) = x² + k2 , k2
3
1
H(x) = x3 + x² + k , k IR .
3
IR .
2) Produit d'une fonction par un réel :
Si F est une primitive de f sur I alors
F est une primitive de
f sur I.
Exemple : Trouver les primitives de la fonction g définie sur IR par g(x) = 9 x5.
1
g(x) = 9 f(x) avec f(x) = x5
F(x) = x6 + k1 , k1 IR .
6
1
3
G(x) = 9 F(x) = 9 ( x6 + k1 ) = x6 + k , k IR .
6
2
3) Primitive d'un produit de la forme u'
un avec u une fonction dérivable non nulle et n
IN , n
–1:
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I , si n est un nombre naturel , différent de – 1 ,
1
alors les primitives de u' un sont données par
un + 1 + k , k IR .
n+1
u'
1
En particulier , si n = – 2 , les primitives de
sont – + k , k IR .
u²
u
Exemple : Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = 2x ( x² + 1 )2 .
Trouver les primitives F de f sur IR .
On remarque que f se présente comme un produit de deux fonctions.
Posons u(x) = x² + 1 alors u'(x) = 2x
On a alors f(x) = u'(x) u²(x).
1
1
Donc F(x) = u3(x) + k , k IR .
F(x) = ( x² + 1 )3 + k , k IR .
3
3
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IV. Les méthodes pour rechercher une primitive :
1) Si n
IN , pour obtenir une primitive de f(x) = xn , on augmente l'exposant de 1 et on divise par ( n + 1 ).
Déterminer les primitives sur IR de f(x) = x8 .
1
F(x) = x9 + k , k IR .
9
Déterminer la primitive de f telle que F(1) =3.
Pour déterminer une primitive particulière , il faut calculer la valeur de la constante .
1
9
1 26
=
9 9
1
26
La primitive cherchée est donc F(x) = x9 +
.
9
9
F(1) = 3
19 + k = 3
k=3–
2) Pour un produit d'une fonction par un réel , on obtient une primitive en multipliant par le réel une
primitive de la fonction .
Déterminer les primitives de f(x) = 4 x5 et g(x) = – 12 x7 .
1 6
2
1 8
3
F(x) = 4
x + k = x6 + k , k IR . G(x) = – 12
x + k = – x8 + k , k
6
3
8
2
IR .
Pour une somme de fonctions , on obtient une primitive en ajoutant des primitives de chacune des
fonctions.
Déterminer les primitives de h(x) = 4 x5 – 12x + 3
2
3
H(x) = x6 – x8 + 3x + k , k IR .
3
2
3) Si f(x) =
a
, on peut écrire f(x) = a
x²
1
. Les primitives sont alors F(x) = a
x²
Déterminer les primitives de h(x) = 2x² –
3
sur ] 0 ; +
x²
(–
1
)+k ,k
x
[ puis déterminer la primitive H de h
telle que H(1) = 0.
1 3
1
2
3
H(x) = 2
x – 3 ( – ) + k = x3 + + k , k IR .
3
x
3
x
2
2
11
H(1) = 0
+3+k=0
k=–3– =–
.
3
3
3
2
3 11
La primitive de h qui s'annule pour x = 1 est H(x) = x3 + –
.
3
x
3
Si f(x) = –
u'
1
alors F(x) = + k
u²
u
Déterminer les primitives de f(x) = –
Posons u(x) = x² + 2
F(x) =
3
2
1
3
+k =
u
2
3x
sur IR .
( x² + 2 )2
alors u'(x) = 2x et f(x) = 3
1
+k
(x² + 2)
, k
IR .
1
2
IR .
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– 2x
3
=
(x² + 2)2
2
–
u'
u²
5
4) Lorsque l'on cherche les primitives d'un produit , on peut chercher à faire apparaître la forme u'
Déterminer les primitives de f(x) = – 8x ( x² – 5 )4 sur IR puis celle qui s'annule pour x = – 2 .
f s'écrit sous la forme d'un produit . Posons u(x) = x² – 5 alors u'(x) = 2x .
1
4
f(x) = – 4 u'(x) u4 (x). Donc F(x) = – 4
u5 (x) + k = – ( x² – 5 )5 + k , k IR .
5
5
4
67
228
67 228
F(– 2 ) = 0
– ( – 7 )5 + k = 0
+k=0
k=–
= – 13 445,6
5
5
5
4
La primitive de f s'annulant pour x = – 2 est F(x) = – ( x² – 5 )5 – 13 445,6.
5
Cas particulier :
u'
admet comme primitives des fonctions de la forme 2 u + k.
u
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un .