DÉRIVATION

CHAPITRE 8
DÉRIVATION
Dans tout ce chapitre, sauf mention contraire, D,E,Fdésigneront des parties de Ret I,Jdes intervalles de
R. On supposera donné, quand nécessaire, un repère du plan et l’on notera Cfla courbe d’une fonction fdans ce
repère.
1 Dérivée d’une fonction
1.1 Dérivabilité
1.1.a Nombre dérivé en un point
Définition 8.1
Soient f:I→Ret a,bdeux éléments distincts de I.
•On appelle corde de fentre aet bla droite passant par les points A(a,f(a)) et B(b,f(b)) de Cf.
•On appelle taux d’accroissement de fentre aet ble réel f(b)−f(a)
b−a, égal au coefficient directeur de la
corde de Cfentre aet b.
1
2
3
4
5
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Taux d’accroissement entre 0.5 et 2 : f(2)−f(0.5)
2−0.5=3.75 1.5=2.5
A
B
f(b)−f(a)=3.75
b−a=1.5
Figure 8.1 – Corde et taux d’accroissement.
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Chapitre 8–D´ erivation
Définition 8.2
Nombre dérivée en un point
Soient f:D→Ret a∈D.
•fest dite dérivable en asi f(x)−f(a)
x−a−→
x→al∈R, autrement dit si son taux d’accroissement entre aet x
admet une limite finie quand xtend vers a.
•Dans ce cas, cette limite est appelée nombre dérivé de fen aet l’on note
f0(a)=lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a
Remarques
•Une fonction peut donc être définie en asans être dérivable en apour deux raisons : soit parce que le taux
d’accroissement n’a pas de limite, soit parce qu’il a une limite infinie.
•En effectuant le changement de variable x=a+h, le taux d’accroissement entre aet xs’écrit f(x+h)−f(x)
het
l’on peut donc remplacer l’étude de f(x)−f(a)
x−aquand x→apar celle de f(x+h)−f(x) hquand h→0.
Définition 8.3
Soit f:D→R.
fest dite dérivable si elle est dérivable en apour tout a∈D.
Dans ce cas, on appelle fonction dérivée de f, et l’on note f0, la fonction f0:D→R|x7→ f0(x).
Théorème 8.4
Soient f:D→Ret a∈D.
Si fest dérivable en a, alors fest continue en a.
Remarque
La réciproque est fausse, comme le montre l’exemple 8.1.
Exemple 8.1
Soit f :R+→R|x7→ √x, et soit a ∈R+.
Si a>0on a, pour tout x ∈R+\ {a},
f(x)−f(a)
x−a=√x−√a x−a=(√x−√a)(√x+√a)
(x−a)(√x+√a)=x−a (x−a)(√x+√a)
=1
√x+√a
Or √x+√a−→
x→a2√a,0car a ,0, et donc f(x)−f(a)
x−a−→
x→a
1
2√a∈R. Ainsi, f est dérivable en tout
a,0et f 0(a)=1
2√apour a ,0.
Si a=0on étudie de même, pour x >0,f(x)−f(0)
x−0=√x x=1
√x. Mais la limite de ce quotient quand x tend
vers 0 est +∞, et x 7→ √x n’est donc pas dérivable en 0.
Finalement, la fonction racine, qui est continue sur R+(et donc en particulier en 0), est dérivable en tout
point de R∗
+mais pas en 0.
Exercice 8.2
Soit f :R→R|x7→ x2. Montrer que f est dérivable et déterminer l’expression de f 0(x)pour x ∈R(à
partir de la définition, bien sûr).
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Chapitre 8–D´ erivation
Définition 8.5
Dérivée à gauche, à droite
Soient f:D→Ret a∈D.
•Si f(x)−f(a)
x−a−→
x→a+l∈R, on dit que fest dérivable à droite en a, et l’on note f0
d(a)=lim
x→a+
f(x)−f(a)
x−a.
•Si f(x)−f(a)
x−a−→
x→a−l∈R, on dit que fest dérivable à gauche en a, et l’on note f0
g(a)=lim
x→a−
f(x)−f(a)
x−a.
Proposition 8.6
Soient f:D→Ret a∈D.
fest dérivable en assi elle admet des dérivées à gauche et à droite en aet que ces dérivées sont égales.
Remarque
On peut définir la dérivabilité à gauche et à droite en ade manière plus concise : fest dérivable à gauche
(respectivement à droite) en assi f|D∩]−∞,a](resp. f|D∩[a,+∞[) est dérivable en a.
Exercice 8.3
Soit f :R→R|x7→ |x|. Montrer que f est dérivable à gauche et à droite en 0 mais qu’elle n’est pas
dérivable en 0.
Proposition 8.7
Soient f:D→Ret a∈R.
Si fest dérivable en aet si f0(a),0, alors
f(x)−f(a)∼
x→af0(a)(x−a)
Remarques
•En admettant les résultats sur les dérivées des fonctions usuelles, cette propriété permet de retrouver les
équivalents usuels.
•On peut effectuer le changement de variable x=a+h, on obtient alors f(x+h)−f(x)∼
h→0h f 0(x).
•Attention à l’hypothèse f0(a),0. Sinon, on obtient par exemple cos x−cos 0 ∼
x→0cos0(0)(x−0), c’est-à-dire
cos x−1∼
x→00, ce qui est clairement faux.
Exemple 8.4
•La fonction sin est dérivable en 0 et sin0(0) =cos 0 =1. On en déduit sin x−sin 0 ∼
x→01×(x−0),
c’est-à-dire sin x∼
x→0x.
•La fonction ln est dérivable en 1 et ln0(1) =1
1=1. On en déduit ln x−ln 1 ∼
x→11×(x−1), c’est-
à-dire ln x∼
x→1x−1. En effectuant le changement de variable x =1+h, cet équivalent devient
ln(1 +h)∼
h→0h.
Proposition 8.8
Soient f:D→Ret a∈D.
fest dérivable en assi il existe c∈Rtel que
f(x)=f(a)+c(x−a)+ox→a(x−a)
Dans ce cas, on a f0(a)=c.
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Chapitre 8–D´ erivation
Remarques
•On dit que fadmet un développement limité à l’ordre 1 en a. Cette notion sera largement approfondie au
chapitre suivant.
•Une nouvelle fois, on peut effectuer le changement de variable x=a+hpour obtenir, si fest dérivable en
a,f(a+h)=f(a)+h f 0(a)+oh→0(h).
1.1.b Tangente
Définition 8.9
Soient f:D→R,a∈Det A(a,f(a)).
•Si fest dérivable en a, on appelle tangente en A à Cfla droite passant par Aet de coefficient directeur
f0(a).
•Si f(x)−f(a)
x−a−→
x→a−±∞ et f(x)−f(a)
x−a−→
x→a+±∞, on appelle tangente en AàCfla droite parallèle à l’axe des
ordonnées et passant par A.
•Dans les autres cas, Cfn’admet pas de tangente en A.
Remarques
•On parle aussi de tangente à Cfau point d’abscisse aou même simplement de tangente en a.
•Dans le deuxième cas, les limites à gauche et à droite peuvent être différentes, tant qu’elles sont toutes les
deux infinies.
•Parmi toutes les droites passant par A, la tangente est celle qui «colle le mieux» à Cfautour de A(si une telle
droite existe).
•Géométriquement, la tangente ∆correspond à la position limite, si elle existe, de la corde reliant A(a;f(a))
et M(x;f(x)) quand xtend vers a.
1
2
3
4
5
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Tangente ∆aen A
x1 x2 x3 x4 a
A
M1
M2
M3
M4
Figure 8.2 – Position limite des cordes.
Proposition 8.10
Soient f:D→Ret a∈D.
fest dérivable en assi elle admet une tangente non verticale Taau point d’abscisse aet, dans ce cas, on a :
Ta:y=f0(a)(x−a)+f(a)
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Chapitre 8–D´ erivation
Cf
f′(a)>0
A
a
f′(a)<0
A
a
Figure 8.3 – Tangentes obliques
Cf
∆A
∆B
A
a
B
b
Figure 8.4 – Tangentes horizontales, f0(a)=f0(b)=0
A
a
∆a
Figure 8.5 – Tangentes verticales, fn’est pas dérivable en a.
Cf
A
a
Les dérivées à gauche et à droite en aexistent et sont différentes. La fonction n’est pas dérivable en aet il n’y a
pas de tangente en A.
Figure 8.6 – Point anguleux.
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