Résolution de probl`emes de contact et de frottement avec la

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eme Congr`
es Franc¸ais de M´ ecanique Marseille, 24-28 aoˆ ut 2009
R´ esolution de probl` emes de contact et de frottement avec la
M´ ethode Asymptotique Num´ erique
F. B ´ ECHETa, H. BOUDAOUDa, A. LEJEUNEa, M. POTIER-FERRYa
a. Laboratoire de Physique et M´ ecanique des Mat´ eriaux - Ile du Saulcy - 57045 Metz cedex 01
R´ esum´ e :
Le transport de bandes minces m´ etalliques apparaˆ ıt dans divers proc´ ed´ es de fabrication : recuit continu, planage, galva-
nisation. Diff´ erents ph´ enom` enes non lin´ eaires entrent en jeu dont notamment le contact avec frottement. Dans le cadre du
projet ANR Instabande, nous d´ eveloppons une m´ ethode pour r´ esoudre ce type de probl` emes de m´ ecanique utilisant des
´
el´ ements finis de coques et la M´ ethode Asymptotique Num´ erique. Nous pr´ esenterons les derni` eres avanc´ ees.
Abstract :
Thin metallic sheets transportation is used in numerous manufacturing processes such as continuous annealing, levelling
or galvanization. It involves various non linear phenomena and in particular contact with friction. Within the project ANR
Instabande, we develop a method to solve this kind of mechanical problems, using shell finite elements and the Asymptotic
Numerical Method. We will present the latest breakthroughs.
Mots clefs : M´ ecanique du contact, Frottement, Coques, M´ ethode Asymptotique Num´ erique
1 Introduction
Dans les usines sid´ erurgiques, le transport de bandes m´ etalliques fines est assur´ e par un syst` eme compos´ e
de rouleaux. Ce proc´ ed´ e met en jeu diff´ erents ph´ enom` enes non lin´ eaires : grands d´ eplacements, plasticit´ e et
contact avec frottement. Dans le cadre du projet ANR Instabande, nous d´ eveloppons un logiciel El´ ements Finis
traitant ces non lin´ earit´ es par la M´ ethode Asymptotique Num´ erique (MAN) [1][2]. L’objectif est de pr´ edire
l’apparition de plis (zones plastifi´ ees) survenant lors du transport [3]. Ceux-ci sont dus ` a un ph´ enom` ene de
flambement provoqu´ e par la mise sous tension de la tˆ ole mince [4]. Il a ´ et´ e montr´ e que le frottement qui existe
entre le rouleau et la tˆ ole joue un rˆ ole majeur dans ce processus [5].
Notre travail se d´ ecompose en deux ´ etapes principales. La premi` ere est la mise en place d’un mod` ele El´ ements
Finis de coques en grandes rotations avec prise en compte du contact unilat´ eral mais sans frottement. Le mod` ele
de coques utilis´ e est d´ etaill´ e dans [6][7]. Le probl` eme est r´ esolu avec la MAN. Cette technique a d´ ej` a´ et´ e mise
en œuvre s´ epar´ ement avec les ´ el´ ements coques [7] et sur la mod´ elisation du contact [8]. L’originalit´ e du travail
r´ eside donc dans le couplage coque/contact.
La deuxi` eme ´ etape consiste ` a prendre en compte le frottement entre la coque et les rouleaux. La loi de frot-
tement relie la vitesse de glissement ` a la r´ eaction tangentielle. Le couplage de cette loi avec la formulation
´
el´ ements finis de d´ epart et la loi de contact conduit ` a r´ esoudre un probl` eme alg´ ebrique pour le contact normal
et un probl` eme diff´ erentiel pour le frottement. Cette difficult´ e n’est pas pr´ esente dans le cadre d’un comporte-
ment rigide viscoplastique pour lequel une formulation en vitesse a d´ ej` a´ et´ e mise en œuvre avec la MAN [9].
On ´ etudie tout d’abord un probl` eme de frottement pour un syst` eme masse ressort afin de comprendre quelles
sont d´ ej` a les difficult´ es rencontr´ ees pour ce probl` eme simplifi´ e.
2 Implantation du contact dans le mod` ele de coques EAS
2.1 Formulation du probl` eme
On se place dans le cadre d’une formulation tridimensionnelle de coque. Afin de limiter les effets du ver-
rouillage num´ erique, nous utilisons une m´ ethode mixte, nomm´ ee Enhanced Assumed Strain (EAS) [6]. A
partir de la formulation de Hu-Washizu, une variable suppl´ ementaire de d´ eformation incompatible avec le
d´ eplacement est introduite. Le champ de d´ eformation s’´ ecrit alors sous la forme :
γ=γl+γnl + ˜γ(1)
o` uγlet γnl, d´ esigne respectivement la partie compatible lin´ eaire et la partie compatible non lin´ eaire de la
d´ eformation, ˜γrepr´ esentant la partie incompatible. Nous prenons en compte par la suite le contact ` a l’aide de
1

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la m´ ethode des multiplicateurs de Lagrange et sous une forme r´ egularis´ ee classique. Les ´ equations d’´ equilibre
en formulation quasi-statique et la loi de contact unilat´ eral, pour une coque en contact avec un corps rigide, se
r´ eduisent ` a la r´ esolution du syst` eme :
-´ Equation d’´ equilibre : ZΩ
S:δγ dΩ = λµZΩ fvδu dΩ + Z∂ΩS fsδu dΓ¶+Z∂ΩC RN~nδu dΓ(2)
o` uSest le deuxi` eme tenseur de Piola-Kirchhoff, RNla r´ eaction normale de contact et fvet fsles efforts
appliqu´ es.
- Loi de contact p´ enalis´ ee r´ egularis´ ee : RNµRN
K+h¶=η(δ−h)sur ∂Ωc(3)
o` uKest un coefficient de p´ enalisation, ηun param` etre de r´ egularisation, hla distance entre un noeud et
l’obstacle et δ=hinitiale.
- Orthogonalit´ e de ˜γavec S:ZΩ
S: ˜γ dΩ = 0 sur Ω(4)
`
A ces ´ equations, s’ajoute la loi de comportement (´ elastique lin´ eaire ` a ce stade), les conditions aux limites et
des ´ equations g´ eom´ etriques permettant de d´ eterminer het ~n. Nous r´ esolvons le probl` eme pr´ ec´ edent au moyen
de la MAN en utilisant les d´ eveloppements pour le contact unilat´ eral d´ efini dans [2].
2.2 Exemple
Nous pr´ esentons ici une exemple proche de la simulation du transport de bandes : nous consid´ erons le contact
entre une plaque et un obstacle de forme cylindrique, ind´ eformable et fixe (FIG. 1).
Chargement
Encastrement
C
A
D
B
~ex
~ez~ey
O
FIG. 1 – Probl` eme consid´ er´ e
Donn´ ees du probl` eme
longueur de la coque = 2 m
largeur de la coque = 0,2m
´epaisseur de la coque = 0,0008 m
diam`etre du cylindre = 1 m
centre du cylindre : (1; 0; 0,5001)
E= 200 000 MP a ;ν= 0,3
hinitiale = 0,0001 m
K= 109MP a/m ;η= 10−2MP a
A= (2 ; 0 ; 0) B= (1 ; 0; 0)
C= (1,1 ; 0 ; 0) D= (1,2 ; 0 ; 0)
La plaque est encastr´ ee ` a une extr´ emit´ e. Elle est soumise ` a son autre extr´ emit´ e` a trois forces ponctuelles de
mˆ eme intensit´ eF= 10λavec λ= 10−3t. A titre de validation nous comparons tout d’abord le d´ eplacement
du point Asuivant l’axe zobtenu au moyen de notre mod` ele ` a celui obtenu avec un mod` ele d´ evelopp´ e sous
Abaqus utilisant des ´ el´ ements de coque mince de type S8R. Les r´ esultats des deux mod` eles sont tr` es proches.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Uz(A) (mm)
FIG. 2 – Comparaison du d´ eplacement Uzen A
0
2000
4000
6000
8000
10000
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Réaction normale (N)
λ
FIG. 3 – Comparaison des forces de contact
Finalement, nous comparons FIG. 3 les forces de contact obtenues aux noeuds B,C,D(FIG. 1) par les deux
mod` eles en fonction du param` etre de chargement. Nous observons FIG. 3 une tr` es bonne ad´ equation entre les
forces de contact obtenues avec les deux mod` eles. Cela montre donc que l’approche propos´ ee est valide et
applicable ` a la simulation du transport de bandes. Il reste toutefois ` a prendre en compte le frottement.
2

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3 Introduction des effets de frottement sec
Apr` es avoir introduit le contact unilat´ eral dans le mod` ele de coque, la seconde ´ etape consiste ` a prendre en
compte les effets m´ ecaniques dus au frottement sec. Classiquement, ces effets sont d´ ecrits par le mod` ele de
type Coulomb reliant la force tangentielle RT, la force normale RNet la vitesse de glissement vsentre les
deux solides en question. La r´ esolution de ce probl` eme implique plusieurs difficult´ es :
– La loi de frottement classique n’est pas analytique.
– La vitesse intervient dans les ´ equations de frottement. On doit alors r´ esoudre une ´ equation diff´ erentielle.
– Le frottement doit ˆ etre trait´ e dans un rep` ere local qui bouge au cours du temps.
On s’attache ici ` a prendre en compte ces trois difficult´ es progressivement. Nous consid´ erons tout d’abord des
probl` emes ponctuels de type masse-ressort en une dimension puis deux dimensions.
3.1 Loi de frottement utilis´ ee
Pour r´ esoudre un probl` eme de frottement avec la MAN, il faut que la loi de frottement soit analytique. Ainsi,
on utilise une loi ” puissance ” r´ egularis´ ee [10] :
RT=−fRN|vs|q−1
reg
Vq
c
vs(5)
o` ufet vsrepr´ esentent respectivement le coefficient de frottement et la vitesse de glissement entre ces deux
solides. De plus, pour ´ eviter la singularit´ e en vs= 0, la norme de vsest r´ egularis´ ee :
|vs|reg =pvs.vs+ω2V2
c(6)
o` uωest un param` etre de r´ egularisation et Vcune vitesse caract´ eristique du probl` eme. Pour q6= 0, la force de
frottement d´ epend du module de la vitesse. Pour q= 0, on retrouve le mod` ele de Coulomb (voir FIG. 4).
FIG. 4 – Loi de frottement pour diff´ erentes valeurs de q
Ainsi, on a une loi analytique : elle est infiniment d´ erivable en 0et ne pr´ esente plus de palier non-inversible.
Les efforts de r´ eaction se trouvent alors en dehors du cˆ one de frottement (au sens de Coulomb) quand la vitesse
de glissement est ´ elev´ ee (sup´ erieure ` aVc).
3.2 R´ esolution d’une ´ equation diff´ erentielle avec la MAN
On consid` ere en premier lieu un probl` eme de frottement unidimensionnel : un syst` eme masse-ressort est pos´ e
sur un plan rigide mobile (de vitesse V= 1 m.s−1). La r´ eaction normale, not´ ee RN, est suppos´ ee connue. En
consid´ erant que vx−V < 0, ce probl` eme peut se ramener ` a une ´ equation diff´ erentielle non lin´ eaire du premier
ordre en ux(d´ eplacement dans la direction x) par rapport au temps tqui s’´ ecrit
kux+fRN|vx−V|q−1
reg
Vq
c
(vx−V) = 0 (7)
Pour r´ esoudre cette ´ equation diff´ erentielle avec la MAN, uxet vxsont d´ evelopp´ es en s´ eries enti` eres :
ux=
N
X
p=0
(ux
p)(t−t0)pet vx=
N
X
p=0
(vx
p)(t−t0)p(8)
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La vitesse vxest prise comme inconnue, qui, ´ etant la d´ eriv´ ee de uxsatisfait la relation ` a l’ordre p:
vx
p= (p+ 1)ux p+1 (9)
Ainsi, ` a l’ordre p, connaissant ux
p, on calcule vx pavec l’´
equation diff´ erentielle d´ evelopp´ ee, puis on en d´ eduit
ux
p+1 avec (9) et ainsi de suite. La principale difficult´
e se situe donc ` a l’ordre 0 du premier pas. Si on consid` ere
que le d´ eplacement initial est une donn´ ee (ux
0= 0), vx 0est solution d’une ´
equation non lin´ eaire correspondant
`
a l’ordre 0. Aux ordres suivants, il n’y aura qu’` a r´ esoudre un probl` eme lin´ eaire. Pour d´ eterminer vx
0au premier
pas, on utilise donc une m´ ethode de type Newton. Sur la figure 5 sont pr´ esent´ es les r´ esultats num´ eriques obtenus
pour q= 0,05. On prend comme r´ ef´ erence la courbe donn´ ee par MAPLE pour ω= 0 (pas de r´ egularisation
de la norme de vs). Les r´ esultats ”MAN” ont ´ et´ e obtenus pour ω= 0,1et Vc= 1 m.s−1.
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
ux (m)
t (s)
résultat maple
résultat MAN
résultat MAN avec v0 exact
FIG. 5 – D´ eplacement uxen fonction du temps
L’effet de la r´ egularisation se fait sentir lorsque la vitesse de glissement passe de z´ ero ` a une valeur non nulle.
C’est ce qui se passe entre t= 0,1set t= 0,3so` u il y a un ´ ecart entre la courbe MAPLE et les deux
courbes MAN. La comparaison entre les deux courbes MAN montre l’importance de l’initialisation dans ce
type de probl` eme. Lorsque l’initialisation est faite avec la m´ ethode de Newton (pr´ ecision 10−5), il y a un
´
ecart significatif (environ 2,3%) au niveau de la position d’´ equilibre (c’est-` a-dire le plateau). Si on entre la
valeur exacte (vx
0=Vici), l’´
ecart n’est plus que de 0,5% avec le r´ esultat MAPLE, cet ´ ecart relevant de la
r´ egularisation.
3.3 Contact avec un plan mobile
Nous ´ etudions maintenant le probl` eme bidimensionnel sch´ ematis´ e FIG. 6. Nous consid´ erons un syst` eme
V(t) →
y
x
-F
Ressort 1
Raideur k
Ressort 2
Raideur k
Plan mobile
FIG. 6 – Masse en contact avec un plan mobile
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 2 4 6 8 10 12
ux (m)
t (s)
ux théorique (pour q=0)
ux eta=0.1 K=10^6 75 pas
ux eta=0.02 K=10^6 90 pas
FIG. 7 – D´ eplacement uxen fonction du temps
masse-ressorts (les ressorts sont ` a 45˚ et suppos´ es tr` es longs par rapport aux autres dimensions du probl` eme).
A l’´ etat initial, la masse se trouve ` a une distance δ= 1 md’un plan rigide se translatant horizontalement ` a une
vitesse V= 1 m.s−1. A t= 0, on applique ` a la masse une force proportionnelle au temps. On consid` ere le
probl` eme quasi-statique et on a donc le syst` eme (l’´ equation de frottement est projet´ ee sur ~exet devient scalaire)
−kux+RT= 0 (a)
−kuy+RN=F t (b)
RNµRN
K+h¶=η(δ−h)avec h =δ+uy(c)
RT=−fRN|vs|q−1
reg vs(d)
(10)
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On voit que pour ce probl` eme, parties normale et tangentielle sont quasiment d´ ecoupl´ ees, la r´ eaction normale
RN´ etant n´ ecessairement selon ~eyet la r´ eaction tangentielle RTselon ~ex. On peut r´ esoudre la partie normale
ind´ ependamment puis r´ esoudre la partie tangentielle en prenant en compte la valeur de RN. Ainsi on a une
´
equation alg´ ebrique (partie normale, ´ equations (10.b) et (10.c)) et une ´ equation diff´ erentielle (partie tangen-
tielle, ´ equations (10.a) et (10.d)) que l’on peut r´ esoudre successivement.
La r´ esolution du probl` eme par la MAN commence par le calcul des inconnues ` a l’ordre 0. En particulier, on
´
evalue vs
0=vx 0−V0. D’apr`
es (9), on en d´ eduit ux
1et donc RT 1(10.a). On peut ´
egalement r´ esoudre le probl` eme
normal o` u on a deux ´ equations pour deux inconnues (hne d´ ependant que de uy). La derni` ere ´ equation (10.d)
sert ` a´ evaluer vs
1et donc ux 2, ce qui permettra de r´
esoudre le probl` eme ` a l’ordre 2de la mˆ eme fac¸on.
Si l’on r´ esout le probl` eme sous cette forme avec la MAN, la r´ esolution du premier ordre sera impossible car la
matrice tangente est non inversible. Ceci est dˆ u au fait que RNest nul au d´ epart et il n’est donc pas possible de
d´ eduire la vitesse de l’´ equation de frottement. Il faut donc r´ egulariser RNdans l’´ equation de frottement :
RT=−f¯
¯RN¯ ¯reg |vs|q−1
reg vs(11)
avec ¯
¯RN¯ ¯reg =q(RN)2+ζ2,ζ´
etant un param` etre de r´ egularisation. On garde les mˆ emes param` etres de
r´ egularisation que pr´ ec´ edemment et on prend ζ= 0,1N. Le d´ eplacement uxest compar´ e FIG. 7 avec un
r´ esultat analytique obtenu pour q= 0. On voit l’effet de la r´ egularisation au moment du contact vers t= 1 s.
Apr` es t= 1 s, il y a contact et frottement, la masse est entrain´ ee de plus en plus loin du fait de la force
croissante. La pente est l´ eg` erement plus faible que dans le cas analytique, cela est dˆ u au fait que q= 0,05.
3.4 Contact avec obstacle circulaire en rotation
Nous consid´ erons le mˆ eme probl` eme que pr´ ec´ edemment mais l’obstacle est maintenant de forme circulaire et
tourne sur lui-mˆ eme (FIG. 8). L’obstacle rigide, de rayon r= 1 m, et tourne ` a une vitesse de Ω = 1 rad.s−1.
Vitesse de
rotation Ω
y
x
-F
Rouleau
tournant
Ressort 1
Raideur k
Ressort 2
Raideur k
n
t
C
rayon
r
FIG. 8 – Masse en contact avec obstacle circulaire en rotation
Si nous projetons l’´ equation d’´ equilibre sur ~exet ~eycomme pr´ ec´ edemment, nous n’avons plus un probl` eme
d´ ecoupl´ e, parties alg´ ebrique et diff´ erentielle sont m´ elang´ ees. Une possibilit´ e est de projeter l’´ equilibre sur la
normale ~n et la tangente ~ t. Une autre possibilit´ e, celle que nous avons choisie, est de projeter l’´ equilibre sur la
normale ~n0et la tangente ~ t0en d´ ebut de pas. On projette ´ egalement le vecteur d´ eplacement et le vecteur vitesse
sur la normale ~n0et la tangente ~ t0:
u=un~n0+ut~ t0v=vn~n0+vt~ t0(12)
Ces deux projections apparaissent naturellement dans les ´ equations. En prenant unet utcomme nouvelles
inconnues on se ram` ene aux ´ equations d’´ equilibre :
−kun+RN~n.~n0+RT~ t.~n0=λF.~n0(13)
−kut+RN~n.~ t0+RT~ t.~ t0=λF.~ t0(14)
Ainsi, ` a l’ordre 1, on a
−kun
1+RN 1+RT 0~
t1.~n0=λ1F.~n0(15)
−kut
1+RN 0~n1.~
t0+RT
1=λ1F.~
t0(16)
5