Résolution des grandes systémes d`équations linéaires par la

Cycle postgrade ing´enierie math´ematique Calcul scientifique, projet 5
Applications sur ordinateur Assistant: Aleˇs Janka
R´esolution des grandes syst´emes d’´equations lin´eaires par la
m´ethode Schwarz domain decomposition
Consid´erons un probl`eme de la chaleur pos´e sur un carr´e Ω ⊂R2, Ω = [−1,1] ×[−1,1],
−∆u=fdans Ω,(1)
u=u0sur ΓD,(2)
~nΓgrad u= 0 sur ΓN.(3)
(4)
La discr´etisation de ce probl`eme par ´el´ements finis (et aussi par diff´erences finies ou volumes
finis) m`ene `a la r´esolution d’un grand syst`eme d’´equations lin´eaires
A~x =~ b
avec A∈RN×Nune matrice creuse (sparse), sym´etrique d´efinie positive, et ~ b,~x ∈RNvecteurs de
second membre et de la solution. Les valeurs de ~x,{xi}, correspondent aux valeurs de la solution
uaux noeuds du maillage 2D.
Tr`es souvent dans les applications de l’ing´enierie, le nombre de nœuds Nvarie de quelques
centaines de milliers jusqu’aux quelques dizaines de millions. Pour les syst`emes de cette taille, il
est envisagable de traiter la r´esolution par les ordinateurs parall´eles, en d´ecoupant le probl`eme
original en plusieurs sous-probl`emes et en les distribuant sur plusieurs processeurs.
D´ecoupons le domaine de calcul Ω en plusieurs sous-domaines Ωi,i= 1, . . . , K qui se r´ecouvrent
et Ω = SK
i=1 Ωi, cf. Fig. 1.
recouvrement
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ΩΩ
ΩΩ
Figure 1: G´eom´etrie du probl`eme r´esolu par d´ecomposition de domaines, nombre de sous-domaines
K= 4
L’algorithme de Schwarz multiplicatif consiste `a traiter successivement les sous-probl`emes sur
les sous-domaines Ωi.
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Algorithme de Schwarz multiplicatif
1. Choisir une solution initiale u0
2. R´epeter pour i= 1, . . . , J jusqu’`a convergence:
(a) Noter la solution int´ermediaire u0
i=ui−1et chercher sa correction w1sur Ω1, ie.
r´esoudre le sous-probl`eme sur Ω1
−∆w1=f+ ∆u0
idans Ω1,
w1= 0 sur ∂Ω1\ΓN,
~nΓgrad w1= 0 sur ∂Ω1∩ΓN.
(b) Noter la solution int´ermediaire u1
i=u0 i+w1et chercher sa correction w2sur Ω2, ie.
r´esoudre le sous-probl`eme
−∆w2=f+ ∆u1
idans Ω2,
w2= 0 sur ∂Ω2\ΓN,
~nΓgrad w2= 0 sur ∂Ω2∩ΓN.
(c) Continuer ainsi jusqu’au K-i`eme sous-probl`eme pour obtenir ui+1 =uK
i=uK−1
i+wK.
3. Fin de la r´ep´etition.
Questions:
•D´eduire de (1)-(3) la formulation faible du probl`eme: multiplier (1) par une fonction test w,
int´egrer sur Ω, puis utiliser le Theor´eme de la divergence et les conditions aux bords (3).
•Discr´etiser le probl`eme par la m´ethode des ´el´ements finis et impl´ementer en Matlab. Un
code 2D ´el´ements finis pour discr´etiser l’op´erateur de Laplace sera fourni.
•Re´ecrire les sous-probl`emes sur Ωiaussi dans la formulation faible. Faire l’hypoth`ese que les
bords artificiels ∂Ωi\∂Ω sont align´es avec les arˆetes du maillage.
•R´eecrire les sous-probl`emes sur Ωipurement alg´ebriquement, en n’utilisant que la matrice
A, et une matrice Ni∈RNi×N,Niest le nombre de noeuds `a l’int´erieur de Ωi,Ni(j, k) = 1
si noeud kappartient dans Ωiet correspond `a la j-i`eme unconnue du probl`eme local sur Ωi.
•Impl´ementer l’algorithme de Schwarz en Matlab.
•Tester la vitesse de conv´ergence de l’algorithme en fonction du nombre de sous-domaines
Ωiet de la largeur de leur d´ecouvrement. R´ealiser, que la m´ethode de Schwarz pour le
recouvrement minimal coincide avec une m´ethode de Gauss-Seidel par block.
•Eventuellement, utiliser une it´eration de m´ethode de Schwarz comme le pr´econditionneur de
la m´ethode des gradients conjug´es, mesurer le conditionnement du probl`eme original et du
probl`eme pr´econditionn´e. La m´ethode du gradient conjug´e avec l’estimation du condition-
nement (implement´ee en Matlab) sera fourni.
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