Polynomes

Universit´e Joseph Fourier, Grenoble.
L2 MAT235.
Probl`emes de polynˆomes
Probl`eme 1 Dans ce probl`eme on cherche `a r´esoudre une ´equation dans
Q[X], puis dans Z2[X].
On consid`ere l’´equation
A=D(A)D2(A)
dans Q[X].
a. Trouver les polynˆomes constants qui v´erifie cette ´equation.
b. D´eterminer le degr´e de D(A) et de D2(A) en fonction de celui de A. En
d´eduire une condition sur le degr´e de Apour que Asoit solution non nulle de
l’´equation.
c. D´eterminer les solutions de degr´e 3. Quel est l’ensemble de solutions de
l’´equation?
d. Consid´erer la mˆeme ´equation dans Z2[X].
Probl`eme 2 Dans ce probl`eme on ´etudie les racines d’un polynˆome dans
Z5[X], puis on d´etermine sa d´ecomposition en produit d’´el´ements irr´eductibles.
Soit A= 3 + X+ 3X2+ 2X4∈Z5[X].
a. Trouver l’ensemble V(A) de racines de A.
b. Calculer D(A) et d´eterminer, pour α∈V(A), si αest simple ou multiple.
c. Trouver la multiplicit´e de α, si α∈V(A).
d. Trouver une ´ecriture de Acomme produit d’une constante et des polynˆomes
irr´eductibles unitaires.
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Probl`eme 3 Dans ce probl`eme on ´etudie la d´ecomposition en irr´eductibles
dans Q[X], dans R[X] et dans C[X] d’un polynˆome dans Q[X].
a. Soit P∈Q[X] un polynˆome unitaire dont les coefficients sont des nombres
entiers. D´emontrer que toute racine rationnelle de Pest n´ecessairement un
nombre entier.
On consid`ere le polynˆome dans Q[X]
A=−2−5X−5X2−2X3+X4+X5.
b. Trouver les racines rationnelles de Aet la multiplicit´e de chacune de ces
racines.
c. En employant une division euclidienne, trouver la d´ecomposition de Aen
´el´ements irr´eductibles.
d. D´eterminer la d´ecomposition de Aen ´el´ements irr´eductibles dans R[X], puis
dans C[X].
Probl`eme 4 Dans ce probl`eme on consid`ere le pgcd d’un couple de polynˆomes
d´ependant d’un param´etre.
On consid`ere les polynˆomes de Q[X]
A=X4+X2+r2B=X2−X+r r ∈Q.
a. Trouver le pgcd de Aet Blorsque r= 0 et r= 1.
b. Maintenant supposons que r6= 0 et r6= 1. Montrer que Bne divise pas
A, puis que Aet Bn’ont pas de racine commune. En d´eduire le pgcd de Aet B.
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