Objets injectifs dans les catégories abéliennes

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
P IERRE G ABRIEL
Objets injectifs dans les catégories abéliennes
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 12, no 2 (1958-1959), exp. no 17,
p. 1-32
<http://www.numdam.org/item?id=SD_1958-1959__12_2_A4_0>
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Faculté des Sciences de Paris
17-01
Séminaire P. DUBREIL,
DUBREIL-JACOTIN
et C. PISOT
M.-L,
DES
et THÉORIE
NOMBRES)
2
mars
1959
le
langage
(ALGÈBRE
1958/59
...nuée
OBJETS INJECTIFS DANS LES
CATÉGORIES
ABÉLIENNES
par Pierre GABRIEL
1 Introduction.
Cet exposé est
rapport
un
sur
le travail de MATLIS
[7 ] . Cependant
’
a
été modifie et les méthodes
rédacteur s’est
des résultats
2.
outre
en
sur
les
nous excusons
Nous
ne
(A) , (B)
A. Si
1
indue tif
complu
ici pour la dualité sont différentes. Le
à donner de nombreux
anneaux non
Enveloppes injectives
Nous
employées
dans les
et à
exemples
commutatifs et les faisceaux
est
sur
déduire
quasi-cohérents.
catégories abéliennes.
pour les sorites
qui
suivent.
considérerons que dos catégories abéliennes satisfaisant
et
en
axiomes
aux
(C) :
un
préordonné
valeur dans C ,
ensemble
I,
à
B. Avec les notations
filtrant
croissante
et P
alors la limite inductive
de l’ axiome A) ,
le foncteur additif
un
système
lim P
lim (P
de
existe.
P
est
exacte
C.
Il existe
est
On
un
isomorphe à
U
générateur
de
quotient d’une
un
rappelle que l’axiome
d’objets
de
C ~
C,
somme
A.
équivaut
la
somme
i.e.
un
objet
directe U(I)
U
objet de C
d’ objets identiques à U.
tel que tout
à l’axiome A’. :
directe des
A’ : Pour toute famille
P.;
existe.
En outre pour une catégorie abélienne satisfaisant à l’axiome
équivaut à (B’) et à (B") s
(A)~
1~axiome
famille filtrante croissante de
sous-objets de P ,
alors l’application canonique de lim P. dans P est un monomorphisme
B" : Si
est une famille filtrante croissante de sous-objets de P ,
B’ : Si
(P.)
~
~. 3-..
~* JL
est
une
o
(b)
et si
est
Q
un
( sup
A~
alors
dé s igne l’image
P.
(A) , (B)
Les axiomes
de
sous-objet
(C) entraînent
et
1
est
un monomorphisme
is>
[5D )
Nous
proposons de montrer
le seul
injectif
nous
Lnn
de
M ~ I , où
que pour tout
M de
objet
objet inj o c t.i.f de
existe i : M2014~
C il existe
C (GROTHENDIECK
soit
1
tel que
1
1 . On utilise à cette fin la notion
et contenu dans
M
contenant
un
P)
dans
P,
d ’ extens ion essentielle :
Si
est contenu dans
M
un
Q ~ M 0 . Il revient au
monomorphisme sur M est
dules unitaires à gauche sur
=
P
P
homothét,ique
est
une
o
A
un anneau
non
M
nul dans
lement si P
-
M d P C
Dans la situation
M C P
Si
est le
P
d’extensions essentielles de
En effet si
Q ~ P.
=
Q C P
0 . Mais
Q
et si
=
Q
P
alors
n M
Q ~ sup P.
non
nul de
si et
seu-
hypothèses :
M
M
extension essentielle de
Q
et
filtrante croissante
famille
sup
M
le
unité,
o
est extension essentielle de
et si
si tout élément
M
e~t extension essentielle de
Q
Q~
à l’élément
commutatif,
non
Les assortions suivantes résultent directement des
-
est
si tout
extension essentielle de module
module
un
M
de
P
dit que l’extension
on
sous-objet Q de P est nul des que
même de dire que tout morphisme de P qui induit un
C est la catégorie des moun monomorphisme Lorsque
(ECKMANN-SCHOFF)
essentielle
a
Py
objet
==
0~
==
sup (Q
est
alors
H
extension essentielle de
une
P.)
(Q
=
n
P.)
n M
=
0~
(P,) i
P .
6 1
P .
et donc
0,
C .Q.F.D .
pour
sous-objet Q de P tel que Q ~ M 0 et que
soit extension essentielle de 1~image de M dans Q/M : il suffit de prendre
Q un sous-objet maximal parmi ceux qui satisfont à l’égalité Q ~ M = 0
(les
derniers forment
-
Si
P/Q
-
Si
"
M C
(M.)
~
P,
alors il existe
est
un
==
un
ensemble inductif
famille
une
d’objets
d’après
de
2014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014
C
(C)
et
(B")) .
admettant des extensions essentielles
’
~"~~~
’
i 6 1
(P.) ~ I , alors ~i ~
T
P’
est
une
extension essentielle de
~i ~ I Mi .
""
Démontrons d’abord l’assertion dans le
~ ~
Î~ ’ ~i ’
P2
et soit
Q
’
p~ (Q> %
o
lors
bien
ou
fl
p 2 (Q ) 1
soient alors
de
sous-objet
un
p~ Q>
et alors
projections
de
Qj 0,
on
Si
P 1 § P2 .
~l ~~ ~2
Q1 /
Q
p2
n Q
=
o . Dès
a~ /
/
bien p2(Q1)
demontre,
ou
0 . Or
dernier
ce
et
~l
sur
peut supposer que
c ’est.-,à-àiri
-1 (M2)
éléments,
est réduit à deux
I
et le résultat est
c’est-à-dire
1/£ / 0 ’
les
~2
/ o,
m
p-12 (M2)
Q1 G
et
~l
où
cas
objet
et
0
est contenu
~’~l @ ~2 ~
On
déduit le resultat par récurrence dans le
en
le
cas
où
J
est
ngn
entraîne
Fi
-
que
seulement
P
=
o
chaque
~’~
N
0
1
=
-
hypothèse
est
dans
soit irréductible
’
-
L’image
de
1,E
$ N./
l J
0
et
son
J
contient ~i ~ I Pi
est extension essentielle de
une
£f_£ini à un isomorphisme près,
automorphisme près ùe T tels
dans
Î-i ,
ioe
famille finie de
0
o
si
sous-objet
P O Q
(N, )
sous-objets
et que
= .
1
1
=
dans
0
j
P,
de
0
ne
soit
-
’
"
Fi
o
n’est donc pas nulle.
M/Ni1
dans
1
de
°
que
~
alors le monomorphisme canonique
~’°~
P.i ;? mais ceci résulte
et
tels
M
-
-
et il suffit donc de montrer que
14
de
1
est
un
objet
de.
chaque
"filN. i
N..
l’irréductibilité de
C ,
il existe
un
objet
1
I,
monomorphisme 1 ; Fî --/, I , défini à un
1’une dcs proprietés caractéristiques suivantes
un
satisfaites :
injectif.
I
àe
Fî
est essentielle et
I
est
b , l’extension
I
>e
#,]
est essentielle e t
I
n’admet
propre
pour
C.QaF.Do
l’extension
a,
0
Q ~ (~i ~ J P. ) /
I . Donc
que
t.i , °+
image
Si
PROPOSITION (ECKMANN-SCHOPF). -
soient
sup(Q ’ 1 ? j Pi> ,
=
o .
(N. )
si
Q
dans . ~i ~ I (Îv.i/N,) est une extension essentielle
R
Par
/ °,
est irréductible
0
si
pas intersection d’nie sous-familie de
de
Q
est extension essentielle àe tout
1«
C ,
Q
ou
généralement
Plus
de
objet
un
nul si et
G 1 i9 1 Pi ,
( ~i ~ J Mi) ~ 0 ,
Q ~
i.e.
Y
Si . Îvï
Q
les sous-ensembles finis de
parcourt
un certain J ,
-
Si
générai enfin,
où la famille est finie.Dans
cas
o
pas d’extension essentielle
I
c.
est
il existe
objet injectif,
I
d.
est
I
dans
u :
I
M
de
est
spit j : M
sous-objet
~ J
de
un
surjectif. J/Q
se prolongerait
en un
essentielle de
I9
maximal de
I a
L’objet
a...~
car
si
M
de
l
et
un
injectives
-
un
z a
contenues
dans
de
1 = 0 Je dis
c
ba :
k
serait
I
c. :
k
une
de
alors
Montrons que
I
est
se
injectif :
outre
isomorphisme
est extension
est contraire
J
extension
une
serait pas
J/Q
au
et est
caractère
injectif.
et l’extension
K
prolongent
diagramme
(f 9 ~. g~ ~ P ~ I ~+ Q .
monomorphisme
en un
(n
Q maximal pour la relation
Lp
essentielle de I et lui est
donc
J
et cet
supposons donn le
c
f =
égal~
Les
injections
~ ~ IR --~ I Q
(p:
g . Soit donc
Le
morphisme
un
I Q/R
1 = 0 . Alors
de
est
dans
Q
f .
Le reste de l’assertion résulte du caractère
sait que
qui
de
c. ~ d. :
I
1 est facteur direct dans
Q . En outre
ô
prolonge
I
un
1 == K o
morphisme (~s
If Q/R
à
ne
J . Comme
dans
ce
J/Q
dans
est donc facteur direct dans
I
I ,~ Q
extension
J/Q
injection,
Q le conoyau du morphisme
In
et Q dans
sous-objet
I
Pour cela
et soit Q
qu’en
e
ou
(a) :
0 . Soit enfin
Q~M=
J Alors
morphisme
i=j
que
objet injectif
un
sous-objet isomorphe
un
te l
essentielle
satisfaisant à la condition
l
et
dans
aurait donc
n’est essentielle que si
et soit
i
maximal pour la relation
J
P ~ J
1 *. car binnn le morphisme canonique de
+
~
dans
u o
et pour toute extension
essentielle
monomorphisme
essentielle maximale de
b.
M
tel
pas d’autres extensions
monomorphisme j :
un
d’abord construire
va
J = Q
n’admet
I ~ J
u s
de
M -~ J
o
il exis te
On
monomorphisme j :
monomorphisme
un
M
et
injectif
LBextension
e.
et pour tout
injectif
Sinon soit
contient
J
une
inj ectif
de
1 .
objet injectif tel que M ~ J ~ I et
extension injective essentielle de M et
un
J ~
on
1 . On
peut donc
supposer que J est extension essentielle de }1. Alors u applique I
sur un facteur direct de
J 9 ce qui n’est possible que si I = J et si
et
u
J
est
un
is omorphisme.
Clair.
En effet si
e.
P
se
dans
plonge
I~
P est
extension
une
essentielle de
injective
P
I ; d’où
et est donc facteur direct de
=
alors
1 .
/
"l’enveloppe in j ec tive
(avec
M
de
1. -Si
satisfaisant à la
I
DEFINITION. - Tout objet
... ,
alors
ont pour
enveloppe injective
de
enve loppe
COROLLAIRE 20 - Si
dans
si
d’entre les
0 =
N J. ,
’’
Nl’
Il ~ ... ~In
... ,
...
si
N ,
si enfin
I,
-~
J
est
sont des
N
est
I1 ,
sous-objets
de
irréductibles
n’est pas intersection de moins de
0
l’enveloppe injective
de
l’enveloppe injective
décomposition primaire commence
d’abord donner quelques exemples.
à
Zn y
... ,
~ ... Et)
n
alors
de
J
’------201420142014--2014----2014-20142014-----2014.
La
dit
sera
langage).
abus de
Mn
proposition précédente
M.
poindre à l’horizon,
mais
nous
allons
3. Exemples.
a.
.
h
est
un anneau non
A-modules à
b.
à
c.
A
gauche
unitaires satisfait
gradué
gauche gradués unitaires,
est
Soit
un anneau
~s
un anneau non
homomorphisme
de
commutatif
quotients à gauche
que tout
x E K
K
K~
soit de la forme
est
gauche
i.e.
corps
x ~ b- ~ ,
l’enveloppe injective
degré
catégorie
gauche
b,
Il,
du
a
unité,
K
tel que
qu’il
contenant
~~~~
b~
part
0
il
est
un
et tel
0
Il est
K
soit
ne
existe alors
A-module à
efiet clair que l’extension est essentielle.
A-modules
des
0 .
nuls. On sait
non
un
la
est la
à ~; l~;~ent
intègre
des
categorie C
(~~ ~ (B) et (C) .
axiomes
aux
C
avec
corps des
unité ;
à élément unité et
pas intersection de deux idéaux à
Je dis que
élément
commutatif à
un
en
A-module
injectif t
Car si
/‘
est
un
~~ .A (03BB~-~~ ( ~,~
alors ’~ (~) =
03BB ~ 0 ~ , alors
D’ où l’on tires
morphisme de ~
pour à ~, ~1 ~ . Si maintenant X ~.- A et
o et il existe
tel que J ; a 03BB = b
idéal à gauche de
A
A
et
LP
un
dans
K~
j~- ~
, a,
b
pas le
dépend
ne
G
d. Soit
un
Je dis que
Z
et le
)B
Q
[G ] -module,
[G]
est
et que l’on
Ainsi
dans
fil
est la
Alors
Q
M
et
Z
un
[G]
-module
[G]
=
En effet si
injectif :
prolonge
Q(x.,
M
Z
~st
B~ .
[G] .
un
,
Q
un
[G~]
module est
ce
[G ]
Q
~SA
[G ]
est
M
M
-module et lo foncteur
semi-simple
un anneau
-module
p
extension
une
enveloppe injective
est
M
alors
est contenu
~B
l’enveloppe injective
son
Z-torsion,
sans
et essentielle de
injective
M .
des groupes abéliens.
catégorie
est
si
De
est
/~
~/~B
groupe libre,
Q
du groupe et
enduit donc du fait que
se
K
la formule:
lorsque
Q ~Z
C
e.
a
Z
un
Q Z h est
est exact. Le résultat
A
de
ax
’~~201420142014201420142014~2014.
/~B
alors
2014~
a
[G] l’algèbre
Z
fini,
groupe
A/~
morphisme ( :
un
nombre
de
est
premier,
si
généralement
Z. Plus
~/~
G
est
un
G .
Q ~Z
soit
Z
pour
n
le groupe
multiplicatif
des
n
nombres
complexes
tels que
z
ces
groupes. Comme
=
1
assez
et est manifestement
"contient" tous les groupes
de
z"
grand.
une
Le groupe
Z
extension essentielle
A/~
Z
est
en
outre
divisible,
Z
est
l’enveloppe injective
des
~~
On construit ainsi facilement
type fini.
Ces considérations seront
remarquera que le
parcourt
f.
k
Tore D
les nombres
est
l’enveloppe injective
un
corps
=
Q/(l)
généralisées
est 1.
-
somme
de tout groupe abélien de
dans le
directe
paragraphe suivante
des Z
quand p
,
premiers.
commutatif~
A
1~anneau des séries formelles
On
L’anneau
k
a pour idéal maximum
A
est ainsi muni d’une structure de
polynômes
l
et
plus
I
tard que
de
=
k .
g. Soit
X
un
est
Ci -modules
à
nous
son enve-
1 une
sur
isomorphe à
sous-module
sous-module. On
ce
et donc que c’est
injectif
et soit
C
aux
la
(Chevalley [8] ) .
verra
~, :
catégorie
(il), (B) et (~ ) ,
axiomes
catégorie
k
l’enveloppe injective
muni d’un faisceau d’anneaux
sont des faisceaux
intéressons ici
catégorie
des faisceaux
aux
algebriques,
sur une
PROPOSITION. -
est
et si
directe
F
est
i (F)
En effet si
F
Si
est
U
un
H
est
injectif,
COROLIAIRE. - Si
G
un
faisceau
dans
faisceaux
quasi-cohérents
à l’étude des modules
Si
un
gauche satisfa it
V
sur
quasi-cohérents
les faisceaux
.
k . le corps
La
des faisceaux
algé-
Les limites inductives de
quasi-cohérents
et les axiomes
(A)
sont donc satisfaits.
Nous
la
A-module
une variété algébrique
V
(B)
forment alors
topologique
briques quasi-cohérents
et
et
.A-module. Nous allons- construire
extension essentielle de
une
un
espace
des faisceaux de
faisceaux
l
constants de
est manifestement
h. Soit
X)
A-module à l~aide des formules :
structure de
Les
... ,
I = k [1"1X , ... , n1 X]. On définit
cela soit
loppe injective. Pour
V
= (X1 ,
et
non
pas dans la
fait l’étude de
ces
faisceaux
catégorie
injectifs
se
dans
de tous
ramène
~I ~ i l’injection canonique de U
quasi-cohérent injectif sur U alors son image
injective.
ouvert de
est
un
faisceau
quaai-cohérent
sur
~~ ~
le second membre est manifestement
un
injectifs
.
algèbre
V
est
sont
quasi-cohérents qui
faisceau
quasi-cohérent
sur
on a
un
dans
la formule:
foncteur exact en
H .
V , il existe un monomorphisme
i : G2014~1
Soit
soit
de
G
dans
effet
en
un
dans
Alors les
V . On sait que
dans
dans
de
quasi-cohérent injectif
de
morphismes canoniques
faisceaux
par des ouverte affiner et
V
chaque
se
.
faisceau
un
recouvrement fini de
canonique de
03C6k l’injection
plonge
quasi-cohérent injectif.
faisceau
un
V ,
dans les
G
induisant un
soit
U ,
des
directes
images
de
monomorphisme
~ Ik .
dans la
G
directe
somme
ik(Ik) .
pourrait démontrer le même résultat en exhibant un générateur de la
Comme
classe des types de faisceaux algébriques cohérents sur une variété
algébrique est évidemment un ensemble, il suffit de montrer que tout faisceau
quasi-cohérent est limite inductive de faisceaux cohérents. Ceci résulte de la
proposition plus précise qui suit 1
On
PROPOSITION. - Soit
V
variété
une
Gi
qUD_si-cohérent de V ,
ceau
Alors il existe
Soit
i
G
tel que
V
de
U
de
l’injection canonique
un
ouvert de
faisceau cohérent de
un
faisceau cohérent
un
U
algébrique,
V On
dans
G C F
est "maximal pour le
SiU
V ,
Soient alors
il existe
W
x
~ V - U
soient
==
dont les ensembles de définition
U0
W . Soient
(il
de
U..
Les faisceaux
K
U ~
K
rement
dans
G’t
est cohérent
sur
au
U~
f. ~
V. ,
est clair que de tels
par les faisceaux
canonique
ouvert affine
un
V ;
et
K
prolonge
caractère maximal de
de
U..
un
contenus dans
existent), soit
K
l’image réciproque
coïncident alors
en un
peut aussi supposer
’
forment
....V
Le faisceau
G’
On
V
H
sur
qui
de
G’
U~
est
égal
à
G’
sous-faisceau cohérent de
U : donc
U
=:
V .
contenant
régulières
x.
sur
recouvrement de
et
.
prolongeant
engendré
le faisceau
images directes j (Gi) , où j
et soit
sur
du faisceau
F
des fonctions
f
.. ~
G.
G’ .
.
des faisceaux cohérents de
Gi
=
à
et
=
G ".
de
prolongement
F/U .
G/U
et que
fais-
peut toujours supposer que
0
F/U G~ : sinon on remplace F par l’image réciproque dans
i (G’) (pour Inapplication canonique de F dans i (F/U)) .
U
un
contenu dans
U ~
=
que
F
X ~
H
désigne l’injection
dans
F :
est cohérent
sur
F(U
U ,
et
sur
égal
contrai-
faut et il suffit
quasi-cohérent I sur
F ~ HomV (F , I) soit
faisceau
CORALIAIRE. - Pour qu’un
1e foncteur
ue
soit
V
injectif! _zl
F
exact quand
parcourt
le s faisceaux cohérents.
Décomposition
4.
injectifs
des
en sommes
axiome de
un
D o Il existe
sous-objets
C)
de
de
de
(U. )
une famille
générateur
un
partir
plus:
quel
telle que :
-
est la
C
à élement
-
C
est la
est
toute chaîne ascendante de
catégories
des modules unitaires à
suivantes:
gauche
A
sur un anneau
gauche, unitaires, gradues,
gauche.
non
commutatif,
sur un anneau
des modules a ’
unité, noethérien
à élément
A,
U.
l
noethérien à gauche.
est la
C
-
catégorie
unité,
i,
t
sa-
est sta~tionnaire 4
U.
Cet axiome est satisfait pour les
,
que soit
C
de
générateurs
C
catégorie abélienne
de maintenant que la
Nous allons supposer à
tisfait à
directes.
à
des faisceaux
catégorie
algébriques quasi-cohérents
sur une
gradué
variété
algébrique.
Dans
tout
une
objet
catégorie satisfaisant
(A) , (B) , (C)
à
dont toute chaine ascendante de
si
0 -~~ l~i ~ T~ ~ P .~..._~.~ 0
est
une
thérien : s oit
de
objets
C
suite exacte de
N
en
et soit
H
^
sup
M ~ H
=
et
H
~
n+11
n
n
Alors
fi
et si
sous-objets
P
(D) ,
et
on
une
noethérien
est stationnaire.
sont noetheriens alors
...
appelle
N
est noe-
chaîne ascendante de
s ous-
.
Hn .
.
M (1 sup H = sup (M ~
n
Hn
) . Pour
et
~~n H~
n
assez
grand
on a
donc
.
n
n
n
.
d’ où le résultat.
objets noethériens s’identifient
On déduit de là que les
somme
directe finie
PROPOSITION. - Si
-
U.
M
est
-
aux
quotients
d’une
o
noethérien,
si
P
est le
sup
d’une famille
(P.i )
filtrante croissante de
sous-objets
de
P,
alors
l’homomorphisme
de
groupe
abélien
est un
isomorphisme.
Il suffit de montrer que
est
’~r~
surjectif.
Soit donc
morphisme
un
u
P.l ) sup u~~ ( P.1 ) ~ (considérer le
( B" ) entraîne que
i
i
du
Il
en
résulte
u
)
morphisme
"graphe"
que u applique t~n dans P. pour
i assez grand (la famille u (P. ) est stationnaire).
L’axiome
=
o
COROLLAIRE 1. -
T oute
Ceci est clair
quand
s om~~_~e
la
directe
injective.
d’ objets injectifs
directe est finie. Dans le
somme
général
cas
la
directe est le sup d’une famille filtrante croissante
d’objets injectifs.
résulte alors de la proposition que
est
quand
M
les
parcourt
sup
objets noethériens
COROLLAIRE 2, -
L’enveloppe injective
enveloppes injectives.
directe des
Le but de
en sosies
ce
paragraphe
directes
.
Il
ioncteur exact
un
et ceci est suffisanto
d’une
est d’étudier les
Daprès le corollaire
P. )
somme
somme
directe inf inie est
décompositions
précédent
une
d’un
somme
somme
objet injectif
directe de la
injective si et seulement si chaque facteur est injectif. Un
objet est dit indécomposable s’il n’est pas somme directe de deux sous-objets
propres. Les objets injectifs indécomposables sont caractérisés par la proposition
catégorie
C
est
suivante :
PROPOSITION
Si
I
est
un
objet injectif,
les a ssertions suivantes
’
équivalentes :
s ont
a.
0
n’est pas intersection de 2
b.
I
est
indécomposable.
c:
I
est
l’enveloppe injective
sous-objets
de tout
non
unis de
sous-objet ~
0 .
1 .
La
proposition
résulte de
COROLLAIRE la - L’enveloppe
0
si
n’est
irréductibles, tels que
sables et
alors les
N. ~
sous-objets
des
enveloppes injectives
l’enveloppe injective
de
M
est
si et seulement
M~
intersection d’une
sont
objets
directe de
somme
suivantes :
nombre fini de
en
n’est pas
0
et si
N.
conséquences
nuls.
sous-objets non
sont des
0
les
a
indécomposable
est
M
de
injective
(N.)
Si les
et elle
qui précède
pas intersection de deux
COROLLAIRE 2. -
famille des
ce
ces
sous-
indécomp
indé-
injectifs
composables;
Réciproquement
décomposition 1
sables,
on
==
posera
1
e..t
(j3
(Ik)k~K
J,
l’enveloppe injective
comme somme
L
d)
=
et
N
=
M
Alors
M
admet
une
d’injectifs indécompoest irréductible et
N
établit ainsi
on
1
et si
directe finie
est intersection "irrédondante" des
0
de
une
correspondance
biunivoque entre les représentations de 0 comme intersection irrédondante
finie de sous-objets irréductibles de M et les décompositions en somme directe
finie de l’enveloppe injective. Des propriétés d’unicité de cette décomposition
en somme directe, propriétés énoncées plus loin, résulteront des propriétés
d’unicité pour les "intersectionsirrédondantes".
d’irréductibles du
est intersection
0
est noethérien,
M
On remarquera que si
d’un nombre fini
M .
COROLLAIRE 30 - L’anneau des
objet injectif indécomposable
endomorphismes
1
est local En effet si
u
est
un
est facteur direct dans
Ker
si
0
3t
tel
1
et si
endomorphisme
et
u
est
un
u
est
automorphisme.
0,
0 , alors
mais
injectif
alors
u(I)
Il suffit de montrer que
Ker(u+v))Ker u~
Ker v ,
d’où le résultat.
PROPOSITION
Tout
objet injectif
1
est
somme
directe
d’objets injectifs
indécomposables En
pour
effet, soit 1 un objet injectif et soit J un sous-objet injectif,
la décomposition en somme directe d’injectifs indécomposables. Alors
maximal
1
J
=
@
un
objet noethérien
non
et admettrait
une
serait contenue dans K
H
de
contiendrait
K
Sinon
d’injectifs indécomposables,
THEOREME
(KRULL -
satisfaisant
h
a.
admet
la
somme
qui
ce
L’enveloppe injective
décomposition en somme directe
est contraire
une
décomposition
de deux éléments
en somme
de
erdcmorphismes
caractère maximal de
au
chaque
C
M
et soit
une
catégorie abélienne
tel que :
C
de
objet
un
J.
d’objets indécomposables :
directe
facteur
inversibles est
non
.
Soit
(il), (B) et (C)
axiomes
M .
nul
SCHMIDT - AZUMAYA) . -
aux
b. Panneau des
est nul :
K
et tout revient à montrer que
K
est
N~1
non
un anneau
i.e.
local,
inversible.
Alors les assertions suivantes sont vraies :
a.
Pour tout
tel que
f
endomorphisme idempotent non
induise un isomorphisme de
à
des
b. La
à
un
M
en somme
demontré
est d’une merveilleuse
directe
LEMME. - Soit
éléments de
de
R
R
i
Pour tout
M admet
i
est
M
est
simplicité
l’anneau
tels que
de
I?
k,
soit
des
cas
des
isomorphe
et elle
s’applique au
recopier ici :
endomorphismes
de
M
a+b = 1 . Alors pour tout
il existe des
a
soit
b
sous-objets
induise
une
décomposition
en somme
est
un
directe :
unique
modules. Sa démonstration
cas
général
et soient
système
fini
quelques
deux
b
d’indices,
Pl ~ . , . ~ P
de
de
M.
isanorphisme
module
et
a
M
tels que :
sur
k
b.
un
outre
d ’ objets indecomposables
théorème dans le
ce
modif ications de détail, Nous allons la
a.
moins
>
décomposition de
automorphisme près
... ~
indécomposable
n au
M.
a
il ’
En
sur
et tout facteur direct
f acteur direct de
il y
de
f
nul
P
En
facteurs de la
Autrement
Supposons
~.
déduit la
projection
soit
lj
~1
un
de
isomorphisme
décomposition
Sur cette nouvelle
parallèlement
M. k
autres
aux
Alors
induit
b
o
L’objet
P.~
M
de
sur
un
automorphisme
sur
P.
a
=
"
(M. )
~1
et
~1
~~ ~1 M_~ ~
~L
~1
on
directe :
en somme
décomposition,
isomorphe à M,
Ker f.
Comme
sur
est
M..
1
~1
a .
o
14
de
soit l
a ,
o
~1
ce
que
induit
la
décomposition de M ,
dit,
~1
en
.~ . ~.k
soit
effet,
on recommence
la
même opération pour
Mi2
,
et ainsi de suite : le lemme est démontré.
permet à AZUMAYA de
soit f’ = I - f ; alors f’
est
dit
directe :
M
De
se
décompose
M. ) ) ,
i~J
un
nombre fini d’indices
où
théorème ; En effet
J
Autrement
parcourt
les
parties finies
de
1 .
s
il’
... , i s
1
que
f (M) 11 ( @ M. )
a.k
sait pas vide.
ne
i~i
en somme
du
et
idempotent
plus f(M) = sup (f (M) ~ ( ~i
Il existe donc
partie (a)
demontrer la
Ce lemme
Appliquant le lemme précèdent à
=
... (+) P_~ a ( ~ P~i . ) . Or
I
b ~ f’ , onobtient
f’
annule
f (M ) ~ r~ M. ~
k~1
,
un
is omorphisme
au
moins
un
k,
de
h~l 1 + ... ~ Ml s
f
est
un
sur
is omorphisme
P~ ~ , , . (+~ PS ,
de
hïi
sur
On
décomposition :
en
et
décomposition
ne
peut ~tre
conclut que pour
Pk 9
.
Démontrons maintenant l’unicité de la
~k;
une
C.Q.F.D.
M
Soit donc
donc
une
induit
f.
voit que
isomorphe à
autre
à
définit donc
k 6 K
notation). Tout
J(k) de J)
dont
on
on en
facteurs de la
un
J(k)
la
soit
M.
d’un
satisfait
N.
également
est
aux
est
conclut que tout
1
la
f~
on a
M
de
J(k) ,
projection
de
sur
facteurs 6e
procédé
Supposons
(1)o
se
Alors
poursuit
f2
annule
la
parallèlement
le
lemme,
aux
autres
est
fi
décomposition :
on
a ~ (k) ~
~l
sur
N,
e t est
tant que l’on n’a pas
maintenant (k) infini :
N. i
Alors, d’après
~
Ce
N . Tout
(respo de J) comme équivalents
classes d’équivalence de 1 et de J
K l’ensemble de ces classes (avec
une classe d’équivalence
I(k) de
cardinal
(respo ?(k)) s
(k) = ~ (k) .
~1
seul élément
et soit
et
N.
sur
de
N..
M==
~1
est le
k 6
projection
décomposition
isomorphisme
Si j
sur
est fini :
Supposons d’abord
j.~. i J(k)
le
désignera
tout revient à montrer que, pour tout
Si
projection
J
objets isomorphes. Les
correspondent biunivoquement et on notera
1
la
f_
N. ~
un
s’ils définissent des
abus de
M.
décomposition
On considérera dans la suite deux indices de
se
soit
J
d’un
isomorphisme
et la seconde
un
et
k ~ j . appliquant (a) à l’idempotent
aux
un
t4
de
décomposition
du théorème. Renversant la vapeur,
hypothèses
isomorphe
N.
parallèlement
N.
sur
f.,on
(B
=
un
~(k) .
Sinon soit
parallèlement
aux
autres
isomorphisme d’un
épuise J(k) .
Ainsi
on a
sur
Soit
toujours
la
f. J
de
M
peur un
i
projection
parallèlement
N. J
sur
autres
aux
~
décomposition :
facteurs de la
Il
il y
i,
tout
J (i)
les
~(k)~~ ~(k) .
recouvrent
De
mgme
nombre fini
un
N. : soit
sur
n ombre fini
tel que
de j
ces j :
J (k) . Comme (k) est
infini,
de j .
f.Quand
J soiti
on en
Pour
iso-
un
parcourt
déduit
, (k) a~ ~ (k) 9
C.Q.F.D.
un ensemble car tout
quotient
un
l’ensemble de
J(i)
On remarquera que la classe des
d’un
donnée
1
n’est nul que pour
f,
donc seulement
a
de
morphisme
I(k) ,
~ Ker
résulte que
en
6
d’un
types
injectif indécomposable
générateur
de la
injectifs indécomposables est
isomorphe à l’enveloppe injective
de modules
est
catégorie.
,
injectif indécomposable, ou dira qu’un objet injectif J est
isotypique de type I s’il est somme directe d’objets isomorphes à 1 . Si J
est injectif le nombre de composantes de J isomorphes à I ~ dans une décomposition de J en somme directe d’injectif s indécomposables est l’invariant de
Si
est
de
type
Loewy
I
un
de
1
J
ou encore
invariant de Kurosh-Ore.
objet quelconque N ! on donne des définitions analogues en prenant
l’enveloppe injective de M . Ainsi l’invariant de Loewy de type 1 de Ni se
mais aussi sur une décomposition de 0 en
lit sur l’enveloppe injective de
Pour
un
éléments irréductibles.
5. Application numéro 1 : décomposition des modules
IL
Soit
un anneau
à élément
posons de "classer" les
I
Ann NI
commutatif et ncéthérien. Nous
pro-
(unitaires) injectifs indécomposables.
Soit
module «
un
Si
commutatif.
nous
unité,
A-modules
sur un anneau
M
et
N
et
Ann N
sont deux sous-modules
sont tels que :
non
nuls de
Ig
leurs annulateurs
.
1~’ ~ 0 y
Confie
e
~~ (I)
Je dis que
est un idéal
de
premier
dont l’annulateur est
I
Mais tout sous-module
que A(I)
est
p
et
et
en
une
maximum, qu’on
FI
effet
l’annulateur de
Ax =
AI A (1)
sous-.module
un
contient
A~
.
pour annulateur
I~
si
I est
que
J . En fait la
A(I)
~i/ et
’~ ~
ce
Si
est
est
réciproque
injective
est vraie :
enveloppes injectives
cette enveloppe injective
ne
qui
ce
lienveloppe
les
premiers distincts,
isomorphes i car sinon
drait à la fois
à la fois
M ,
a
ce qui précède
A(I) ~ A (J)
sont pas
ne
E
nul de
non
soit
~à :
9 d’où
sont des idéaux
A/h
élément
un
forment
qui signi-
premier;
Il résulte aussi de
et donc que
x
et lui est donc
l’annulateur de
y
donc
a
I
nuls de
non
x(1) e
notera
fie
l~ : Cette famille
idéaux de
famille filtrante
de
les annulateurs de sous-modules
A/A (1)
si P et
de
et
de
commune
contien-
serait pas nul et aurait pour annulateur
grotesque.
un
idéal premier de
alors
l’enveloppe
est indécomposable. La correspondance ainsi établie entre les
injective de
premier est dit a.ssocié
types d’injectifs indécomposables est bijective
intervient dans une
si l’injectif indécomposable defini par P
au module
idéaux
décomposition de l’enveloppe injective de
premiers 1P associés
o
à
un
module
module de
M
:~~
.
I ~ Ni
suivante : il existe
un sous-
sation des idéaux
associé à
indécomposable
propriété
à
isomorphe
premiers associés : d’abord suppoinjective de M contient alors un injectif
Reste à prouver la
s ons
p:.r la
sont caracterisés
~
1
r
dont l’annulateur est
P
Donc
T’ï
~ 0
et il existe
un
élément de
.
isomorphe à A/ ... L’enveloppe
,injective de M contient alors l’enveloppe injective I de N. Ainsi I est
facteur direct de l’enveloppe injective de M et intervient dans une décomposition
de celle-ci,
Réciproquement
soit
~~
un
sous-module de
I~~
..
C.Q.F.D.
On retrouve de cette manière
particulier 1 ~ idéal
est iotypique.
~C
de
A
décomposition primaire de Lasker-Noether.
est primaire si et seulement si le module
En
6 , Modules
Soit
s ur un anneau non
i~~
à élément
un anneau
ascendantes pour les idéaux à
indécomposable
Si
Ann M
et
gauche.
sa tisfaisant à la condition des chaînes
1
Soit
sont deux sous-modules
non
nuls de
les annule te urs de sous-modules
est
que
Il revient
forment
A . Cette famille
n
est n . Et
A(I) :
idéal bilatère
effet soit
en
a
une
donc
un
i.eo
premier,
M
0?
alors
s,
gauche
et si
4 9
nul
b
~. A(Z) 9
M , c’est-à-dire
de
annule le sous-module
non
dont l’anuulateur
I
sous-module de
un
c’est dire que
dire que
c’est-à-dire bM ~
C
un
de dire que l’annulateur d’un sous-module à
au
de
a
I
nuls de
non
Ann N .
+
qu’on
On voit
que
annulateurs
Ann (M n N) ~ Ann M
et
famille filtrante croissante d’idéaux bilatères de
élément
leurs
Ts
sont des idéaux bilatères de
N,
o~
Ann
Canine
est
gauche injectif
A-moduld à
un
e
il
et
I~r
unité,
l~ ( T ) ~
C,Q.F.D 4
Je dis aussi que tout idéal bilatère
En effet
soit ~
loppe injective
r
de
Soit maintenant
loppe injective
~
de
~s
associés
M
un
et soit
au
sous-module de
un
pour tout
1 =
(P)
Ik
k,
une
"par paquets"
s’il existe
J
~
=
~
a
L
pour annulateur à la fois
et le résultat.
qu’un idéal bilatére premier
A(I_ ) . On peut
in jectif s indécomposables
On dira
k
un
Ik ,
tel
les
=p ~
bilatère premi.. r. On obtient ainsi
une
où
"~
unique à un automorphisme près. du type :
idéaux premiersS associés à i’1
o
1
dont l’annulateur
gauche arbitraire, soit I l’envedécomposition de I c omme somme
injectifs indécomposables.
FI
et
o
A-module unitaire à
et soit
est associé à
alors grouper
de l’enve.
=
de M
direc te de modules
s
injectifs indécomposables
en
est différent de
A(Ik) , d’où
et
type
-
Alors
p
,
décomposition
I. une
A/ ,
est du
premier
=
~-~~
7~
décomposition de
parcourt les
Ia
.
En
1.,i,,,= M~
si
particulier
(~ J) ,
évidemment
on a
l’ égalité
parcourt les ideaux premiers associés à 11 . En outre la décomposition
est "irrédondante" et
a
)Q pour seul idéal bilatère premier associé.
où
qà
1/î/li.p
Réciproquement
ili
si
est
â-w type
intersection d’un nombre fini
comme
seul idéal
représentation irrédondante de (O)
de sous-modules
14,y (tels que -.Qj soit le
donne une décomposition de I en somme
fini toute
premier associé à
directe. La proposition suivante
Fill/î,est)
outre
en
PROPOSITION..... L’idéal bilatère premier
--.
possède
ÉÉ
UL
non
et de tous 1;x sous-modules
On retrou-ve donc par
sur
---"-
un
non
Îl
nul
nuls
est associé à
3l"a
Fi
si et seulement
J
tel que
N
de
cla.ire 1
assez
’j$
N
soit l’annulateur de
.
procédé différent
tous les résultats de Lesieur-Croisot
"decomposition tertiaire" [3].
la
0
Nous
proposons maintenant de voir
nous
sous
conditions la théorie
quelles
Obtenue n’est pas
.
"plus fine" que la théorie de Lesieur-Croisot, c’est-à-dire
qUand la correspondance établie entre injectifs indécomposables et idéaux bilatères
premiers est bijective. Nous supposerons pour cela que l’hypothèse H est
satisfaite :
(lI)
Si
ù,
idéal à gauche de §,
-plus grand ideal bilatère de
est
est le
( qj5nombre
fini
Un
(Ann xi,
un
x1 ,
.. e ,
annulateur de
xr
et si
est l’ annulateur de
A
dans
d’éléments de
x. , est
un
ideal à
QJ
contenu
A/c
gauche
tels que
de
),
À/à,
alors il existe
A) .
Si la condition
(H) est satisfaite, je dis que, pour tout injectif ind6composable I , le module à gauche
(I) est isotypique. De façon plus précise
est somme directe d’un nombre fini de modules
l’enveloppe injective de
isomorphes
Soit
en
à
effet
1’annulateur
a
’
I :
Ann
manifestement s
M
x
un
sous-module de
de l’élément
x
.
I
de
dont l’annulateur est
11
est
un
A(I) .
idéal à gauche de
Si
A,
x C.
et
M ,
on
Mais il résulte de
soit
Ann
somme
directe finie
H
et il existe
Ann
x
~
Ax..
... r
1
est intersection d’un nombre fini de
A(I)
que
r
un
Ltenveloppe injective
dans
de
monomorphisme
de cette
Ann x ,
isotypi-
est
somme
une
que : d ’ où le résultat,
(H)
PROPOSITION. - Si la condition
Il reste à donner des
Tous les idéaux à
a.
Soit par
k ~~
exemple
où la condition
exemples
suivant
(séries
formelles de
sous-jacent est le groupe abélien
multiplication est la suivante :
Les idéaux à
T,
gauche
T~ 9 ~ ~ e f
ou
k [[
de
Tn,
ou
sont
principaux
idéaux
ces
... :
b. L’anneau A est artinien à
Le radical de Jacobsm
lieu :
sont
k
et soit
Hilbert) :
Le groupe abélien
k ; la
a
d’un corps commutatif
automorphisme
un
o-
(H)
entre
sont bilatères :
gauche
]]
T
et iduaux
indécomposables
injectifs
satisfaite, la correspondance
bilatères est bijective.
est
des aéries formelles
et
engendrés
par
sur
1 ~~
ou
bilatères.
gauche :
de
(A)
A
est alors
nilpotent
et tout
idéal bilatère
premier contient r(A) . Les idéaux tilntires premiers de x correspondentdonc biunic’est-à-dire aux représentations
voquement à ceux de l’anneau simple
a
irréductibles de l’anneau A .
A
c.
est
un
module de
type fini
sur son
centre :
type fini sur A et si x 9 y C M , alors
Ann x et Ann y sont des idéaux à gauche de ~ ~ Désignant par ,x~ et jy)
l’ensemble des éléments de M qui sont annulés par Ann x et Ann y , on voit
)x) et y) sont des modules de type fini sur le centre (A) de A .
que
Si
N1
est
un
module à
gauche
En outre :
Comme
M
de
.
est
d’éléments de
un
M
z
tels que
il existe
un
nombre fini
~ ~ ~ 9
xr
Si par
G
exemple
est
~ Z = {0} :
soit
J
Les idéaux
~G~
Z
=
est
l’algèbre
bilatères premiers
du
sont alors
1?
"
idéaux bilatères premiers: de
aux
Q[G].
I~ M
~ Z = (p) ,
soit
et si A
idéaux correspondent
ces
"
r~~,
l’anneau semi-simple
aux
fini,
groupe
qui précède s’applique.
types :
de deux
-
un
ce
groupe,
-
est donc satisfaite.
(H)
La condition
où
est
p
un
représentations irréductibles
nombre
premier :
idéaux correspondent
ces
(Z| (p)) [G] .
de
’
d. Un
contrexemple :
K
Soit
des
neau
un
polynômes
fi
centre et soit
son
monogène.
f
[X] et un
k C X ~ .
k
irréductible dans
Si maintenant
K
[X] =
[X]
k
K . La division euclidienne reste valable dans
sur
en
de
K
=
résulte que tout idéal à gauche (ou à
Les idéaux bilatères sont alors les idéaux à
anneau, et il
élément
k
gauche,
corps
est
un
tel idéal est
premier
droite)
[X ]
K
de
un
gauche engendrés
si et seulement si
espace vectoriel de dimension finie
l’an-
tel
est
par
f
un
est
k ~ l’hypothèse
sur
les injectifs indécomposables sur K [X] correspondent
biunivoquement aux idéaux premiers de k [~XJ :â p..:r exemple si K est le corps
des quaternions, k le corps des nombres réels, K~ , + 1 est irréductible dans
(H)
est satisfaite et
[X]
k
forma
et les idéaux à
au
contraire que
idéal bilatére
non
nul
K
(sinon
I est
l’enveloppe injective
et
A(I)~
0 . Par contre
de
K [X] .
En
générale
premiers
la
I
+~ ~
+
contiennent
X2
contiennent
=
un
+
sont de la
1
1 .
tel que
a
k(a)
ne
engendré par X - a
serait algébrique sur k. )
gauche (X -
si
Donc
K [X] qui
d~
k : Alors l’idéal à
sur
aucun
de
( x-~ip . ~.
Supposons
fini
gauche
de
a
K
a
~~ ~ ~ ~ X .. c,~ 9
n’est pas isomorphe
au
I
est
corps des
ne
soit pas
contient
Ainsi
indécomposable
quotients à gauche
.
s
correspondance
n’est pas
entre
injectifs indécomposables
et idéaux
bilatères
bijective.
Il resterait évidemment à construire
un
K
contenant
a
tel que la condition
précédente
K
pour
soit sa tisfaite : "choisissant bien
(ce
formelles de Hilbert
Nous
7.
Si
-
il
~( C
est
E
considéré
En effet
à montrer que
E
prolonge
u
en
et
corps des séries
SERRE).
par J.~.P,,
~~~, ,
des
C
et
et ~
un
morphismes
N
comme
un
idéal
de
l’enveloppe injective
’
(~./~~ ~ E) =
soit donc
.-.~ E’
v :
comme
~~
E’ ;
A/"p .
et est donc extension essentielle de
.N ~ E . Mais
w :
annulé
v
peut prendre
on
idéal premier de
un
~~/~t -injectif :
-modules et soit
considérer
indique
commutatif, ’?
est
y- "
besoin dans la suite des résultats suivants,
(A/ , E) ~
E’
et
k c- [[ T ~~ :
de
l’enveloppe injective de
-module à gauche est
est
comme
HomA
été
fait
aurons
un anneau
Si
~.~ .
de
quotients (à gauche)
le corps des
k
N
u :
ï~
de
morphisme
un
monomorphisme
N , On pent
dans
conséquent
annulé par 03B1 , v(N) est
A-modules et par
de
est
Reste
v
se
E’ ~
C .Q.F.D .
Si
-
A
est
un anneau
idéal irréductible
résultat est
commutatif (noethérien) ,
~ -primaire.
un
ideal
un
n
tel que
premier
et
C
un
le
classique.
Si
A
est
soit
E
l’enveloppe injective
-
Alors il existe
"0
un anneau
(noethérien) , Y)
local commutatif
de
munira
il.
son
idéal
maximale
de la filtration
-adi-
que :
E
et
de la cofiltration
Tout élément de
des
Ek .
sur
k
et
Je dis
0
E
qu’en
étant annulé par
outre
une
El ~~/- ~
puissance
k : En effet
n’est donc irréductible que si
1 .
De la suite exacte :
w
de
l’espace
E.
est la réunion
p est
,E
espace vectoriel
un
vectoriel
a
pour dimension
HomA(k/k+1,E) = Homk(k/k+1,k) ,
et du fait que
on
déduit que :
En outre si l’on note
G(E) est muni d’une structure
à ~~ (~’oser (G (E ~ ~ . !
8.
A
=
est extension essentielie
gradué k -’
l’enveloppe injective
est
(en
gradué
du
dualité pour les modules
k.
sur un anneau
commutatif, noethérien, à élément unité,
~~ ~ E l’enveloppe injective de ~~~~~ , Le
formule (1 ~
et
commutatif.
soit p
module
un
E
injectif
indécomposable.
propose d’étudier le foncteur :
On
se
Le
foncteur 6
En outre
I~i
est évidemment exact et il
s’applique
de la
façon habitue
morphisme
en va
de méme du foncteur
lie dans
son
"bidual"
du foncteur identité
plication ainsi définie et un
BjD
T~t ~-~ M" . Nous nous proposons diétudier ce morphisme.
On remarque d’abord que
E . La formule
le
tant que module
Il résulte alors de la
un anneau
idéal premier de
est alors
gradué sur la gradué G (li) associé
0 sinon).
i ~ 0 , G(E).
-module
Application numéro 2 :
Soit
si
G(E)
on vérifie facilement que
gradué) du
que G(E)
de module
morphisme
li" =
E)
=
t~
est
HomA(E ,
composé
E)
est l’anneau des
fait alors de
M"
un
M"
et
l’ap-
dans le foncteur
endomorphismes
1~"-.module à gauche
de
et
’
des
morphismes
de foncteur
Le f oncteur
est exact à
M
morphisme de t~" ~, li sur ~~" , On
un isomorphisme de foncteurs quand
effet il existe alors
où
et
où ~1
en
déduit,
M
parcourt les
~0
sont des
E
un
~. ~ ~ x
procédé connu
A-modules de
est
un
isoest
type fini : En
de
en
déduit le
diagramme,
D’où le résultat
isomorphismes 0
Il reste donc à étudier l’anneau
alors l’homothétie de
par
Nï
suite exacte :
sont des modules libres. On
L~
et
une
et si
droite,
0
a ~ A
Mais si
AU:::
induit
et
a~~~s
et
monomorphisme
J
donc un monomorphisme de E Le module a E est donc isomorphe à E , c’est-àdire injectif, c’est-à-dire facteur direct de E , c’est-à-dire égal à E :
a
définit un automorphisme de E. Ainsi l’homomorphisme de A dans A" se
E
on considérera que
dans
prolonge en un homomorphisme du localisé A
.~j
rapport
a
un
sur
0
un
A -module .
En outre si
M
est
D’ où il résulte que
est aussi
ce
k -module,
E est
nous
cas,
n
En = HomA(A/
,
A
que
munirons
E) .
A/
est de la
E
est
de
LE module
sa
E
n
D’après
n
.
considéré
sont annulés
de
A
ce
on a
évidemment l’ égalité:
un Ap -module injectif,
A/.A :
du
l’enveloppe injective
touj ours supposer
Dans
un
local et que
filtration
ou encore
a vu
c’est aussi
et
nous
poserons
E
l’enveloppe injective
Enf in tout sous-module
comme
maximal.
son
est l’ensemble des éléments de
que l’ on
monogène
où
est
ideal irréductible associé
à .
forme
A/
est donc réunion filtrante croissante des sous-modules E
un
n
tout
automorphisme
de
E) :
E
on pourra donc
est
p-adique
que
(stables
de
E
Le module
pour
On déduit de ceci que
E)
Hom (E 9
où
au cas
et il suffit d’étudier
A
est
K
E ~
K
sur
est la limite
ces
derniers
projective
(i.e.
anneaux
des
est ramené
on
o
Je dis d’abord
vectoriel
E)
0
et
est de dimension 1
ne
A/-~ :
=
peut être
en
effet
est
E..
un
espace
irréductible que si cet espace vectoriel
â
Ainsi
Je dis que
vraie pour
n
0 .
=
résulte alors de
et du
où
Hom, (E
n~
plus généralement
.
Supposons
ce
A
E n)
A/~~ :
=
en
effet l’assertion est
}
la donc vraie pour
n
==
m -
J..
Pour
n
=
m ~ elle
que
diagramme
u
et
v
sont des
isomorphismes.
°
1
,
À
idéal premier de
module
et r
-
un
sur
A
et
A,
et
anneau
E
commutatif, noethérien,
l’enveloppe injective
A/ ,
c’est aussi l’enveloppe injective
sur À, et module
À,"considérés
type fini,
~o
M
-fl
M"
à élément
de
comme
A-module de
’] (Fi) :
est un
alors
s ’iden.ti.fie
au
ili"
sur
s
À
,j
j
alors
et  .
--
’identifie à
morphisme canonique
E
de
est
un
un
Ap M/p . A p
En outre si
est
-
,
£yde
unité, p
~
Il
FI
=
Fip et
dans
1e
FI jj .
morphisme
SERRE [9] .
Pour les notations voir
Ainsi si
s on
est
module de
un
pouvons toujours supposer que
idéal maximal.
An
Le dual de
En
est
En. Réciproquement
de
type fini
 ,
sur
proposons maintenant d’étudier les duaux
nous
nous
j’1
tifie à
bidual
Ceci est clair
est de
longueur
Dans le
cas
est
A
si
M
est
de
un anneau
et le dual d’un
en
effet
A
quand
(voir
finie
général
on
La
dis que
je
est
que
sous-module
un
En e
est donc ramené
correspondance
En
M" ~1
i-
le bidual de
exacte
car
M
s’iden-
P
M n
En
E
alors
~ype fini.
est alors de
M
et
il suffit de montrer que
pour tout
p ,
n’est autre que
En outre
En ,E) ,
et
En,
est
primaire (local artinien)
est
gradué associé)
le
Mais "le foncteur bidual" étant
~
A
et
complet
M" :
.
fl
local
de
Ni" . Nous
modules : pour cela
ces
de
quotient
sous-module
un
s’identifie à
M
E)
HomA/p
=
au cas
wi
où
Enp , E ) E ) ,
P
A
est
primaire.
met donc
~
dualité les modules noethériens
en
sur
l’anneau local complet A et les modules isomorphes à un sous-module d’une
somme directe finie
En . Je dis que ces derniers sont les A-modules artiniens
En effet si
pondent
aux
~ En ,
quotients
de
font à la condition des
Réciproquement,
M’ -
alors
si
Hom(IV 9 E)
?~~’
Comme
est
tv’
est
est le seul idéal
voit facilement que cette
somme
une
somme
un
l’homomorphisme canonique
de
Dans cette
M
anneau local
dans
M
est artinien. Si
dualité, injectifs
de-
~i
est
premier associé à
L’enveloppe
directe de modules isomorphes à E et l’on
est nécessairement
est
noethérien, ou si
réciproquement.
corres-
les sous-modules satis-
monogène
tout sous-module
artinien,
longueur finie et ;
injective de M est donc
alors
noethérien,
M
chaînes descendantes a
de
THÉORÈME
et les sous-modules de
:
Fi
est
complet,
M"
d’où le résultat.
finie,
est
et
un
noehtérien, M’
M
est
un
isomorphisme
A-module,
si
M
est
est artinien et
"
et
projectifs s’échangent
de même que résolutions
injectives
De
on
méme
minimales et résolutions
de la formule
déduit
le licn
Nous allons maintenant
a.
minimales.
projectives
Dualité de Pontrjagin :
indécomposable,
mais la
k
somme
=
Z . On
directe
avec
quelques exemples historiques :
prend
@Z
p
~ p
E
pour
,
où
non
pas
un
injeetif
parcourt les nombres
p
ao
premiers.
Macaulay : Soit A un anneau local noehtérien d t égale caractéristique, qu’on peut supposer complet, soit p l’idéal maximal de A et soit
b. Dualité de
K
un
corps de Cohen de A (Le.
M
k tout module
(voir SERRE [ 9] ),
étant
Chaque
est
une
et
K =
noethérien muni d’une filtration
T
-bonne
(Mi)i0 ,
associe alors la limite
on
un
et il est clair
particulier
K C A
A-module,
ne dépend
M’
A-moduls
est muni d’ une structure de
pas de la filtration
B~ -bonue choisie. En
si
suite exacte de
filtration $,
-adique
A-modules
et
M
~~~’
on
munira
de la filtration induite par
suites exactes :
et le foncteur
noethériens,
est exact.
N
e t
N. On
de la
P
a
ainsi des
D’autre
d’où,
part
on
i
a, pour tout
les formules :
pour les limites inductives :
D e l’exactitude da foncteur
injectif.
injective
il’
En outre
Nl
M’
~
K) ~,
contient
E
de
MCAULAY
se
servait de la dualité ainsi construite
appelait
On obtient ainsi
sous-modules de
cas
une
inverse
en
system
A = k
de
le module
03B1
=
est
[[X. ~ ...X ]J.
idéal de
un
E)
HomA
entre les idéaux de
(elles
A
G E .
et les
valent aussi
.
signifie
que l’on
a
la suite exacte :
effet la suite duale n’est autre que
est
M
l’enveloppe
d’inégale caractéristique) :
HomA (A/, HomA(-1 , E)) =
La deuxième suite est exacte et il
de
lorsque
E , Les formules suivantes sont valables
où le dernier terme vaut
Si
A-module
et contient donc
paragraphe 3 f) . Si
correspondance biunivoque
Cette dernière formule
et
un
A’ = E .
On retrouve alors le construction du
MACAULAY
est
‘’
En outre
d’où
At
.
~
tement même longueur
dans le
résulte al or s que
un
sous-module de
en va
HomA (A/b , A/03B1)
donc de même de la
E ~ l’idéal qui
lui
première.
correspond
est l’annulateur
et deux sous-modules distincts ont donc des annulataurs distincts. En
E
dans
et
est
si
particulier,
a
"
un
idéal
même annulateur que
~~
.
ast
Si
;
seulement si
un
idéal
q
est
-primaire
irréductible.
déduisait de
(A/
de
?
E) .
on
en
se
,
-1
k alors
est
monogène
si et
résultats, dont celui-ci : si
désignel la longueur du module
fait dE nombreux
ce
..primaire et irréductible
enf in ~ ~ ~ , alors
et
En
est
plonge
A/
déduit 1.’assertion :
-primaire irréductible,
que la
ef fe t ~ . ~ ~ ) ) n’est autre
isomorphe à 03B1+q/q,
= q-1 .
car
~~
du module
longueur
q
est
si
qui
Le, forme résulte alors de la suite
exacte
Dualité de Gröbner. On
c.
E)
à
a vu
que
si q
était
Ainsi si
E = A’ ~ A
A
est
et si
primaire
C( est
(0) est irréductible
idéal de A ,
et si
un
idéal maximal et
On sait alors que
ultats de
un anneau
Macaulay
local
régulier
l~ )
~~
0
si
p (
n
et
s ur
le s anneaux
de dimension
Extl(k ,
n ~
A ) ~’ k
[9] .
sur
la
longueur
du module de
’
que
alors
k ==
On en déduit facilement par récurrence
L
~~ ~
.
d. Dualité de Grothendieck. Soient A
Voir Serre
dans
servait de cette "dualité" pour
se
polynômes.
finie
considéré
c’est-à-dire à l’enveloppe injective de
Quelques années après MACAULAY , GROBNER
étnidre aux anne aux abstraits quelques ré s
son
s’identifiait
-module.
c omme
de
irréductible,
longueur
p
J
En outre si
est
idéal de
un
L , 1’" internai product"
annulant
A
de Cartan-
Eilenberg [ 2 ]1
est
isomorphisme (vérification
un
M
Si maintenant
M’
est
par récurrence
type fini unitaire quelconque,
A-module de
un
par la formule
on
définira
.
1
(M.)
Si
On
en
est
une
déduit
filtration
(b~ ~
comme en
D’autre part
A’i
contient
E
de
A/p .
injective
A)
Ei =
p-bonne
évidemment aussi
on a
M
que le £oncteur
A)
Mais
on en
M ,
de
~",
A’
déduit que
est
est
exact, c’est-à-dire que
et contient donc
A)
comme
M’
a
l’enveloppe
même longueur que
l’enveloppe injective
de
9. Application numéro 3 ;t faisceaux quasi-cohérents.
Soit
V
une
variété de
variété
algébrique, 13
non
ment que le
U
est
ceaux
.
(pour
un
nuls
support
F
et
de
F
ouvert affine de
sont contenus dans
un
faisceau d’ anneaux
W
locaux,
sous-
une
et’~ le faisceau d’idéaux définissant W . Le faisceau
V
alors le faisceau d’anneaux locaux de
faisceaux
son
ouvert
affine,
G
V
W . Je dis que l’intersection de deux
n’est pas nulle. En effet
de
et de
G
est nécessairement
W
faisceau
tout entier. Si donc
0,
W ,
~U : on ne peut donc avoir (F ~U~
quasi-cohérent "signifie" module).
Ainsi l’enveloppe injective
la "construire"s pour cela soit
est
U
un
sous-
voit facile-
on
et
rencontrant
(.~ /~ ~
est
indécomposable.
ouvert affine rencontrant
n
ces
faie-
(G ~U) :
0
Nous allons
W , soit
A
l’algèbre
affine de
U
et
l’idéal premier de
soit p
U
dans
V
à
W
e
Alors
désigne
i
sur
E
et
définissant
A . Si
A/
le faisceau associé
est le faisceau associé au module
l’injection canonique de
(c’est
injective de
A
l’enveloppe
~ l’image
l’enveloppe injective de (~/~))U)
directe
i (E) de E dans V est injective et elle est manifestement indécomc’est-à-dire que
Rosable. Je dis que c’est l’enveloppe injective de
le morphisme canonique de / dans
i (E) est un monomorphisme :
aussi
morphisme est composé du morphisme de ~/~ dans
et du monomorphisme de ce dernier dans
i (E) . Il suffit de vérifier que le
premier morphisme est injectif et cette vérification est de nature locale.
et
effet
en
ce
conséquent toute sous-variété W de V définit un faisceau quasi-cohérent
injectif indécomposable et deux sous-variétés distinctes définissent des injectifs
distincts (ne serait-ce que pour une question de supports). Réciproquement tout
faisceau injectif indécomposable est du type E(W) :
Par
En effet si
est
un
sait que tout faisceau
on
directe
de
Ek $
U .
o
De par
type E (W)
du
sa
où
recouvrement fini de
quasi-cohérent
est
E
et il
donc de
en va
de
F
par des ouverts
V
se
directe dans
l’image
construction même
V
E
dans
une
d’un faisceau
V
somme
injectif
fait intervenir que des
ne
même de
plonge
affines,
si
F
F
est
injectifs
injectif (KRULL -
.
REMAK - SCHMIDT ± AZMAYA) .
:
,
/
THEOREME. - Les faisceaux
quasi-cohérents injectifs indécomposables
pondent biunivoquement
aux
sous-variétés de
COROLLAIRE
est
un
injectif
de
Il suffit
Si
V ;
en
U
alors
effet de
COROLLAIRE 2. - Soit
F
un
faisceau
E/U
ouvert de
est
injectif
b.
F
est
Chaque
un
quasi-cohérent
de
V . Les deux
injectif
sur
U, .
corres-
E
est
faisceau
un
quasi-cohérent
U .
quand
recouvrement fini de
injectif.
est
et si
sur
V
c
faire la démonstration
équivalentes :
a.
V
V
de
V
E
est
indécomposable.
par des
propositions
ouverts, et soit
suivantes sont alors
E
suffit de montrer que
Elu
de
U
l’enveloppe injective
i (E ’ )
est facteur direct de
V . hais le
dans
est
F
de
morphisme
.
de E ~
est facteur direct
E’
c’est-à-dire
=
COROLLAIRE 4. - Si
G
et
F
si
p ~
E/U (car
V
est
sont deux faisceaux
1
Ext~(F ~
de
et comme
=
F) .
singularité de dimension
quasi-cohérents de V , alors
n
sans
= l .
signifie
que
et si
G)
est nul pour tout
G)
F
les assertions suivantes sont
F
si
p~ k .
est nul pour tout
F
si
p ~ k .
0
=
et tout
si
F
1 .
p
équivalentes :
’
k
=
1 .
Supposons
le vrai pour
k~~
et
montrons le pour
Soit pour cela
suite exacte de faisceaux
quasi-cohérents
G)
=
0
G)
Ext(F , H)
G)
H)=
donc
L’implication
pour
=
1
tels que
et
p > 1 ,
Ext(F ,
est nul pour tout
G)
.
nul pour tout
G)
Ceci est vrai si
une
passe par
ceci n’est possible que si
variété
plus généralement,
G)
b.
k
l’injection
i~(E’)
i~(E’)
dans
si et seulement si
Je dis que,
a.
est
i
où
i. (Elu) ,
est facteur direct
E’
F/U ..J-ors
son
n .
En ef±et’ le corollaire 2
p )
de
un
e.;t extension essentielle de
E
une
F
V ,
E’
effet
et
E/U
E
faisceau
de V et
l’enveloppe injective de F/U .
ouvert de
un
Alors
enveloppe injective.
en
est
U
COROLLAIRE 3. - Si
Soit
est
E/U
dans
F/U
de
=
Il
l’enveloppe injective de F ~
F , c’est-à.-dire que pour tout k ~ le morphisme
surjectif : ceci resulte du corollaire suivant.
E
b.~a. : soit donc
Reste à montrer que
0
sera
pour
soit
H); si
=
nul pour
Si
injectif.
p
l - 1. On
p-1 l-1 ,
1.e.
si
p~
p
aura
l.
inverse est immédiate.
Le corollaire 4 résulte donc de
J. P. SERRE m’a
indiqué
ce
que
G)
=
0
n .
que le corollaire 4 résultait aussi de la suite
spectrale
17-32
propriété suivante,
module la
Si
F
et
de dimension
G
quasi-cohérents
G)
support de
sont des faisceaux
n ~ alors le
.
de démonstration facile :
de
V
(variété
non
est de. dimension
singulière
n -
p .
BIBLIOGRAPHIE
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qu’ici ; pour les faisceaux quasi-cohérents, ils donnent pourtant "la même
math.
homologie"] .
[9]
(Jean-Pierre). - Algèbre
Collège de France, 1957/58.
SERRE
locale -
Multiplicités,
Cours
professé
au