Corrigé de l`interrogation n°3 - IMJ-PRG

CORRIGÉ DE L’INTERROGATION NUMÉRO 3
Exercice 1. Soit f : E → F une application, A et B deux sous-ensembles de E.
Montrons d’abord que f (A ∪ B) ⊆ f (A) ∪ f (B). Soit y ∈ f (A ∪ B). Par définition,
il existe x ∈ A ∪ B tel que f (x) = y. Par définition de l’union, soit x appartient à
A, soit x appartient à B. Dans le premier cas, y = f (x) appartient à f (A), et dans
le second cas, y appartient à f (B). Dans les deux cas, y ∈ f (A) ∪ f (B).
Montrons ensuite que f (A) ∪ f (B) ⊆ f (A ∪ B). Soit donc y ∈ f (A) ∪ f (B).
Si y appartient à f (A), par définition, il existe x ∈ A tel que f (x) = y. Puisque
A ⊆ A ∪ B, x ∈ A ∪ B, donc y = f (x) appartient à f (A ∪ B). De même, si y ∈ f (B)
on montre que y ∈ f (A ∪ B).
Exercice 2. Soit f : E → F une application entre deux ensemble, et f∗ : P(E) →
P(F ) la fonction qui, à un sous-ensemble A de E, associe son image directe par f ,
f (A). Montrons que, si f est injective, alors f∗ est injective.
On suppose donc que f est injective. Soient A, B ∈ P(E) tels que f∗ (A) = f∗ (B).
On va montrer que A = B.
Soit x un élément de A. Alors f (x) appartient à f (A). Or f (A) = f∗ (A) = f∗ (B) =
f (B). Donc f (x) appartient à f (B). Il existe donc y ∈ B tel que f (y) = f (x). Puisque
f est injective, on en déduit que x = y. Donc x appartient à B. On a prouvé que
A ⊆ B, et on montre de même que B ⊆ A.
Exercice 3.
a) Étudions la fonction :
f : R →R
x 7→ x2
f n’est pas injective. En effet on vérifie par exemple que −1 et 1 ont la même
image par f . f n’est pas non plus surjective. En effet les nombres strictement
négatifs n’ont pas d’antécédent par f .
b) Étudions la fonction g, restriction de f à [0; +∞[. g est injective. Par exemple
parce qu’elle est strictement croissante. On peut aussi vérifier que, si y ∈ R,
√
alors soit y est positif, auquel cas le seul antécédent positif de y par g est y,
soit y est négatif, auquel cas y n’a pas d’antécédent. Et pour cette dernière
raison, g n’est pas surjective.
c) Étudions la fonction :
f : R → [0; +∞[
x 7→ x2
h n’est pas injective. −1 et 1 sont tous deux envoyés sur 1 par h. h est
√
surjective. En effet, pour tout réel positif y, y est un antécédant de y par
f.
d) Étudions la fonction k, restriction de h à [0; +∞[. k est injective, par exemple
parce qu’elle est strictement croissante, ou encore parce que tout réel positif
√
admet pour seul antécédent par h le réel positif y. Pour la même raison, k
est surjective. Donc k est bijective.
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