4 Fractions

Maths 6e4. Fractions 2012-2013
4Fractions
4.1 Écriture fractionnaire
Le quotient d’un nombre par un nombre non nul est un nombre qui peut être écrit sous
la forme d’une fraction : a
best le quotient du nombre apar le nombre b.
Dans la fraction a
b,lenombreas’appelle le numérateur et le nombre bs’appelle le déno-
minateur.
Le quotient q=a
best le nombre dont le produit par le nombre best égal au nombre a:
q×b=a
b×q=a.
Le calcul du quotient a
bpeut être un nombre entier !20 5=4
",unnombredécimal
!16
5=3,2",maisengénéralladivision«netombepasjuste»!20 6≈3,33 ...
".
L’écriture fractionnaire a
best alors la seule permettant d’écrire exactement ce nombre (le
nombre dont le produit par bdonne a). En effet : 20
6×6=20,mais3,333 ...33 ×6=
19,999 ...98, donc le produit d’une valeur décimale approchée de la fraction 20
6par 6
ne sera jamais exactement égal à 20 (quelle que soit la précision de la valeur décimale
approchée du quotient).
4.2 Égalité de deux fractions
Le quotient a
bne change pas si on multiplie (ou si on divise) le numérateur et le déno-
minateur de la fraction par un même nombre cnon nul : a
b=a×c b×c.
Transformer une fraction c’est multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction
par un même nombre cnon nul.
Simplifier une fraction c’est diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction par
un même nombre cnon nul.
Remarque :Silenumérateurouledénominateurd’unefraction,oulesdeux, sont des
nombres décimaux, on peut les multiplier par 10, 100, 1 000, . ..pourobtenirunefraction
dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers.
Exemple :12,345
67,8=12,345 ×10 67,8×10 =123,45 678 =123,45 ×100 678 ×100 =12 345 67 800
Technique de simplification de fractions : il faut trouver un diviseur commun au numé-
rateur et au dénominateur de la fraction.
Pour cela on utilise en général les tables de multiplication ou bien les critères de divisi-
bilité suivants.
Un nombre est divisible :
–par2,sicenombreseterminepar0,2,4,6ou8(onditalorsquelenombreestpair
et impair s’il se termine par 1, 3, 5, 7 ou 9) ;
–par3,silasommedetousseschiffresestunmultiplede3;
–par4,silesdeuxdernierschiffresformentunmultiplede4;
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–par5,siledernierchiffreest0ou5
–par9,silasommedetousseschiffresestunmultiplede9;
–par10,siledernierchiffreest0
–par11,siladifférenceentrelasommedeschiffresderangspairs et la somme des
chiffres de rangs impairs est un multiple de 11 (exemple :93819estdivisiblepar11
car 9 + 8 + 9 −(3 + 1) = 26 −4=22=2×11) ;
–par25,silenombreseterminepar00,25,50ou75.
Exemples :24
18 =12 ×2 9×2=4×3 3×3=4 3;125 60 =25 ×5 12 ×5=25 12 ;28 35 =4×7 5×7=4 5;45 27 =5×9 3×9=5 3.
4.3 Multiplication d’une fraction par un nombre
La fraction 3
7se lit « trois septièmes », soit trois fois la septième partie de l’unité. Si
on multiplie cette fraction par un nombre, par exemple par 5, cela signifie que l’on ob-
tiendra cinq fois trois septièmes ou encore 5 ×3=15septièmes.Onpourraalorsécrire
5×3
7=5×3 7=15 7.
Règle :Pourmultiplierunefractionparunnombreilsuffitdemultiplier son numérateur
par ce nombre pour obtenir la nouvelle fraction.
Remarque :Ilestsouventutiledepenseràsimplifierlafractionobtenue.
Exemples :7×3
5=7×3 5=21 5;12×5 18 =12 ×5 18 =2×6×5 3×6=10 3.
4.4 Fractions décimales
On appelle fraction décimale une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10,
c’est-à-dire 10, 100, 1 000, . . .
Propriété :Toutnombredécimalpeuts’écriresouslaformed’unefraction décimale.
Exemples :4,567 = 4567
1000;3,14 = 314 100 =157 50 .
4.5 Pourcentages
Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est égalà100.Onpeutalorsécrire
cette fraction en remplaçant le dénominateur par le symbole %: 24
100 =24×1 100 =24%.
Calculer un pourcentage c’est trouver une fraction égale a une proportion donnée dont
le dénominateur est égal à 100.
Exemple :13
20 =13 ×5 20 ×5=65 100 =65%; 23 41 ≈0,561 ≈56 100 =56%.
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