4 Fractions

Maths 6e
4
4.1
4. Fractions
2012-2013
Fractions
Écriture fractionnaire
Le quotient d’un nombre par un nombre non nul est un nombre qui peut être écrit sous
a
la forme d’une fraction : est le quotient du nombre a par le nombre b.
b
a
Dans la fraction , le nombre a s’appelle le numérateur et le nombre b s’appelle le dénob
minateur.
a
Le quotient q = est le nombre dont le produit par le nombre b est égal au nombre a :
b
a
q × b = × q = a.
b
!
"
20
a
peut être un nombre entier
= 4 , un nombre décimal
Le calcul du quotient
b
5
!
"
!
"
16
20
= 3, 2 , mais en général la division « ne tombe pas juste »
≈ 3, 33 . . . .
5
6
a
L’écriture fractionnaire est alors la seule permettant d’écrire exactement ce nombre (le
b
20
× 6 = 20, mais 3, 333 . . . 33 × 6 =
nombre dont le produit par b donne a). En effet :
6
20
19, 999 . . . 98, donc le produit d’une valeur décimale approchée de la fraction
par 6
6
ne sera jamais exactement égal à 20 (quelle que soit la précision de la valeur décimale
approchée du quotient).
4.2
Égalité de deux fractions
a
ne change pas si on multiplie (ou si on divise) le numérateur et le dénob
a×c
a
.
minateur de la fraction par un même nombre c non nul : =
b
b×c
Transformer une fraction c’est multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction
par un même nombre c non nul.
Simplifier une fraction c’est diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction par
un même nombre c non nul.
Le quotient
Remarque : Si le numérateur ou le dénominateur d’une fraction, ou les deux, sont des
nombres décimaux, on peut les multiplier par 10, 100, 1 000, . . . pour obtenir une fraction
dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers.
Exemple :
12, 345 12, 345 × 10
123, 45
123, 45 × 100
12 345
=
=
=
=
67, 8
67, 8 × 10
678
678 × 100
67 800
Technique de simplification de fractions : il faut trouver un diviseur commun au numérateur et au dénominateur de la fraction.
Pour cela on utilise en général les tables de multiplication ou bien les critères de divisibilité suivants.
Un nombre est divisible :
– par 2, si ce nombre se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 (on dit alors que le nombre est pair
et impair s’il se termine par 1, 3, 5, 7 ou 9) ;
– par 3, si la somme de tous ses chiffres est un multiple de 3 ;
– par 4, si les deux derniers chiffres forment un multiple de 4 ;
F.Bonomi
– 7/32 –
prog 2005
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2012-2013
–
–
–
–
par 5, si le dernier chiffre est 0 ou 5
par 9, si la somme de tous ses chiffres est un multiple de 9 ;
par 10, si le dernier chiffre est 0
par 11, si la différence entre la somme des chiffres de rangs pairs et la somme des
chiffres de rangs impairs est un multiple de 11 (exemple : 93 819 est divisible par 11
car 9 + 8 + 9 − (3 + 1) = 26 − 4 = 22 = 2 × 11) ;
– par 25, si le nombre se termine par 00, 25, 50 ou 75.
Exemples :
4.3
24
12 × 2
4×3
4
=
=
= ;
18
9×2
3×3
3
125
25 × 5
25
=
=
;
60
12 × 5
12
28
4×7
4
=
= ;
35
5×7
5
45
5×9
5
=
= .
27
3×9
3
Multiplication d’une fraction par un nombre
3
La fraction
se lit « trois septièmes », soit trois fois la septième partie de l’unité. Si
7
on multiplie cette fraction par un nombre, par exemple par 5, cela signifie que l’on obtiendra cinq fois trois septièmes ou encore 5 × 3 = 15 septièmes. On pourra alors écrire
3
5×3
15
5× =
= .
7
7
7
Règle : Pour multiplier une fraction par un nombre il suffit de multiplier son numérateur
par ce nombre pour obtenir la nouvelle fraction.
Remarque : Il est souvent utile de penser à simplifier la fraction obtenue.
Exemples : 7 ×
4.4
7×3
21
3
=
=
;
5
5
5
12 ×
5
12 × 5
2×6×5
10
=
=
= .
18
18
3×6
3
Fractions décimales
On appelle fraction décimale une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10,
c’est-à-dire 10, 100, 1 000, . . .
Propriété : Tout nombre décimal peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale.
Exemples : 4, 567 =
4.5
4 567
;
1 000
3, 14 =
314
157
=
.
100
50
Pourcentages
Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est égal à 100. On peut alors écrire
24
1
cette fraction en remplaçant le dénominateur par le symbole % :
= 24 ×
= 24%.
100
100
Calculer un pourcentage c’est trouver une fraction égale a une proportion donnée dont
le dénominateur est égal à 100.
Exemple :
F.Bonomi
13
13 × 5
65
=
=
= 65% ;
20
20 × 5
100
23
56
≈ 0, 561 ≈
= 56%.
41
100
– 8/32 –
prog 2005