Mesure et Intégration

Mesure et Int´egration
Notes de cours
Licence 3 – Semestre 5
Ioane Muni Toke
Version 2014

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Universit´e de la Nouvelle-Cal´edonie Licence 3 S&T Mention Math´ematiques

Table des mati`eres
1 Rappels sur l’int´egrale au sens de Riemann 5
1.1 D´efinition et propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Riemann-int´egrabilit´e et convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Calcul int´egral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Int´egrales de Riemann g´en´eralis´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Limites de l’int´egrale au sens de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Exercices ..................................... 19
2 Mesure 25
2.1 Tribus, espaces mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Fonctions ´etag´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Mesures ...................................... 34
2.5 Construction partielle d’une mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6 Unicit´e d’une mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.7 Exercices ..................................... 43
3 Int´egrale par rapport `a une mesure positive 47
3.1 Int´egrale d’une fonction ´etag´ee r´eelle positive . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Int´egrale des fonctions mesurables positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Fonctions µ-int´egrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4 Th´eor`eme de convergence domin´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Int´egrales `a param`etres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.6 Comparaison des int´egrales de Riemann et de Lebesgue . . . . . . . . . . . 58
3.7 Int´egrale de Lebesgue et primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.8 Exercices ..................................... 63
4 Espaces Lp67
4.1 (Non-)Inclusion des espaces Lp
µ(Ω,T;K) .................... 68
4.2 In´egalit´es de convexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Espace Lp..................................... 70
4.4 Th´eor`emes de densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5 Exercices ..................................... 74
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4 TABLE DES MATI` ERES
5 Int´egrales multiples 77
5.1 Tribu produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3 Th´eor`emes de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.5 Exercices ..................................... 81
A Convergence domin´ee all´eg´ee 83
B Produit de convolution sur R85
B.1 L’alg`ebre de convolution L1(R) ......................... 85
B.2 Convolution avec une fonction r´eguli`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
B.3 Convolution L1−Lp............................... 86
B.4 R´egularisation par le produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
C Annales 89
C.1 Contrˆole continu du 9 mars 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
C.2 Contrˆole continu du 24 avril 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
C.3 Examen du 16 mai 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
C.4 Examen du 17 aoˆut 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
C.5 Examen du 3 avril 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
C.6 Examen du 6 mai 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
C.7 Examen du 27 juin 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Universit´e de la Nouvelle-Cal´edonie Licence 3 S&T Mention Math´ematiques

Chapitre 1
Rappels sur l’int´egrale au sens de
Riemann
Et d’abord, que doit-on entendre par Zb
a
f(x)dx ? Pour r´epondre `a cette ques-
tion, prenons entre aet bune s´erie de valeurs x1,...,xn−1rang´ees par ordre de
grandeur, depuis ajusqu’`a b, et d´esignons pour abr´eger x1−apar δ1,x2−x1
par δ2, ..., b−xn−1par δn; soient en outre ǫides nombres positifs plus petits
que l’unit´e. Il est clair que la valeur de la somme
S=δ1f(a+ǫ1δ1) + δ2f(x1+ǫ2δ2) + δ3f(x2+ǫ3δ3) + ...+δnf(xn−1+ǫnδn)
d´ependra du choix des intervalles δet des fractions ǫ. Si elle a la propri´et´e,
de quelque mani`ere que les δet les ǫpuissent ˆetre choisis, de s’approcher
ind´efiniment d’une limite fixe A, quand les δtendent tous vers 0, cette limite
s’appelle la valeur de l’int´egrale d´efinie Zb
a
f(x)dx.
Bernhard Riemann, Sur la possibilit´e de repr´esenter une fonction par une
s´erie trigonom´etrique (1854), in : ”Oeuvres math´ematiques de Riemann”,
Trad. L.Laugel, Gauthier-Villars, Paris, 1898.
Dans ce chapitre, nous rappelons et compl´etons les r´esultats ´etablis en premi`ere et
deuxi`eme ann´ee sur l’int´egrale au sens de Riemann. Kd´esigne soit le corps des r´eels, soit
celui des complexes.
1.1 D´efinition et propri´et´es ´el´ementaires
Soit aet bdeux r´eels distincts v´erifiant a < b.
D´efinition 1.1 (Subdivision et pas de subdivision).On appelle subdivision (d’ordre
N) du segment [a, b] tout (N+ 1)-uplet σ= (a0,...,aN) tel que a=a0< . . . < aN=b.
On appelle pas de la subdivision σla quantit´e max
i∈{0,...,N−1}(ai+1 −ai).
Il s’agit donc d’un d´ecoupage en Nintervalles [ai−1, ai] du segment [a, b].
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