Note sur le comportement en l`infini d`une fonction intégrable

Note sur le comportement en l’infini d’une fonction
int´egrable
Emmanuel Lesigne
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Emmanuel Lesigne. Note sur le comportement en l’infini d’une fonction int´egrable. 2008.
<hal-00276738v1>
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NOTE SUR LE COMPORTEMENT EN L’INFINI D’UNE
FONCTION INT´ EGRABLE
EMMANUEL LESIGNE
R´esum´e. Nous d´emontrons qu’en un sens faible toute fonction int´egrable
sur la droite r´eelle tend vers z´ero en l’infini ; en utilisant le th´eor`eme m´etrique
d’approximation diophantienne de Khinchine, nous ´etablissons que cette
convergence vers z´ero peut ˆetre arbitrairement lente.
On note xla variable r´eelle et nla variable enti`ere. La mesure de r´ef´erence
sur la droite r´eelle Rest la mesure de Lebesgue. Il est bien connu que
la convergence d’une fonction vers z´ero en l’infini n’est une condition ni
n´ecessaire, ni suffisante pour son int´egrabilit´e. On a toutefois le r´esultat
suivant.
Proposition 1. Soit fune fonction int´egrable sur R. Pour presque tout
x∈R, on a
(1) lim
n→∞ f(nx) = 0 .
Dans l’´enonc´e pr´ec´edent, qui concerne les fonctions int´egrables, cela n’a
aucun sens de remplacer le presque tout x par tout x. Mais mˆeme si l’on
ne consid`ere que des fonctions continues, le r´esultat reste du type “presque
partout”. En effet un r´esultat classique, utilisant un argument de Baire,
nous dit que si fest une fonction continue sur Rtelle que
pour tout xnon nul, lim
n→∞ f(nx) = 0 ,
alors
lim
x→±∞ f(x) = 0.
Ainsi, pour une fonction continue int´egrable qui ne tend pas vers z´ero en
l’infini, la propri´et´e (1) est vraie pour presque tout xet non pour tout x.
La proposition suivante ´etablit une forme d’optimalit´e de la proposition
pr´ec´edente.
1

2 EMMANUEL LESIGNE
Proposition 2. Soit (an)une suite r´eelle qui tend vers +∞.
Il existe une fonction fcontinue et int´egrable sur Rtelle que, pour presque
tout nombre r´eel x,
lim sup
n→∞
anf(nx) = +∞.
Il existe une fonction fint´egrable sur Rtelle que, pour tout nombre r´eel x,
lim sup
n→∞
anf(nx) = +∞.
Remarques
(R1) Si la suite (an) est croissante et v´erifie X
n
1
nan
<+∞, alors il
existe une fonction fcontinue et int´egrable sur Rtelle que, pour
tout nombre r´eel x,
lim sup
n→∞
anf(nx) = +∞.
(R2) On ne peut pas remplacer dans la proposition 2 l’hypoth`ese limnan=
+∞par lim supnan= +∞. On a par exemple, pour toute fonction
fint´egrable sur R, et pour tout ε > 0,
lim
n→∞ n1−εf(n2x) = 0 pour presque tout x.
Ainsi la conclusion de la proposition 2 est fausse pour la suite (an)
d´efinie par
an=(n1
2−εsi nest un carr´e d’entier
0 sinon .
Dans la suite de cette note, nous donnons des d´emonstrations des deux
propositions, suivies par des justifications des remarques pr´ec´edentes.
D´emonstration de la proposition 1. Fixons ε > 0 et notons El’ensemble
des points x≥1 tels que |f(x)| ≥ ε. Nous savons que Eest de mesure
finie. Nous allons montrer que, pour presque tout x∈[0,1], l’ensemble des
nombres entiers ntels que nx ∈Eest fini.
(On note |A|la mesure de Lebesgue d’un ensemble A⊂R.)
Pour chaque n≥2, on note En:= E∩[n−1, n]. On a Pn|En|<+∞.
Fixons a∈]0,1[, et notons
Fn:= 
[
m≥1
1
mEn
\[a, 1[ .
Pour m < n, on a 1
mEn⊂[1,+∞[ ; pour m > n/a on a 1 mEn⊂[0, a[. On a
donc
Fn⊂
[n/a]
[
m=n
1
mEn.

COMPORTEMENT EN L’INFINI D’UNE FONCTION INT´ EGRABLE 3
D’o`u
|Fn| ≤
[n/a]
X
m=n
1
m|En| ≤ |En|(ln(n/a)−ln(n−1)) ≤ |En|(1 + |ln a|).
On en d´eduit que Pn|Fn|<+∞.
Cela entraˆıne que presque tout xn’appartient qu’`a un nombre fini des Fn.
(C’est le Lemme de Borel-Cantelli, qui se d´emontre d’une ligne :
PFn<+∞presque partout puisque
ZXFn(x) dx=XZFn(x)<+∞.)
Ainsi, pour presque tout x∈[a, 1], il existe n0=n0(x)>0 tel que si n≥n0
alors x /∈Fn. Dire que xn’est pas dans Fn, c’est dire que, pour tout m≥1,
mx /∈En.
De plus, pour tout n > n0/x, on a nx /∈ ∪n0
n=2En.
On peut conclure que, pour tout m > n0/x,mx /∈E.
Ce fait s’applique `a presque tout x∈[a, 1], donc en fait `a presque tout
x∈[0,1].
Nous avons d´emontr´e que, pour tout ε > 0, pour presque tout x∈[0,1],
pour tout nassez grand, |f(nx)| ≤ ε. Puisqu’il suffit de consid´erer une
famille d´enombrable de ε, on peut intervertir pour tout ε > 0 et pour presque
tout x∈[0,1], ce qui donne la conclusion attendue.
D´emonstration de la proposition 2. Nous utiliserons le th´eor`eme suivant,
r´esultat fondamental de la th´eorie m´etrique de l’approximation diophanti-
enne dˆu `a Khinchine1.
Th´eor`eme. Soit (bn)une suite de nombres r´eels positifs telle que la suite
(nbn)soit d´ecroissante et la s´erie Pnbndiverge. Pour presque tout nombre
r´eel x, il existe une infinit´e de nombres entiers ntels que dist(nx, Z)≤bn.
Nous utiliserons ´egalement le lemme suivant (dont une d´emonstration est
donn´ee dans la suite).
Lemme 1. Soit (cn)une suite de nombres r´eels qui tend vers z´ero. Il existe
une suite de nombres r´eels positifs (bn)telle que
la suite (nbn)est d´ecroissante, X
n
bn= +∞et X
n
bncn<+∞.
Venons en `a la d´emonstration de la proposition 2.
Quitte `a remplacer anpar infk≥nak, on peut supposer que la suite (an)
est croissante. En appliquant le lemme pr´ec´edent `a la suite cn= 1/√an,
1Th´eor`eme 32 dans le livre : A.Ya. Khinichine, Continued Fractions, ´edition originale
russe 1935, traduction anglaise publi´ee par University of Chicago Press en 1961, r´e´edit´e
par Dover en 1997.

4 EMMANUEL LESIGNE
on obtient une suite (bn) telle que la suite (nbn) d´ecroisse, la s´erie Pnbn
diverge mais la s´erie Pnbn/√anconverge.
On consid`ere la fonction f1d´efinie sur Rpar
f1(x) = (1/√ansi |x−n| ≤ min(bn,1
2),pour un entier n≥1
0 sinon
Cette fonction est int´egrable.
D’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent, pour presque tout nombre r´eel positif x,
il existe des couples d’entiers positifs (n, k(n)), avec narbitrairement grand,
tels que
|nx −k(n)| ≤ bn.
Fixons un tel nombre xdans l’intervalle ]0,1[. On a limn→∞ k(n) = +∞et,
pour tout nassez grand, k(n)≤n. Pour un tel n, on a
|nx −k(n)| ≤ bk(n)et donc f1(nx) = 1
√ak(n)
.
(On a utilis´e la d´ecroissance de la suite (bn).)
Ainsi, pour des entiers narbitrairement grands, on a
anf1(nx) = an
√ak(n)≥pak(n).
(On a utilis´e la croissance de la suite (an).)
Et on a bien lim supn→∞ anf1(nx) = +∞.
Ce raisonnement s’applique `a presque tout nombre xentre 0 et 1.
Avec une construction similaire, pour chaque entier m > 0, on peut con-
struire une fonction fmint´egrable (positive ou nulle, et localement en es-
calier) sur Rtelle que, pour presque tout xentre 0 et m, on ait
lim sup
n→∞
anfm(nx) = +∞.
Il n’est pas difficile alors de construire une fonction fint´egrable et con-
tinue sur Rtelle que, pour tout m > 0, il existe Am>0 tel que f≥fmsur
[Am,+∞[. (On peut par exemple choisir une suite croissante (Am) telle que
X
mZ+∞
Am
f1(x) + f2(x) + . . . +fm(x) dx < ∞,
puis poser g=f1+f2+. . . +fmsur l’intervalle [Am, Am+1[. Cette fonction
int´egrable gest localement en escalier ; elle est domin´ee par une fonction f
int´egrable et continue.) On a alors, pour presque tout x≥0,
lim sup
n→∞
anf(nx) = +∞.
Un proc´ed´e de sym´etrisation ´evident ´etend la propri´et´e `a presque tout nom-
bre r´eel.
La premi`ere partie de la proposition 2 est d´emontr´ee. La seconde partie
en est une cons´equence directe : on consid`ere la fonction fconstruite ci-
dessus, et on note Fl’ensemble des xtels que la suite (anf(nx)) soit major´ee.