Rappel sur les propriétés topologique de R^n

Chapitre0
Rappel sur les propriétés topologique
de Rn
Sommaire
0.1 Notion de distance dans Rn....................... 2
0.2 Normes dans Rn.............................. 2
0.2.1 Exemples de normes dans Rn....................... 3
0.2.2 Normeséquivalentes ............................ 4
0.3 Propriétés topologique de Rn...................... 4
0.3.1 Suites de Rn................................ 4
0.3.2 Ouverts et fermés de Rn.......................... 6
0.3.3 Quelques propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
On désigne par Rn; n 2N, l’ensemble de tous les n-uples (x1; :::; xn)où xi; i = 1; :::; n, sont
des nombres réels. Les éléments de Rnsont notés xou (x1; :::; xn).
Si n= 3, une variante notation est souvent utilisée (x; y; z).
1

0.1. Notion de distance dans Rn
0.1 Notion de distance dans Rn
On appelle distance sur un ensemble Ede Rn, une application dé…nie de EEà valeurs
dans R+notée d, qui à tout couple (x; y)de EEfait correspondre un réel positif ou nul
d(x; y)véri…ant :
1. d(x; y) = 0 si et seulement si x=y
2. d(x; y) = d(y; x)8(x; y)2E2
3. d(x; y)d(x; z) + d(z; y)8(x; y; z)2E3:
Un ensemble Emuni d’une distance est appelé espace métrique, on le désigne par (E; d).
Dé…nition 1
Exemple 1
E=Ret d(x; y) = jxyjest une distance sur R. En e¤et,
1. jxyj= 0 () x=y
2. jxyj=jyxj
3. jxyj=jxz+zyjjxzj+jzyj:
Sur un même ensemble Epeuvent être dé…nies plusieurs distances.
Remarque 2
0.2 Normes dans Rn
On appelle norme sur Rnune application Nde Rndans R+véri…ant les trois propriétés
suivantes
1. N(x) = 0R+si et seulement si x= 0Rn:
2. N(x) = jjN(x)pour tout xdans Rnet dans R.
3. N(x+y)N(x) + N(y)pour tout x; y dans Rn.
Le couple (Rn; N)est appelé un espace normé.
Dé…nition 3
2

0.2. Normes dans Rn
À partir d’une norme Ndé…nie sur Rn, on peut toujours dé…nir une distance dassociée à cette
norme par la relation d(x; y) = N(xy). Réciproquement, il existe des distances dé…nies
sur Rnqui n’induisent pas de norme associée à celles-ci.
Sur Rn, on peut dé…nir plusieurs normes notées N1; N2; :::.
Remarque 4
Notation 1
Par la suite, une norme sur Rnsera désignée par la notation k:ket sans indice quand il n’y a
aucune ambiguïté.
Exemple 2
La valeur absolue est une norme sur Rn.
Exercice 1
Montrer que 
kxkkyk  kxykpour tout x; y dans Rn.
0.2.1 Exemples de normes dans Rn
Norme euclidienne
L’application
k:k2:Rn! R+
x7! kxk2=px2
1+x2 2+::: +x2
n;
dé…nit une norme sur Rnappelée norme euclidienne.
Le produit scalaire de x= (x1; :::; xn)avec y= (y1; :::; yn)est dé…ni par
xy=x1y1+::: +xnyn=
n
X
i=1
xiyi:
On a en particulier (kxk2)2=xx.
Inégalité de Cauchy-Schwartz Pour tout xet ydans Rnon a jxyjkxk2kyk2;avec
égalité si et seulement si xet ysont proportionnels.
Norme sup ou l1
La norme sup ou l1est dé…nie par kxk1= sup
1injxij:
3

0.3. Propriétés topologique de Rn
Norme lp;1p < +1
La norme lpdé…nie pour 1p < +1par kxkp= (jx1jp+::: +jxnjp)
1
p= (Pn
i=1 jxijp)
1
p:On
voit que le cas p= 2 correspond à la norme euclidienne.
0.2.2 Normes équivalentes
On dit que deux normes N1et N2dé…nies sur Rnsont équivalentes s’il existe deux constantes
aet bstrictement positives telles que
a N1(x)N2(x)b N1(x)pour tout x2Rn.
Dé…nition 5
On véri…e aisément que
kxk1 kxk1nkxk1et kxk1 kxk2pnkxk1pour tout x2Rn.
Ceci montre que les normes kxk1;kxk2et kxk1sont équivalentes deux à deux.
On a en fait la propriété fondamentale suivante.
Toutes les normes sur Rnsont équivalentes entre elles.
Théorème 6
0.3 Propriétés topologique de Rn
0.3.1 Suites de Rn
Soit (xk)k2Nune suite de points de Rnmuni d’une norme notée k:k. On dit que cette suite
converge vers une limite x2Rnsi et seulement si
lim
n!+1kxkxk= 0:
On note alors lim
n!+1xk=xou encore parfois xk! x. Dans le cas contraire on dit que la suite
(xk)k2Ndiverge.
La limite d’une suite (xk)k2Nd’éléments de Rnsi elle existe est unique.
Proposition 7
4

0.3. Propriétés topologique de Rn
Dans le cas n= 1, on a kxkxk=jxkxjet on retrouve la dé…nition usuelle de la
convergence des suites réelles.
Remarque 8
Caractérisation des suites convergentes
Grâce à l’équivalence des normes, il est possible de remplacer la norme k:kpar n’importe quelle
autre norme. En particulier en utilisant la norme k:k1, on voit que si xk= (x1;k; x2;k; :::; xn;k)
et x= (x1; x2; :::; xn), la convergence de la suite (xk)k2Nvers xest équivalente à la convergence
pour tout i= 1; :::; n de la suite des i-ème coordonnées (xi;k)k2Nvers la coordonnée xi.
Propriétés des suites convergentes
Toute suite convergente est bornée c’est-à-dire que si (xk)k2Nconverge vers x, alors il existe
M0telle que kxkk  Mpour tout k2N. De plus on a kxk  M.
Proposition 9
Suites de Cauchy
On dit qu’une suite (xk)k2Nd’éléments de Rnest de Cauchy si pour tout nombre réel " > 0,
il existe un entier naturel k0tel que
pk0et qk0impliquent kxpxqk< ":
Dé…nition 10
Une suite (xk)k2Navec xk= (x1;k; x2;k ; :::; xn;k)est une suite de Cauchy si et seulement si les
nsuites numériques (x1;k)k2N; ::: (xn;k )k2Nsont des suites de Cauchy.
Proposition 11
Pour qu’une suite (xk)k2Nconverge dans Rn, il faut et il su¢ t qu’elle soit de Cauchy.
Théorème 12 (Critère de Cauchy)
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