GELE3211 - Chapitre 1

Chapitre
1
Revue des notions de base
Dans ce chapitre, on fera une revue des notions de base reliées au cours. En premier,
une revue des nombres complexes et leurs propriétés est présentée, tandis que la seconde
partie de ce chapitre donne une revue des notions des circuits en régime sinusoı̈dal permanent.
1.1
Nombres Complexes
Notation : C : Ensemble des nombres complexes.
Soit z, un nombre complexe.
z = a + jb
où a est la partie réelle et b est la partie imaginaire. Il faut noter que a et b sont tous deux
des nombres réels.
Propriétés des nombres complexes
Les nombres complexes contiennent des racines carrées < 0.
√
→ −1 = j √
√
Pour α > 0, −α = j α.
Exemple 1
x2 + x + 1 = 0
∆ = b2 − 4ac = −3 < 0
1
CHAPITRE 1. REVUE DES NOTIONS DE BASE
Dans l’ensemble des nombres réels, cette équation n’a pas de solution.
Dans l’ensemble des nombres complexes, on peut trouver une solution :
√
−1 − j 3
z1 =
2
1.2
√
−1 + j 3
z2 =
2
Calcul avec des nombres complexes
Soit deux nombres z1 et z2 .
z1 = a1 + jb1
z2 = a2 + jb2
Addition : La somme des deux nombres est la somme de leur parties réelles et imaginaires.
Σ = z1 + z2 = (a1 + a2 ) + j(b1 + b2 )
(1.1)
Multiplication : Le produit des deux nombres est obtenu de la même façon que la
multiplication de deux polynômes.
Π = z1 · z2 = (a1 · a2 − b1 · b2 ) + j(a1 · b2 + a2 · b1 )
(1.2)
La multiplication d’un nombre réel et d’un nombre complexe est distributive. Pour
α ∈ R,
α · z1 = α · a1 + j(α · b1 )
(1.3)
Conjugé : z1∗ = a1 − jb1
1.3
Propriétés de l’opérateur complexe j
j ∗ = −j
(z1 + z2 )∗ = z1∗ + z2∗
(z1 · z2 )∗ = z1∗ · z2∗
j 2 = −1
√
5. j 3 = − −1 = −j
6. j 4 = 1
1.
2.
3.
4.
Gabriel Cormier
2
GEN1153
CHAPITRE 1. REVUE DES NOTIONS DE BASE
1.4
Plan complexe
On peut représenter les nombres complexes dans un graphique, comme à la figure 1.1.
L’axe x est l’axe des réels et l’axe y est l’axe des imaginaires.
Im
z
b
Re
a
Figure 1.1 – Plan complexe
1.5
Module d’un nombre complexe
Soit z un nombre complexe.
z = a + jb
Le conjugué est :
z∗ = a − jb
Alors,
z · z∗ = a2 + b2 = |z|2
√
√
|z| = a2 + b2 = z · z∗
où |z| est appelé le module ou l’amplitude du nombre complexe.
Propriétés :
1. α ∈ R; |α · z| = α · |z|
2. |z1 z2 | = |z1 | · |z2 |
3. |z1 + z2 | = |z1 | + |z2 |
On peut démontrer ces propriétés par quelques exemples simples.
Gabriel Cormier
3
GEN1153
CHAPITRE 1. REVUE DES NOTIONS DE BASE
Exemple 2
z=
1 + j (1 + j)(1 + j)
2
=
=j =j
1 − j (1 − j)(1 + j)
2
Exemple 3
z1 = 4 + j3;
z2 = 1 + j2;
|z1 | · |z2 | =?
On obtient :
√
|z1 | = 42 + 32 = 5
√
|z2 | = 12 + 22 = 2.24
et donc la solution :
|z1 | · |z2 | = (5)(2.24) = 11.18
Si on fait la multiplication avant de faire le module, on devrait trouver le même résultat :
z1 · z2 = −2 + j11
Le module est :
q
|z1 · z2 | =
1.6
(−2)2 + 112 = 11.18
Nombres complexes de module 1
q
Soit un nombre complexe z0 = a0 + jb0 , et de module |z0 | = a20 + b02 . On voit bien qu’il
existe une relation entre cette formule et la formule d’un sinus et cosinus. Pour 0 < θ < 2π,
on sait que cos2 (θ) + sin2 (θ) = 1. On peut donc faire la relation :
z0 = cos(θ) + j sin(θ)
z0 = 1∠θ
où θ est l’argument et 1 est le module de |z|.
L’opérateur complex j peut aussi être écrit comme j = 1∠(π/2).
On peut aussi dessiner le nombre complexe dans le plan sous sa forme trigonométrique,
comme à la figure 1.2.
Gabriel Cormier
4
GEN1153
CHAPITRE 1. REVUE DES NOTIONS DE BASE
Im
z
sin(θ)
θ
Re
cos(θ)
Figure 1.2 – Plan complexe
1.6.1
Argument d’un nombre complexe
√
Soit un nombre complexe z = a + jb, et de module |z| = a2 + b2 . Alors,
z0 =
|z0 | =
a
z
b
=√
+j√
|z|
a2 + b2
a2 + b2
|z|
= 1 ⇒ ∃ 0 < θ < 2π 3 z0 = cos(θ) + j sin(θ)
|z|
z = |z|z0 = |z|(cos θ + j sin θ) = |z|∠θ
cos θ = √
a
b
et sin θ = √
a2 + b2
a2 + b2
Le passage de la représentation rectangulaire à la représentation polaire est très simple :
Si z = a + jb, et on désire une représentation en forme polaire z = |z|∠θ,
√
|z| = a2 + b2
et
θ = tan
−1
b
a
!
De la même façon, de polaire à rectangulaire : Si z = ρ∠θ, et on désire une représentation
en forme rectangulaire z = a + jb,
a = ρ cos θ
et
b = ρ sin θ
Gabriel Cormier
5
GEN1153
CHAPITRE 1. REVUE DES NOTIONS DE BASE
1.6.2
Propriétés de la forme polaire
1. z = ρ∠θ ↔ z∗ = ρ∠(−θ)
2. z1 = ρ1 ∠θ1 et z2 = ρ2 ∠θ2
(a) z1 · z2 = ρ1 · ρ2 ∠(θ1 + θ2 )
z1 ρ1
= ∠(θ1 − θ2 )
z2 ρ2
3. z = ρ∠θ ⇒ zn = ρn ∠(n · θ) (formule de Moivre)
(b)
4.
1.7
1 1
= ∠(−θ)
z ρ
Forme exponentielle
La représentation du nombre complexe sous forme exponentielle est aussi possible
grâce à la formule d’Euler.
ejθ = cos θ + j sin θ
z = ρ∠θ = ρ(cos θ + j sin θ) = ρejθ
Propriétés :
Pour z1 = ρ1 ejθ1 et z2 = ρ2 ejθ2
1. z1 · z2 = ρ1 · ρ2 ej(θ1 +θ2 )
2.
z1 ρ1 j(θ −θ )
= e 1 2
z2 ρ2
3. zn = ρn ej(n·θ) = ρn ∠(n · θ)
Gabriel Cormier
6
GEN1153
CHAPITRE 1. REVUE DES NOTIONS DE BASE
Exemples
√
Exemple 1 : z = 2.8∠(45◦ ) ; z =?
√
→ z = 2.80.5 ∠(0.5 · 45) = 1.67∠(22.5◦ )
Exemple 2 : z = 4 − j5 ; z = ρ∠θ =?
q
√
|z| = 42 + (−5)2 = 41 = 6.40
−5
= −51.34◦
4
→ z = 6.40∠(−51.34◦ )
θ = tan−1
Exemple 3 : z = −4 + j5 ; z = ρ∠θ =?
q
√
|z| = (−4)2 + 52 = 41 = 6.40
5
= 128.66◦
−4
→ z = 6.40∠(128.66◦ )
θ = tan−1
Exemple 4 : z = 4∠(35◦ ) ; z = a + jb =?
a = |z| · cos θ = 4 · cos(35◦ ) = 3.28
b = |z| · sin θ = 4 · sin(35◦ ) = 2.29
→ z = 3.28 + j2.29
* Faites bien attention à la différence entre l’exemple 2 et 3. Dans les deux cas, sur
votre calculatrice, tan−1 (−1.25) = −51.34◦ , mais la solution n’est pas la même. En effet,
tan(θ) = tan(θ + π), donc il faut faire attention.
Gabriel Cormier
7
GEN1153
CHAPITRE 1. REVUE DES NOTIONS DE BASE
1.8
Analyse des circuits en régime permanent
Définition : Un circuit est dit fonctionnel au régime sinusoı̈dal si chaque source d’excitation est sinusoı̈dale.
1.8.1
Notions de base
Les prochaines sections introduisent les concepts de base dans le calcul de tensions
et courants dans les circuits en régime sinusoı̈dal permanent. Ces notions de base seront
très importantes dans l’étude de ce cours. Une bonne maı̂trise des éléments présentés
ci-dessous est nécessaire.
1.8.2
Forme d’onde sinusoı̈dale
Soit v(t), une onde sinusoı̈dale,
v(t) = Vm cos(ω0 t + φ)
– Vm = Amplitude (V)
– ω0 = Fréquence (rad/s)
– φ = Phase
ω0
(Hz)
– Fréquence ⇒ f = 2π
1
– Période ⇒ T = f (s)
Valeur moyenne :
1
VAV G =
T
T
Z
V (t)dt = 0
0
Valeur efficace :
s
Vef f =
1
T
Z
T
0
V
V 2 (t)dt = √m
2
Exemple : Réseau électrique
–
–
–
–
Vm = 170V
f = 60 Hz
Vef f = 120V
T = 2.65 ms
Gabriel Cormier
8
GEN1153
CHAPITRE 1. REVUE DES NOTIONS DE BASE
1.8.3
Représentation vectorielle d’une forme d’onde sinusoı̈dale
ejθ = cos θ + j sin θ
→ cos θ = <{ejθ }
v(t) = Vm cos(ω0 t + φ) = <{Vm ejω0 t+φ }
De façon vectorielle :
V (t) = Vm ejω0 t+φ
→
→
→
→
Vecteur tournant dans le plan complexe
Amplitude Vm
Vitesse de rotation = ω0
Phase initiale (à t = 0) = φ
Im
ω0
Vm cos(ω0 t + φ)
Vm
φ
Re
Figure 1.3 – Représentation vectorielle
1.8.4
v(t)
Vt
Notation par phaseur
= Vm cos(ω0 t + φ)
= < Vm ej(ω0 t+φ)
= Vm ejφ · ejω0 t
Gabriel Cormier
9
GEN1153
CHAPITRE 1. REVUE DES NOTIONS DE BASE
1.8.5
Transformation de phaseur
Temps
v(t) = Vm cos(ω0 t + φ)
v(t)
1.8.6
Phase
V = Vm ejφ = Vm ∠φ
= Vm sin(ω0 t + φ)
= Vm cos(ω0 t + φ − π/2)
V = Vm ej(φ−π/2) = Vm ∠(φ − π/2)
Circuit en régime permanent
Exemple 4
Soit un circuit RL, avec une source v(t) = Vm cos(ω0 t + φ). Quel est le courant i(t) ?
R
−
+
v(t)
i(t)
L
Figure 1.4 – Circuit RL
L’équation de ce circuit est :
Vm cos(ω0 t + φ) = Ri + L
di
dt
Ceci est une équation différentiel de premier ordre. Pour résoudre cette équation, on utilise un facteur intégrateur If . L’équation différentielle est de la forme :
y 0 + p(x)y = q(x)
Le facteur intégrateur est donc :
R
If = e
p(x)dx
Pour ce problème, ceci nous donne :
R
If = e
Gabriel Cormier
R
L dt
10
R
= eLt
GEN1153
CHAPITRE 1. REVUE DES NOTIONS DE BASE
On multiplie le facteur intégrateur de chaque coté de l’équation. On obtient :
R
eLt
R
V
di R R t
+ e L i = m cos(ω0 t + φ)e L t
dt L
L
Le coté gauche de l’équation est de la forme uv 0 + u 0 v. Ceci est la dérivée de (uv). Donc le
coté gauche de l’équation peut se simplifier :
R d e L ti
R
V
= m cos(ω0 t + φ)e L t
dt
L
Si on multiplie les deux côtés par dt et que l’on intègre, on obtient :
Z
R
R
Vm
t
eL i =
cos(ω0 t + φ)e L t dt
L
R
R
L’équation du coté droit est de la forme udv = uv − vdu. Il faut intégrer par parties.
Posons :
u=
du =
cos(ω0 t + φ)
−ω0 sin(ω0 t + φ)dt
dv =
v=
R
e L t dt
L RL t
Re
On obtient donc comme résultat :
L Rt
e L cos(ω0 t + φ) +
R
Z
L Rt
e L ω sin(ω0 t + φ)dt
R
R
R
Encore une fois, la partie de droite est de la forme udv = uv − vdu.
Posons :
u=
du =
sin(ω0 t + φ)
ω0 cos(ω0 t + φ)dt
R
dv = e L t dt
R
v = RL e L t
On obtient comme résultat pour cette intégrale :
"
#
Z
R
R
Lω L
Lω
t
t
L
L
sin(ω0 t + φ)e −
cos(ω0 t + φ)e dt
R R
R
L’intégrale de droite, à part un facteur
tout, avec les coefficients appropriés,
Lω
R ,
est l’intégrale originale. Si on combine le
2 2
R
L Rt
L2 ω0
t L ω0
L
L
Int = e cos(ω0 t + φ) + 2 sin(ω0 t + φ)e − 2 Int
R
R
R
où Int représente l’intégrale originale. On factorise Int, regroupant les termes communs :
!
R
L Rt
R2
L2 ω0
t
Int =
e L cos(ω0 t + φ) + 2 sin(ω0 t + φ)e L
R
R2 + L2 ω02 R
Gabriel Cormier
11
GEN1153
CHAPITRE 1. REVUE DES NOTIONS DE BASE
Si on retourne à l’équation originale, on a :
R
V
R2
L 2 ω0
L Rt
L cos(ω t + φ) +
Lt
e i= m·
e
sin(ω
t
+
φ)e
0
0
2
L R2 + L2 ω02 R
R
R
Lt
!
En simplifiant :
i(t) =
Vm
2
R + L2 ω02
(R cos(ω0 t + φ) + Lω0 sin(ω0 t + φ))
Il ne faut pas oublier la constante d’intégration, mais l’équation peut être simplifiée encore plus. En effet, on peut séparer le dénominateur en deux racines :






R
Vm
ω0 L

i(t) = q
cos(ω0 t + φ) + q
sin(ω0 t + φ)
 q


R2 + L2 ω02  R2 + ω02 L2
R2 + ω02 L2
On peut alors constater que les coefficients devant le cosinus et le sinus forment l’équation
d’un triangle.
q
R2 + ω02 L2
ω0 L
θ
R
On peut donc faire la substitution :
R
cos θ = q
R2 + ω02 L2
ω0 L
sin θ = q
R2 + ω02 L2
Ceci donne une équation
cos θ cos(ω0 t + φ) + sin θ sin(ω0 t + φ)
qui se simplifie à :
cos(ω0 t + φ − θ)
où
θ = tan−1
ω0 L
R
Il reste maintenant à trouver la constante d’intégration. À t = 0, i(t) = 0, et donc
Vm
C = −q
cos(φ − θ)
2
2
2
R + L ω0
Gabriel Cormier
12
GEN1153
CHAPITRE 1. REVUE DES NOTIONS DE BASE
L’équation complète du courant est donc :
i(t) = iT (t) + iRP (t)
R
Vm
Vm
i(t) = − q
cos(φ − θ)e− L t + q
cos(ω0 t + φ − θ)
2
2
2
2
2
2
R + L ω0
R + L ω0
1.8.7
Transformation dans le domaine de phase des composants passifs (R.L.C.)
Temps
Résistance
Phase
v(t) = Ri(t)
Si i(t) = Im cos(ωt + φ)
alors v(t) = RIm cos(ωt + φ)
→ I = Im ejφ = Im ∠φ
→ V = RIm ejφ = RIm ∠φ
ZR = VI = R
Inductance
di
vL (t) = L dt
Si i(t) = Im cos(ωt + φ)
alors v(t) = LωIm cos(ωt + φ + π/2)
→ I = Im ejφ = Im ∠φ
→ V = LωIm ∠(φ + π/2)
ZL = Lω∠(π/2) = jLω
Condensateur
iC (t) = C dv
dt
Si v(t) = Vm cos(ωt + φ)
alors i(t) = CωVm cos(ωt + φ + π/2)
1.8.8
→ V = Vm ∠φ
→ I = CωVm ∠(φ + π/2)
1
1
ZC = Cω
∠(−π/2) = −j Cω
Méthode d’étude des circuits en régime sinusoı̈dal permanent
Temps
Vm cos(ω0 t + φ)
Im cos(ω0 t + φ)
R
di
L, v = L dt
C, i = C dv
dt
Gabriel Cormier
↔
↔
↔
↔
↔
Phase
V = Vm ejφ
I = Im ejφ
ZR = R
ZL = jLω
1
ZC = −j Cω
13
GEN1153
CHAPITRE 1. REVUE DES NOTIONS DE BASE
Procédure :
1. Transformer le circuit dans le domaine de phase. (RLC) → (ZR , ZL , ZC )
2. Étudier le circuit dans le domaine de phase en utilisant les théorèmes relatifs aux
circuits électriques.
Exemple 5
On a le même circuit RL qu’auparavant, avec v(t) = Vm cos(ω0 t + φ) ; i(t)= ?
R
−
+
v(t)
L
Figure 1.5 – Circuit RL
L’équation de ce circuit est :
Vm ∠φ = RI + jω0 LI
Si on isole le courant I,
I=
I=q
Vm ∠φ
V
=
Z R + jω0 L
Vm ∠φ
R2 + ω02 L2 ∠(tan−1 ( ωR0 L ))
Vm
I=q
∠(φ − θ)
R2 + ω02 L2
où
θ = tan−1
ω0 L
R
Alors, dans le domaine de temps,
Vm
i(t) = q
cos(ω0 t + φ − θ)
2 2
2
R + ω0 L
Ceci est la même chose que ce qui fut obtenu dans la section 1.8.6, sauf que le terme
dû au régime transitoire n’y est pas. On voit donc qu’on peut se servir de la méthode des
phaseurs pour étudier des circuits en régime permanent, de façon bien plus simple que
les méthodes d’équations différentielles.
Gabriel Cormier
14
GEN1153
CHAPITRE 1. REVUE DES NOTIONS DE BASE
Exemple 6
Soit un circuit RLC où vs (t) = 240 cos(ω0 t), opérant à 60Hz. Calculer
1. Is
2. VL , VC
3. IR , IC
100mH
−
+
vs (t)
50Ω
80µF
Figure 1.6 – Circuit RLC
Vous pouvez essayer de résoudre ce problème à l’aide d’équations différentielles, mais
c’est encore plus long que le premier exemple. La méthode des phaseurs est bien plus
simple.
On convertit en impédances :
ZL = j37.7Ω
ZC = −j33.16Ω
Calcul de la résistance équivalente du circuit :
Zéq = ZL + ZR ||ZC = 21.18∠(43.85◦ )Ω
Calcul des valeurs demandées :
Is =
Vs
240∠0
=
= 11.33∠(−43.85◦ ) A
Zéq 21.18∠(43.85◦ )
VL = Is · ZL = 427∠(46.16◦ ) V
VC = VR = Vs − VL = 313.18∠(−100.3◦ ) V
V
IR = R = 6.2∠(−100.3◦ ) A
R
VC
IC =
= 9.44∠(−10◦ ) A
ZC
Les calculs sont bien plus faciles de cette façon.
Gabriel Cormier
15
GEN1153