GELE3211 - Chapitre 1

Chapitre 1
Revue des notions de base
Dans ce chapitre, on fera une revue des notions de base reli´ ees au cours. En premier,
une revue des nombres complexes et leurs propri´ et´ es est pr´ esent´ ee, tandis que la seconde
partie de ce chapitre donne une revue des notions des circuits en r´ egime sinuso¨ ıdal per-
manent.
1.1 Nombres Complexes
Notation : C : Ensemble des nombres complexes.
Soit z, un nombre complexe.
z=a+jb
o` uaest la partie r´ eelle et best la partie imaginaire. Il faut noter que aet bsont tous deux
des nombres r´ eels.
Propri´ et´ es des nombres complexes
Les nombres complexes contiennent des racines carr´ ees <0.
→√−1 = j
Pour α > 0, √−α=j√α.
Exemple 1
x2+x+ 1 = 0
∆=b2−4ac =−3<0
1

CHAPITRE 1. REVUE DES NOTIONS DE BASE
Dans l’ensemble des nombres r´ eels, cette ´ equation n’a pas de solution.
Dans l’ensemble des nombres complexes, on peut trouver une solution :
z1=−1−j√3
2z2=−1 + j√3 2
1.2 Calcul avec des nombres complexes
Soit deux nombres z1et z2.
z1=a1+jb1
z2=a2+jb2
Addition : La somme des deux nombres est la somme de leur parties r´ eelles et imagi-
naires.
Σ=z1+z2= (a1+a2) + j(b1+b2) (1.1)
Multiplication : Le produit des deux nombres est obtenu de la mˆ eme fac¸on que la
multiplication de deux polynˆ omes.
Π=z1·z2= (a1·a2−b1·b2) + j(a1·b2+a2·b1) (1.2)
La multiplication d’un nombre r´ eel et d’un nombre complexe est distributive. Pour
α∈R,
α·z1=α·a1+j(α·b1) (1.3)
Conjug´ e : z∗
1=a1−jb1
1.3 Propri ´ et ´ es de l’op ´ erateur complexe j
1. j∗=−j
2. (z1+z2)∗=z∗
1+z∗ 2
3. (z1·z2)∗=z∗
1·z∗ 2
4. j2=−1
5. j3=−√−1 = −j
6. j4= 1
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1.4 Plan complexe
On peut repr´ esenter les nombres complexes dans un graphique, comme ` a la figure 1.1.
L’axe xest l’axe des r´ eels et l’axe yest l’axe des imaginaires.
Re
Im
a
bz
Figure 1.1 – Plan complexe
1.5 Module d’un nombre complexe
Soit z un nombre complexe.
z=a+jb
Le conjugu´ e est :
z∗=a−jb
Alors,
z·z∗=a2+b2=|z|2
|z|=√a2+b2=√z·z∗
o` u|z|est appel´ e le module ou l’amplitude du nombre complexe.
Propri´ et´ es :
1. α∈R;|α·z|=α·|z|
2. |z1z2|=|z1|·|z2|
3. |z1+z2|=|z1|+|z2|
On peut d´ emontrer ces propri´ et´ es par quelques exemples simples.
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CHAPITRE 1. REVUE DES NOTIONS DE BASE
Exemple 2
z=1+j
1−j=(1 + j)(1 + j) (1 −j)(1 + j)=j2 2=j
Exemple 3
z1= 4 + j3; z2= 1 + j2; |z1|·|z2|=?
On obtient :
|z1|=√42+ 32= 5
|z2|=√12+ 22= 2.24
et donc la solution :
|z1|·|z2|= (5)(2.24) = 11.18
Si on fait la multiplication avant de faire le module, on devrait trouver le mˆ eme r´ esultat :
z1·z2=−2 + j11
Le module est :
|z1·z2|=q(−2)2+ 112= 11.18
1.6 Nombres complexes de module 1
Soit un nombre complexe z0=a0+jb0, et de module |z0|=qa2
0+b2 0. On voit bien qu’il
existe une relation entre cette formule et la formule d’un sinus et cosinus. Pour 0 < θ < 2π,
on sait que cos2(θ) + sin2(θ) = 1. On peut donc faire la relation :
z0= cos(θ) + jsin(θ)
z0= 1∠θ
o` uθest l’argument et 1 est le module de |z|.
L’op´ erateur complex j peut aussi ˆ etre ´ ecrit comme j= 1∠(π/2).
On peut aussi dessiner le nombre complexe dans le plan sous sa forme trigonom´ etrique,
comme ` a la figure 1.2.
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CHAPITRE 1. REVUE DES NOTIONS DE BASE
Re
Im
cos(θ)
sin(θ)z
θ
Figure 1.2 – Plan complexe
1.6.1 Argument d’un nombre complexe
Soit un nombre complexe z=a+jb, et de module |z|=√a2+b2. Alors,
z0=z
|z|=a
√a2+b2+jb √a2+b2
|z0|=|z|
|z|= 1 ⇒ ∃ 0< θ < 2π3z0= cos(θ) + jsin(θ)
z=|z|z0=|z|(cosθ+jsinθ) = |z|∠θ
cosθ=a
√a2+b2et sinθ=b √a2+b2
Le passage de la repr´ esentation rectangulaire ` a la repr´ esentation polaire est tr` es simple :
Si z=a+jb, et on d´ esire une repr´ esentation en forme polaire z=|z|∠θ,
|z|=√a2+b2
et
θ= tan−1 b
a!
De la mˆ eme fac¸on, de polaire ` a rectangulaire : Si z=ρ∠θ, et on d´ esire une repr´ esentation
en forme rectangulaire z=a+jb,
a=ρcosθ
et
b=ρsinθ
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