Fiche 3 - Martin DEL HIERRO

Fiche n◦ 03
PTSI 07/08
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1
:
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Définitions
Définition 1.1 On appelle application f , la donnée d’un triplet d’ensembles (E, F, Γ), où Γ est
un sous-ensemble de E × F , que l’on appelle le graphe, et qui vérifie :
∀x ∈ E, ∃!y ∈ F | (x, y) ∈ Γ
E est appelé l’ensemble de départ, F est appelé l’ensemble d’arrivé
♠
Question: En considérant Γ l’ensemble des couples (nom,âge) pris parmi les noms de l’ensemble
E des élèves de PTSI et parmi leurs âges de l’ensemble F = N, a-t’on construit une application
(E, F, Γ) ?
Question: En considérant Γ0 l’ensemble des couples (âge,nom), a-t’on construit une application
(F, E, Γ0 ) ?
f : E −→ F
x 7→ f (x)
Où f (x) est la donnée, pour chaque x ∈ E, de l’unique y ∈ F qui vérifie (x, y) ∈ Γ.
f (x) est l’image de x, et x est un antécédent de f (x)
Remarque 1.1 Dans les faits on note :
Exemple: On note IdE : E −→ E, l’application qui à tout x ∈ E associe x.
1
∗
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Exercice: Le diagramme ci-dessous correspond-t’il à une application ?
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Remarque: Attention f (x) n’est pas forcément donnée par une formule (voir exemple de la
valeur absolue ou de la partie entière). Et surtout, il ne faut pas oublier de préciser les ensembles
de départ et d’arrivée :
f : R+ −→ √R
x
7→
x2
Soient
et
g : R −→ R
x 7→ |x|
On a f 6= g.
Définition 1.2 La collection des applications de E dans F forme un ensemble que l’on note
F E.
♠
Définition 1.3 (Restriction - Application Induite) Soit f = (E, F, Γ) une application.
Pour tout E ⊂ E, on note f |E la restriction de f à E définie par :
f |E = (E, F, ΓE )
avec
ΓE = {(x, y) ∈ E × F | (x, y) ∈ Γ}
Si de plus F est une partie de F vérifiant : ∀(x, y) ∈ Γ,
x ∈ E =⇒ y ∈ F,
on définit l’application induite par f de E dans F par
(E, F, ΓE,F )
avec
ΓE,F = {(x, y) ∈ E × F | (x, y) ∈ Γ}
♠
Définition 1.4 (Composition) Soient f : E −→ F et g : F −→ G deux applications, on
définit la composée de g et de f , comme étant l’application g ◦ f : E −→ G qui à x ∈ E associe
g(f (x)) dans G.
Ainsi on a :
∀x ∈ E ; (g ◦ f )(x) = g(f (x))
♠
En particulier si f : E → F, g : F → G et h : G → H sont trois applications quelconques, on a
Associativité
(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f )
L’identité est un élément neutre pour la loi de composition :
f ◦ IdE = f
IdF ◦ f = f
Remarque 1.2 Attention à ce que si g ◦ f a un sens, f ◦ g n’en a pas forcément. Et même si
cela avait un sens (G = E), en général :
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g ◦ f 6= f ◦ g
∗
Remarque 1.3 En toute rigueur, on ne devrait guère parler de composée pour des applications
f : E −→ F
En revanche dans le cas où F ⊂ G on définit
et
g : G −→ H
def
g ◦ f = g|F ◦ f
2
∗
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Bijectivité
l’assertion qui caractérise le graphe d’une application peut se réécrire comme1 :
∀x ∈ E, ∃!y ∈ F | y = f (x)
Nous allons essayer de voir dans quels cas les rôles de F et E peuvent être échangés :
Pour y parvenir, il s’agit d’une part de vérifier la "taille" de l’ensemble d’arrivée. Si il est
suffisamment "petit" on a :
Définition 2.1 (surjectivité) Soit f : E −→ F , une application.
Lorsque tous les points de F , admettent au moins un antécédent par f , on dit que f est surjective :
f est surjective ⇐⇒ ∀y ∈ F, ∃x ∈ E | y = f (x)
Exemple: l’application partie entière R −→ Z est surjective.
En revanche l’application partie entière R −→ R ne l’est pas
♠
D’autre part on vérifie la "taille" de l’ensemble de départ. Si il est suffisamment "petit" on
a:
Définition 2.2 (injectivité) Soit f : E −→ F , une application.
Lorsque tous les points de F , admettent au plus un antécédent par f , on dit que f est injective :
ou encore si et seulement si
∀(x, x0 ) ∈ E 2
h
i
x 6= x0 ⇒ f (x) 6= f (x0 )
♠
1
2
cette expression n’a pas de sens si on ne pose pas au préalable f comme étant une application
à ne pas confondre avec les points de l’ensemble d’arrivée
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f est injective si et seulement si les points images2 admettent un unique antécédent
mais aussi si et seulement si
h
i
∀(x, x0 ) ∈ E 2
f (x) = f (x0 ) ⇒ x = x0
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Exemple: l’application valeur absolue R+ −→ R est injective.
En revanche la fonction valeur absolue R −→ R ne l’est pas.
En prenant la conjonction de ces deux propriétés, on en arrive à :
Définition 2.3 (bijectivité) Soit f : E −→ F , une application.
Lorsque tous les points de F admettent un unique antécédent par f , on dit que f est bijective :
f est bijective ⇐⇒ ∀y ∈ F, ∃!x ∈ E | y = f (x)
ce qui revient au même de dire que :
f est bijective si et seulement si f est à la fois injective et surjective.
♠
Exemple: l’application carrée R+ −→ R+ est bijective (voir Théorème de la bijection)
Exercice: le diagramme ci-dessous correspond-t’il à une application injective (resp. surjective,
resp. bijective) ?
Définition 2.4 (Application réciproque) A partir d’une fonction f = (E, F, Γf ) bijective,
on peut construire une fonction dite réciproque, notée f −1 , et dont le graphe est l’ensemble des
couples (y, x) ∈ F × E, où pour tout y élément de F , x est l’unique antécédent de y par f .
f −1 = (F, E, Γf −1 )
avec
n
o
Γf −1 = (y, x) ∈ F × E | (x, y) ∈ Γf
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♠
Exercice: vérifier qu’il s’agit bien d’une application, et montrer qu’alors f −1 est aussi bijective
et vérifie
³
´−1
f −1
=f
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Remarque 2.1 Une façon de caractériser la bijectivité d’une application f est de passer par son
application inverse, Ainsi :
f est bijective si et seulement si
Il existe une application g : F −→ E vérifiant
³
´
(∗)
∀(x, y) ∈ E × F
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y)
Et dans ce cas g est unique, c’est l’application réciproque f −1 .
En particulier (*) est une caractérisation de la fonction réciproque.
∗
Exemple: l’application réciproque de l’application carré R+ −→ R+ , est ce qu’on appelle
l’application racine carrée, elle est caractérisée par
³
√ ´
2
2
∀(x, y) ∈ (R+ )
y = x ⇐⇒ x = y
Proposition 2.1 Soit f : E −→ F , une application
Si f est bijective, son application réciproque est l’unique application g : F −→ E vérifiant
f ◦ g = IdF
et
g ◦ f = IdE
Réciproquement, s’il existe une telle application g, alors f est bijective et f −1 = g
♣
Exercice: Soient f : E → F et g : F → G deux applications.
a) Montrer que g ◦ f surjectif =⇒ g surjectif
b) Montrer que g ◦ f injectif =⇒ f injectif
Remarque 2.2 On ainsi trouvé trois façons différentes de caractériser (resp. calculer) la bijectivité (resp. l’application réciproque) d’un application donnée :
– Méthode Ensembliste : Définition 2.3
– Méthode Fonctionnelle : Remarque 2.1
– Méthode Algébrique : Proposition 2.1
Enfin on verra plus tard, avec le théorème de la bijection, une caractérisation particulièrement
simple pour les fonctions continues.
∗
Corollaire 2.2 Soient f : E −→ F et g : F −→ G deux applications bijectives, on a alors :
g ◦ f est bijective
(g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1
et
♣
Exemple: En posant
f : R+ −→ R+
x 7−→ x2
g : R+ −→ [1, +∞[
x 7−→ x + 1
et
g ◦ f : R+ −→ [1, +∞[
x 7−→ x2 + 1
(g ◦ f )−1 : [1, +∞[ −→ R
√+
x 7−→ x − 1
et
mais aussi
∀x ∈ [1, +∞[,
f −1 (g −1 (x)) =
√
x−1
Question: Que peut-on dire de la composée de deux injections (resp. surjections) ?
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On a alors
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Image Directe et Image Réciproque
Pour un ensemble E donné on note P(E) l’ensemble des parties de E
En particulier E ∈ P(E) et ∅ ∈ P(E)
3.1
Image Directe
Définition 3.1 (Image Directe) Soit A ∈ P(E) et f : E −→ F une application.
On appelle image directe de A par f l’ensemble :
{f (x) | x ∈ A} = {y ∈ F | ∃x ∈ A; y = f (x)}
c’est l’ensemble des images des points de A par f , on le note f (A) ou f < A >
Exemple: Si E désigne la fonction partie entière de R dans Z
♠
E([1/2, 4[) = {0, 1, 2, 3}
Remarque 3.1 La notation f (A) peut porter à confusion. En effet il ne s’agit pas de confondre
f (x) avec f ({x}), l’un est un point de F , l’autre est un sous-ensemble de F .
.
f ({x}) = {f (x)}
∗
Proposition 3.1 Soient f : E −→ F , g : F −→ G deux
On a :
Composition (g ◦ f )(A1 ) =
Croissance
A1 ⊂ A2
=⇒
Réunion
f (A1 ∪ A2 ) =
Intersection f (A1 ∩ A2 ) ⊂
applications et A1 ∈ P(E), A2 ∈ P(E).
g (f (A1 ))
f (A1 ) ⊂ f (A2 )
f (A1 ) ∪ f (A2 )
f (A1 ) ∩ f (A2 )
la dernière inclusion devenant une égalité uniquement lorsque f est injective
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Exercice: Le Prouver
Remarque 3.2 On a une caractérisation très simple de la surjectivité
.
f : E −→ F est surjective
si et seulement si
f (E) = F
∗
Définition 3.2 Soit f : E → E une application et X ⊂ E, on dit que :
X est stable par f lorsque f (X) ⊂ X
et
X est invariant par f lorsque f (X) = X
♠
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3.2
Image Réciproque
Définition 3.3 (Image Réciproque) Soit B ∈ P(F ) et f : E −→ F une application.
On appelle image réciproque de B par f l’ensemble :
{x ∈ E | f (x) ∈ B}
c’est l’ensemble des antécédents de A par f , on le note f −1 (B) ou f −1 < B >
Exemple: Si f désigne la fonction valeur absolue de R dans R
♠
f −1 ([−3, 2[) =] − 2, 2[
Remarque 3.3
La notation f −1 (B) n’a rien à voir avec l’existence ou non d’une fonction réciproque.
Cependant dans la cas où f est bijective f −1 (B) est aussi l’image directe de B par f −1 :
Si
f est bijective
Alors
f −1 (B) = (f −1 )(B)
∗
Proposition 3.2 Soient f : E −→ F , g : G −→ E deux applications et B1 ∈ P(F ), B2 ∈ P(F ).
On a :
¡
¢
Composition (f ◦ g)−1 (B1 ) = g −1 f −1 (B1 )
Croissance
B1 ⊂ B2
=⇒ f −1 (B1 ) ⊂ f −1 (B2 )
−1
Réunion
f (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 )
Intersection f −1 (B1 ∩ B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 )
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Exercice: Le Prouver