EX 1 : ( 2 points ) 1. Tracer dans le repère ci

♣ le 10-05-13
2nde. Évaluation 7 - Correction
E X 1 : ( 2 points )
y
6
1. Tracer dans le repère ci-contre,
les droites d’équations :
D1 : y = 3x + 2
D2 : 6x − 2y = −2
4
D3 : x = 3
D4 : y = −3
3
D1 passe par les points de coordonnées (0 ; 2) et (1 ; 5)
D3 passe par le point (3 ; 0) et D3 (Oy)
1
−4
3
−5
D4 passe par le point (0 ; −3) et D4 (Ox)
−4
−3
−1 0
−1
−2
(
6x − 2y = −2
S0 :
⇐⇒
y = −3
½µ
¶¾
−4
S=
; −3
3
E X 2 : ( 2 points )
(
6x − 2 × (−3) = −2
y = −3
3
5 x
4
D4
−3
⇐⇒
(
6x + 6 = −2
y = −3
⇐⇒
−4
(
6x = −8
(
⇐⇒
y = −3
x=
−8
6
=
−4
3
y = −3
Résoudre les systèmes :
S1 :
2x
3x
+ 3y
−
y
=
= −9
Je résous ce système par combinaison sur les lignes :
(
(
2x + 3y = 5 × (3)
2x + 3y = 5
3x − y = −9 × (3)
j’obtiens le système
équivalent :
(
2x + 3y = 5
3x − y = −9 × (−2)
j’obtiens le système
équivalent :
(
6x + 9y = 15
9x − 3y = −27
j’ajoute membre à membre :
−6x + 2y = 18
j’ajoute membre à membre :
= −22
S2 :
3x
−5x
−
6y
+ 10y
=
9
= −16
ab 0 − a 0 b = 3 × 10 − (−5) × (−6) = 0.
Le système S 2 n’admet pas une unique solution ;
il en admet soit aucune, soit une infinité.
Le système se réécrit aussi :



 y
=


 y
=
1
3
x−
2
2
5
1
x−
2
8
Ces deux droites sont parallèles et distinctes :
11y = 33
33
=3
11
n
o
le système S 1 admet une solution : S = (−2 ; 3)
−22
= −2
11
(
5
ab 0 − a 0 b = 2 × (−1) − 3 × 3 = −11 6= 0.
Le système S 1 admet donc une unique solution.
x=
2
Ce qui correspond bien, aux coordonnées du point d’intersection des droites D2 et D4
(
11x
1
−2
.
y = −3
Puis vérifier graphiquement cette résolution.
(
6x − 2y = −2
D3
D2
2
D2 passe par les points de coordonnées (0 ; 1) et (1 ; 4)
2. Résoudre le système S 0 :
D1
5
y=
le système S 2 n’admet aucune solution :
S=;
2nde. Évaluation 7 - Correction
d
E X 3 : ( 3 points )
La figure ci-contre schématise une piscine formée à partir
de deux disques tangents de rayon R.
La piscine est entourée d’une surface rectangulaire revêtue
de dalles dont les bords sont situés à une distance minimum d des bords de la piscine.
La surface rectangulaire dont on dispose a les dimensions
L = 10 m et l = 6 m.
Calculer d et R.
Les dimensions de l’ensemble imposent
les deux conditions :
(
2d + 4R = L = 10 (en longueur) L1
2d
+ 2R =
l =6
(en largeur)
d
d
d
R
R
R
d
R
l
d
L
L2
Pour ce système : ab 0 − a 0 b = 2 × 2 − 2 × 4 = −4 6= 0. Le système admet donc une unique solution.
Par combinaison L1 − L2 j’obtiens : 4R − 2R = 10 − 6 ⇐⇒ 2R = 4 ⇐⇒ R = 2
2d + 2 × 2 = 6 ⇐⇒ 2d = 6 − 4 ⇐⇒ d = 1
n
o
d = 1 m et R = 2 m.
le système admet une solution : S = (1 ; 2)
puis en utilisant L2 :
E X 4 : ( 3 points )
On considère la fonction f définie par
y
8
Cf
f (x) = x 2 + ax + b
7
où a et b sont des nombres réels
que l’on cherche à déterminer.
6
A
5
On souhaite que la courbe représentative C f de cette
fonction f , passe par les points A(−1 ; 6) et B(1 ; 2).
4
1. Déterminer les réels a et b et donner l’expression de
la fonction f vérifiant ces deux conditions.
3
2. Donner la forme canonique de f , puis justifier à l’aide
de vos connaissances, le sens de variation de f .
2
B
1
Le point A(−1 ; 6) appartient à C f , donc, f (−1) = 6,
soit (−1)2 + a(−1) + b = 1 − a + b = 6.
De même le point B(1 ; 2) appartient à C f , donc, f (1) = 2,
soit 12 + a × 1 + b = 1 + a + b = 2.
−4
−3
−2
O
−1
1
2
3
4 x
−1
En résumé, on a les deux équations :
(
1 −
a
1 +
a
+ b
= 6
+ b
= 2
(
⇐⇒
−a
+ b
= 5
a
+ b
= 1
Pour ce système, ab 0 − a 0 b = (−1) × 1 − 1 × 1 = −2 6= 0. Le système admet donc une unique solution.
La résolution du système donne a = −2 et b = 3.
En remplaçant les valeurs trouvées pour a et b dans l’expression de f (x), on trouve donc l’expression :
La forme canonique de f est : f (x) = (x − 1)2 + 2
La parabole de sommet B (1 ; 2) est tournée vers le haut car a > 0,
la fonction f est décroissante sur ]−∞ ; 1] et croissante sur [1 ; +∞[
f (x) = x 2 − 2x + 3