Systèmes d`équations linéaires, cours, première STG - MathsFG

Systèmes d'équations linéaires, cours, première STG
F.Gaudon
4 juin 2009
Table des matières
1 Généralités et interprétation graphique
2
2 Résolution par substitution
3
3 Résolution par combinaison
4
1
Systèmes d'équations linéaires, cours, première STG
1
Généralités et interprétation graphique
Dénition :
Résoudre le système d'équations :
ax + by = c
a0 x + b 0 y = c 0
où a, b, c, a0 , b0 et c0 sont des nombres réels consiste à trouver tous
les couples (x; y) de nombres réels qui vérient simultanément les deux
équations formant le système.
Théorème :
On considère le système (S) suivant :
ax + by = c
a0 x + b 0 y = c 0
où a, b, c, a0 , b0 et c0 sont des nombres réels avec (a; b) 6= (0; 0) et (a0 ; b0 ) 6=
(0; 0).
Les solutions du systèmes sont les couples de coordonnées des points
communs aux deux droites (D) et (D0 ) d'équations ax + by = c et a0 x +
b0 y = c0 respectivement dans un repère (O;~i; ~j).
• Si (D) et (D0 ) sont sécantes en un point I , le système admet pour
unique couple solution le couple de coordonnées (xI ; yI ) du point I .
• Si (D) et (D0 ) sont parallèles et distinctes, le système n'admet pas de
solution.
• Si (D) et (D0 ) sont parallèles et confondues, le système admet une
innité de couples solutions : tous les couples de coordonnées des points
de la droite.
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2
Systèmes d'équations linéaires, cours, première STG
Propriété :
Le système (S) suivant :
ax + by = c
a0 x + b 0 y = c 0
admet un unique couple solution si et seulement si ab0 − a0 b 6= 0.
Si a0 b − ab0 = 0, alors le système admet ou bien une innité de solutions,
ou bien aucune solution.
Preuve :
Dans le cas où b et b0 sont non nuls, le système est équivalent à y = −a
x + c et y = −a
+ c0 .
b
b0
Le système admet une unique solution si et seulement si les droites correspondantes sont sécantes
0
c'est à dire si et seulement si les coecients directeurs sont égaux sont égaux c'est à dire encore −a
= −a
b0
b
qui s'écrit encore a0 b − ab0 = 0.
2
0
Résolution par substitution
Exemple :
2x − y = 1 (1)
−x + 2y = 4 (2)
y = 2x − 1 on exprime y en fonction de x avec (1)
−x + 2y = 4
y = 2x − 1
−x + 2(2x − 1) = 4 on reporte l'expression de y dans la deuxième équation
On calcule x à l'aide de l'équation restante :
y = 2x − 1
−x + 4x − 2 = 4
y = 2x − 1
3x − 2 = 4
y = 2x − 1
3x = 6
y = 2x − 1
x = 2
On reporte la valeur de x trouvée pour trouver y :
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y =
x =
y
x
2×2−1
2
= 3
= 2
3
Systèmes d'équations linéaires, cours, première STG
On vérie ensuite que le couple trouvé convient bien :
2×2−3 = 1
−2 + 2 × 3 = 4
Le système admet une seule solution, le couple (2; 3).
3
Résolution par combinaison
Exemple :
2x + 3y = 5(a)
5x + 3y = 16 (b)
On multiplie les deux membres de (a) par -5 et les deux membres de (b) par 2 :
(−5) × 2x + (−5) × 3y
2 × 5x + 2 × 3y
−10x − 15y
10x + 6y
= (−5) × 5 (a) × 5
= 16 × 2 (b) × 2
= −25
= 32
On additionne membre à membre la première et la deuxième équation :
10x − 10x + 6y − 15y = −25 + 32
donc
−9y = 7
c'est à dire
y=−
7
9
On reporte ensuite dans l'une des équations d'origine :
7
2x + 3 × − = 5
9
donc
2x −
c'est à dire
21
=5
9
2x =
66
9
x=
33
9
x=
11
3
donc
ou
On vérie ensuite :
Le système admet une unique solution
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11
+
3
11
+
3
( 11
; − 97 )
3
2×
5×
3 × − 79 = 5
3 × − 79 = 16
.
4