TS DM 6 A rendre le mercredi 25/01/2017 Exercice 1 : Des sections de solides par des plans 1.On considère la pyramide ABCD. Les points I, J et K sont respectivement des points de(BCD), [AD] et (ABC) a) Construire la droite d intersection du plan (AJK) et du plan ( BCD) b) Justifier que les droites d et ( KJ) sont sécantes et construire leur point d'intersection L c) Tracer la section de la pyramide par le plan (IJK). La construction sera faite en laissant les traits apparents mais aucune justification n’est attendue. 2 .On considère le cube ABCDEFGH. Les points I, J et K sont respectivement des points de [EH], [EF] et [CG] Tracer la section du cube par le plan ( IJK) . La construction sera faite en laissant les traits apparents mais aucune justification n’est attendue. Exercice 2 : Une ville compte 10 000 habitants. A 8 h du matin, 100 personnes apprennent une nouvelle. On note f (t ) la fréquence des personnes connaissant la rumeur à l’instant t ( exprimé en heures ). On choisit 8 heures, comme instant initial t 0 . La nouvelle se répand dans la ville de sorte que la vitesse de propagation f '(t ) est proportionnelle à la fois à la fréquence de ceux qui connaissent la nouvelle et à la fréquence de ceux qui ne la connaissent pas. On admet que la fonction f vérifie la condition (1) : f '(t ) 1,15 f (t ) 1 f (t ) quel que soit t positif ou nul. 1. Expliquer pourquoi f (0) 0, 01 2. Montrer que la fonction f définie sur 0 ; par f (t ) 1 vérifie la condition (1) et la relation 1 99 e 1,15 t précédente. On admet que c’est la seule. 3. Etudier le sens de variation de f et déterminer sa limite en 4. Combien de personnes connaissent la nouvelle à midi ? On arrondira à l’entier . 5. Déterminer, par calcul, l’heure à laquelle au moins 99 % de la population connaîtra la rumeur Exercice 3 : Répondre par VRAI ou FAUX aux affirmations proposées, en justifiant vos réponses. 1. ln 4 ln 2 ln 2 2 2. Soit u la fonction définie sur 0 ; par u ( x) 1 x ln(2 x) L’équation u ( x) 0 admet une unique solution sur 0 ; 3. Soit (C) la courbe représentative de la fonction f définie sur 0 ; par f ( x) 1 x ln x La tangente à (C) au point d’abscisse 1 admet comme équation y x 1 n 1 est décroissante. n 4. La suite un définie pour tout entier n non nul par un 1 ln 5. Soit f la fonction définie sur [0; [ par f ( x) ln 1 x x x2 . 2 Pour tout x de 0 ; : f ( x) 0 6. lim x x2 3 ln x 2 3 Exercice 4 : Pour chercher plus . Facultatif 1. Etudier le sens de variation de la fonction f définie sur 0 ; par f ( x) 2. Comparer, pour n entier supérieur ou égal à 3, les nombres nn1 et (n 1)n ln x x .