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Développements limités
Notations du chapitre — Dans ce chapitre I est un intervalle de R.
II — DL usuels
I — Définition
Théorème 2.1 — Formule de Taylor-Young
Soit f une fonction de I dans R, de classe C n . Pour tout a et x dans I, il existe une
fonction ε telle que
Définition 1.1 — Développement limité
On dit que la fonction f admet un développement limité à l’ordre n au voisinage
de x 0 si et seulement si il existe une fonction polynôme P de degré au plus n telle
que, au voisinage de x 0 ,
n
f (x) = P(x) + o((x − x 0 ) )
Propriété 1.2 — Unicité du développement limité
Si la fonction f admet un développement limité à l’ordre n au voisinage de x 0 , alors
ce développement limité est unique.
Corollaire 1.3 — Si f admet pour DL n (0)
f (x) =
n
X
(x − a)k
k=0
k!
f (k) (a) +
(x − a)n
ε (x)
n!
avec ε (x) −−→ 0.
x→a
III — Opération sur les DL
Théorème 3.1 — Troncature
Si f admet un DL n (0)limité à l’ordre n de la forme a0 + a1 x + · · · + an x + o(x n ),
alors pour tout entier p ¶ n, f admet un DL p (x 0 ) de la forme a0 + a1 x + · · · +
a p x p + o(x p )
f (x) = P(x)+ o (x n )
et si f est paire (resp. impaire), alors P est également pair (resp. impaire).
Théorème 3.2 — Multiplication par un scalaire
Soit λ ∈ R. Si f admet pour DL n (0) f (x) = P(x)+ o (x n ) alors λ f admet comme
DL n (0)
λ f (x) = λ P(x)+ o (x n )
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Théorème 3.3 — Addition
Si f et g admettent pour DL n (0) f (x) = P(x)+ o (x n ) et g(x) = Q(x)+ o (x n )
alors f + g admet comme DL n (0)
f (x) + g(x) = P(x) + Q(x)+ o (x n )
Théorème 3.4 — Multiplication
Si f admet pour DL n (0) f (x) = P(x)+ o (x n ) et g admet un DL n (0)g(x) =
Q(x)+ o (x n ) alors f × g admet comme DL n (0)
f (x) × g(x) = P(x) × Q(x) + o (x n )
{z
}
|
tronqué à l’ordre n
Théorème 3.5 — Primitive
Si f admet pour DL n (0)
f (x) = a0 + a1 x + · · · + an x n + o (x n )
et si f admet une primitive F sur I alors F admet comme DL n+1 (0)(0)
F (x) = F (0) + a0 x +
an n+1
a1
x + ··· +
x
+ o (x n+1 )
2
n+1
Théorème 3.6 — Composition
Si f admet pour DL n (0) f (x) = P(x)+ o (x n ) et g admet un DL n (0)g(x) =
Q(x)+ o (x n ) alors g ◦ f admet comme DL n (0)
g( f (x)) =
Q(P(x))
| {z }
tronqué à l’ordre n
+ o (x n )
