limites - math et mac

Jean-Pierre Verbeque limites
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Calcul des limites
1. Après avoir vérifié que les limites suivantes ont un sens, démontrez que :
a)
lim
x→3 (1
3x+3) =4
; b)
lim
x→3 x2−9
x−3=6
; c)
lim
x→3 1
x−3= +∞
.
2. Etablissez le graphe cartésien de la fonction suivante. Calculez ensuite son éventuelle limite au
point 2 et justifiez votre réponse.
f : R →  R,x x+1 si x < 2
-x+ 2 si x ≥2
{
.
3. Pour chacun des exercices suivants, vérifiez si la limite a un sens, ensuite calculez-la :
a)
lim (4 −x2) (3+x)
(x +2) (x −3) (x2+2)
aux points –3, –2, 3, – ∞ et + ∞
b)
lim x2−4
x2−3x +2
en 1, 2, – ∞ et + ∞
c)
lim x3+1
x2+1
en 1, –1, – ∞ et + ∞
d)
lim
x→5
x2−5x+10
x2−25
e)
lim
x→−1 x2−1
x2+3x +2
f)
lim x3−3x +2
x4−4x +3
en 1, – ∞ et + ∞
g)
lim
x→a x2−(a +1)x +a
x3−a3
(où a est un réel fixé)
h)
lim
h→0 (x +h)3−x3
h
i)
lim
x→1 1
x−1−3 1−x3
4. Calculez :
a)
lim
x→3 x + 6 −3
x−3
b)
lim
x→3 2x + 3 −3
3−3x
c)
lim
x→1 x−1
x−1
d)
lim
x→2 x+2−3x −2
2x −2
e)
lim
x→0 1+x−1
1+x
3−1
f)
lim
x→64 x−8
x
3−4
g)
lim
x→1 x
3−1
x
4−1
h)
lim
x→1 x23 −2 x
3+1
(x −1)2
5. Pour chacune des fonctions du numéro 4, recherchez les limites en – ∞ et + ∞.

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6. Calculez les limites en – ∞ et + ∞ des fonctions suivantes :
a)
x2+3x −9−(x +2)
b)
x2−3x +7−x2+3x −7
c)
3x2−4x +1−2x2+3x −1
d)
x+2−x33
7. Calculez les limites en – ∞ et + ∞ des fonctions suivantes :
a)
x−x2+2x+3
2x −4x2+5x
b)
x − x
3
+ 2x + 3
3
2x − 8x
3
+ 5x
3
8. Calculez :
a)
lim
x→0
sin3x
x
b)
lim
x→0
sin3x
sin5x
c)
lim
x→1
sinx
x
d)
lim
x→±∞
sinx
x
e)
lim
x→1
sin3πx
sinπx
e)
lim
x→0
1−cosx
x2
f)
lim
x→a
sinx −sina
x−a
g)
lim
x→a
cosx −cosa
x−a
h)
lim
x→−2
tgπx
x+2
i)
lim
x→π
4
sinx −cosx
1−tgx
9. Calculez encore :
a)
x→π
lim 1−sin x
2
π− x
b)
lim
x→0 1+sinx −1−sinx
x
c)
lim
x→π
3
1−2cosx
π−3x
d)
lim
x→0 cosmx −cosnx
2
x
e)
lim
x→0 tgx −sinx
3
x
f)
lim
x→1 1−x2
sinπx
g)
lim
x→0 x−sin2x
x+sin3x
h)
lim
x→1 cosπx
2
1−x
Et voici à titre d’information :
• Les réponses de l’exercice n° 9 sont respectivement :
0 , 1 , −13 , (n2−m2)
2 , 1 2 , 2 π , −1 4 , π
.
• L’usage de l’excellent livre, dont les exercices du n° 9 sont extraits, vous est vivement
recommandé. Il s’agit du Recueil d’Exercices et de Problèmes d’Analyse Mathématique
par B. Démidovitch, publié aux Editions de Moscou.