Révisions : Suites 1 Limite d`une suite dans R

BCPST 2
Lycée Sainte Geneviève
Révisions : Suites
1
Limite d’une suite dans R
Définition 1. Soient (un ) une suite et ` ∈ R.
• cas ` ∈ R. lim un = ` si
n→+∞
∀ε > 0, ∃N ∈ N ; ∀n ∈ N , n ≥ N =⇒ |un − `| ≤ ε
• cas ` = +∞. lim
n→+∞
un = +∞ si
∀A > 0 , ∃N ∈ N ; ∀n ∈ N , n ≥ N =⇒ un ≥ A
• cas ` = −∞. lim
n→+∞
un = −∞ si
∀B < 0 , ∃N ∈ N ; ∀n ∈ N , n ≥ N =⇒ un ≤ B
Si la limite de (un ) existe alors elle est unique.
Définition 2. On dit qu’une suite converge si elle possède une limite finie sinon on dit qu’elle diverge.
Une suite divergente peut donc soit ne pas avoir de limite, soit avoir une limite infinie.
Théorème 1. Toute suite convergente est bornée.
Définition 3. (HP)
On appelle suite extraite d’une suite (un )n∈N toute suite de la forme (uϕ(n) )n∈N où ϕ est une application
strictement croissante de N dans N.
Théorème 2. des suites extraites
Soient (un ) une suite et ` ∈ R. Les assertions suivantes sont équivalentes
1.
2.
lim
un = `
lim
u2n = lim
n→+∞
n→+∞
n→+∞
u2n+1 = `
3. Toute suite extraite de (un ) converge vers `. (HP)
Remarque
La deuxième assertion peut être remplacée par
lim
n→+∞
uϕ(n) = lim
n→+∞
uψ(n) = ` où ϕ et ψ sont
deux applications de N dans N strictement croissantes et telles que ϕ(N) ∪ ψ(N) = N
Théorème 3. Composition avec une fonction
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Soient (`, L) ∈ R , I un intervalle de R contenant ` ou d’extrémité `, f : I → R une application et (un ) une
suite.
lim un = ` et lim f (x) = L =⇒ lim f (un ) = L
n→+∞
n→+∞
x→`
1
2
Limites et inégalités
Théorème 4. Limites et inégalités larges
Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles, (`, `0 , m, M ) ∈ R4 .
vn = `0 et si un ≤ vn a.p.c.r. alors ` ≤ `0 .
1. Si lim
un = ` et lim
2. Si lim
un = ` et si un ≤ M a.p.c.r. alors ` ≤ M .
3. Si lim
un = ` et si un ≥ m a.p.c.r. alors ` ≥ m.
n→+∞
n→+∞
n→+∞
n→+∞
Théorème 5. Limites et inégalités strictes
Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles, (`, `0 , m, M ) ∈ R4 .
1. Si lim
un = ` et si ` < M alors un < M a.p.c.r.
2. Si lim
un = ` et si ` > m alors un > m a.p.c.r.
n→+∞
n→+∞
Théorème 6. Soient (un ), (vn ), (wn ) trois suites réelles et ` ∈ R.
1. Théorème des gendarmes. Si un ≤ vn ≤ wn a.p.c.r. et si
converge et lim
n→+∞
un =
lim
n→+∞
wn = `, alors (vn )
vn = `.
2. Théorème de minoration. Si un ≤ vn a.p.c.r. et si lim
un = +∞, alors lim
vn = +∞.
3. Théorème de majoration. Si un ≤ vn a.p.c.r. et si lim
vn = −∞, alors lim
un = −∞.
n→+∞
n→+∞
Corollaire.
3
lim
n→+∞
Si (un ) est bornée et si lim
n→+∞
vn = 0 alors lim
n→+∞
n→+∞
n→+∞
un vn = 0.
Deux théorèmes importants
Théorème 7. Limite monotone.
Soit (un ) une suite réelle. Si (un ) est monotone, elle admet une limite.
Il y a deux cas :
1. Si (un ) est croissante.
• Soit (un ) est majorée et alors elle converge et lim
n→+∞
• Soit (un ) n’est pas majorée et lim
n→+∞
un = +∞.
2. Si (un ) est décroissante.
• Soit (un ) est minorée et alors elle converge et lim
n→+∞
• Soit (un ) n’est pas minorée et lim
n→+∞
un = sup{un , n ∈ N}.
un = inf{un , n ∈ N}.
un = −∞.
Définition 4. Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles. On dit qu’elles sont adjacentes si l’une est croissante,
l’autre décroissante et si lim un − vn = 0.
n→+∞
2
Théorème 8. des suites adjacentes.
Si (un ) et (vn ) sont deux suites adjacentes alors elles convergent vers la même limite `. De plus si par exemple
(un ) croît et (vn ) décroît alors ∀(m, n) ∈ N2 , un ≤ ` ≤ vm .
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Étude des suites définies par récurrence : un+1 = f (un )
Commencez par revoir les suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques. Les théorèmes suivants ne sont pas toujours nécessaires à l’étude d’une suite récurrente (notamment pour une suite « simple »).
Ils ne sont pas non plus explicitement à votre programme, il faut donc savoir refaire toutes ces démonstrations
au cas par cas.
Théorème 9. Existence.
Soient D ⊂ R (en général un intervalle) et f : R → R définie sur D et vérifiant f (D) ⊂ D.
Pour tout a ∈ D, il existe une unique suite (un )n∈N telle que u0 = a et, pour tout n ∈ N, un+1 = f (un ). De
plus (un ) prend toutes ses valeurs dans D.
Théorème 10. Monotonie.
Soit (un ) définie comme dans le théorème précédent.
• Si f est croissante alors (un ) est monotone. Son sens de variation dépend uniquement de la position de
u1 par rapport à u0 .
• Si f est décroissante alors (u2n ) et (u2n+1 ) sont monotones de sens contraires. Leur sens de variation
dépend de la position de u2 par rapport à u0 .
Théorème 11. Limite.
Soit toujours (un ) définie comme précédemment. Si (un ) converge vers un réel ` et si f est continue en ` alors
` est un point fixe de f , i.e. f (`) = `.
Théorème 12. Convergence exponentielle
Soit toujours (un ) définie comme précédemment. On suppose que f possède un point fixe ` dans D et que |f 0 |
est majorée sur D par un réel α ∈ [0, 1[.
Alors ∀n ∈ N, |un − `| ≤ αn |u0 − `|. On en déduit que (un ) converge vers ` et que la convergence est exponentiellement rapide.
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Comparaisons de suites
Revoir les notions de suites équivalentes, négligeables ainsi que les équivalents usuels.
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