Révisions : Suites 1 Limite d`une suite dans R

Lycée Sainte Geneviève BCPST 2
Révisions : Suites
1 Limite d’une suite dans R
Définition 1. Soient (un)une suite et `∈R.
•cas `∈R.lim
n→+∞un=`si
∀ε > 0,∃N∈N;∀n∈N, n ≥N=⇒ |un−`| ≤ ε
•cas `= +∞.lim
n→+∞un= +∞si
∀A > 0,∃N∈N;∀n∈N, n ≥N=⇒un≥A
•cas `=−∞.lim
n→+∞un=−∞ si
∀B < 0,∃N∈N;∀n∈N, n ≥N=⇒un≤B
Si la limite de (un)existe alors elle est unique.
Définition 2. On dit qu’une suite converge si elle possède une limite finie sinon on dit qu’elle diverge.
Une suite divergente peut donc soit ne pas avoir de limite, soit avoir une limite infinie.
Théorème 1. Toute suite convergente est bornée.
Définition 3. (HP)
On appelle suite extraite d’une suite (un)n∈Ntoute suite de la forme (uϕ(n))n∈Noù ϕest une application
strictement croissante de Ndans N.
Théorème 2. des suites extraites
Soient (un)une suite et `∈R. Les assertions suivantes sont équivalentes
1. lim
n→+∞un=`
2. lim
n→+∞u2n= lim n→+∞u2n+1 =`
3. Toute suite extraite de (un)converge vers `. (HP)
Remarque La deuxième assertion peut être remplacée par lim
n→+∞uϕ(n)= lim n→+∞uψ(n)=`où ϕet ψsont
deux applications de Ndans Nstrictement croissantes et telles que ϕ(N)∪ψ(N) = N
Théorème 3. Composition avec une fonction
Soient (`, L)∈R2,Iun intervalle de Rcontenant `ou d’extrémité `,f:I→Rune application et (un)une
suite.
lim
n→+∞un=`et lim
x→`f(x) = L=⇒lim
n→+∞f(un) = L
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2 Limites et inégalités
Théorème 4. Limites et inégalités larges
Soient (un)et (vn)deux suites réelles, (`, `0, m, M)∈R4.
1. Si lim
n→+∞un=`et lim n→+∞vn=`0et si un≤vna.p.c.r. alors `≤`0.
2. Si lim
n→+∞un=`et si un≤Ma.p.c.r. alors `≤M.
3. Si lim
n→+∞un=`et si un≥ma.p.c.r. alors `≥m.
Théorème 5. Limites et inégalités strictes
Soient (un)et (vn)deux suites réelles, (`, `0, m, M)∈R4.
1. Si lim
n→+∞un=`et si `<M alors un< M a.p.c.r.
2. Si lim
n→+∞un=`et si `>malors un> m a.p.c.r.
Théorème 6. Soient (un),(vn),(wn)trois suites réelles et `∈R.
1. Théorème des gendarmes. Si un≤vn≤wna.p.c.r. et si lim
n→+∞un= lim n→+∞wn=`, alors (vn)
converge et lim
n→+∞vn=`.
2. Théorème de minoration. Si un≤vna.p.c.r. et si lim
n→+∞un= +∞, alors lim n→+∞vn= +∞.
3. Théorème de majoration. Si un≤vna.p.c.r. et si lim
n→+∞vn=−∞, alors lim n→+∞un=−∞.
Corollaire. Si (un)est bornée et si lim
n→+∞vn= 0 alors lim n→+∞unvn= 0.
3 Deux théorèmes importants
Théorème 7. Limite monotone.
Soit (un)une suite réelle. Si (un)est monotone, elle admet une limite.
Il y a deux cas :
1. Si (un)est croissante.
•Soit (un)est majorée et alors elle converge et lim
n→+∞un= sup{un, n ∈N}.
•Soit (un)n’est pas majorée et lim
n→+∞un= +∞.
2. Si (un)est décroissante.
•Soit (un)est minorée et alors elle converge et lim
n→+∞un= inf{un, n ∈N}.
•Soit (un)n’est pas minorée et lim
n→+∞un=−∞.
Définition 4. Soient (un)et (vn)deux suites réelles. On dit qu’elles sont adjacentes si l’une est croissante,
l’autre décroissante et si lim
n→+∞un−vn= 0.
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Théorème 8. des suites adjacentes.
Si (un)et (vn)sont deux suites adjacentes alors elles convergent vers la même limite `. De plus si par exemple
(un)croît et (vn)décroît alors ∀(m, n)∈N2, un≤`≤vm.
4 Étude des suites définies par récurrence : un+1 =f(un)
Commencez par revoir les suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques. Les théorèmes sui-
vants ne sont pas toujours nécessaires à l’étude d’une suite récurrente (notamment pour une suite « simple »).
Ils ne sont pas non plus explicitement à votre programme, il faut donc savoir refaire toutes ces démonstrations
au cas par cas.
Théorème 9. Existence.
Soient D⊂R(en général un intervalle) et f:R→Rdéfinie sur Det vérifiant f(D)⊂D.
Pour tout a∈D, il existe une unique suite (un)n∈Ntelle que u0=aet, pour tout n∈N,un+1 =f(un). De
plus (un)prend toutes ses valeurs dans D.
Théorème 10. Monotonie.
Soit (un)définie comme dans le théorème précédent.
•Si fest croissante alors (un)est monotone. Son sens de variation dépend uniquement de la position de
u1par rapport à u0.
•Si fest décroissante alors (u2n)et (u2n+1)sont monotones de sens contraires. Leur sens de variation
dépend de la position de u2par rapport à u0.
Théorème 11. Limite.
Soit toujours (un)définie comme précédemment. Si (un)converge vers un réel `et si fest continue en `alors
`est un point fixe de f, i.e. f(`) = `.
Théorème 12. Convergence exponentielle
Soit toujours (un)définie comme précédemment. On suppose que fpossède un point fixe `dans Det que |f0|
est majorée sur Dpar un réel α∈[0,1[.
Alors ∀n∈N,|un−`| ≤ αn|u0−`|. On en déduit que (un)converge vers `et que la convergence est exponen-
tiellement rapide.
5 Comparaisons de suites
Revoir les notions de suites équivalentes, négligeables ainsi que les équivalents usuels.
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