Correction du devoir de Mathématiques commun aux terminales S

Année scolaire 2012-2013 10 octobre 2012 Terminales S (704/705/706)
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Correction du devoir de Mathématiques commun aux terminales S (n°1/2H)
Question de cours : ( 3 points)
1. Rappeler la définition de deux événements indépendants.
A et
B
sont indépendants si et seulement si ()()()
p
AB pApB
∩
=×.
2. Démontrer que si deux événements A et
B
sont indépendants alors il en est de même de A
et
B
, où
B
désigne l’événement contraire de
B
.
()()()
p
AB pA pAB∩= − ∩ (formule des probabilités totales) . Or A et
B
sont
indépendants donc ()()()
p
AB pApB∩= × . Il vient donc
( ) () ()() ()(1 ()) () ()
p
A B pA pApB pA pB pA pB∩= − = ×− = × , ce qu’il fallait démontrer .
Exercice 1 : ( 8 points)
Partie A : Soit g la fonction définie sur \ par 32 () 2 4 2 8gx x x x
=
++−.
1) Etudier les variations de g.
g est dérivable sur \car c’est une fonction polynôme. On a :
'( ) 6 ² 8 2 2(3 ² 4 1)gx x x x x=++= ++. Le signe de '( )gx sur \est donc le signe du trinôme
3² 4 1
x
x++. Les racines de ce trinôme étant égales à 1
−
et 1
3
−
, et le coefficient de [ ²]
x
(
3) étant positif, on peut affirmer que ce trinôme est positif sur 1
];1[];[
3
−
∞− ∪− +∞ et
négatif sur 1
]1; [
3
−− . Il s’ensuit que g est croissante sur ];1[
−
∞− et sur 1
];[
3
−+∞
et
décroissante sur 1
]1; [
3
−− . Le tableau de variations est donc :

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2) Calculer (1)g : (1) 0g=.
3) Déduire des deux premières questions le tableau de signes de g.
Sur ];1]−∞ − , g est strictement croissante et on a (1) 8g
−
=− . Donc sur ];1]−∞ − ,
() 8 0gx≤− < .
Sur 1
[1; ]
3
−− , g est strictement décroissante ; comme 1 224 ()
327
g−=− , 224 () [ ;8]
27
gx∈− −
et donc () 0gx<.
Sur 1
[;1[
3
−, g est strictement croissante et comme (1) 0g
=
, () 0gx< sur cet intervalle.
Sur ]1, [+∞ , g est strictement croissante et comme (1) 0g
=
, () 0gx> sur cet intervalle.
En résumé, si ],1[x∈−∞ , () 0gx
<
et si ]1; [x
∈
+∞ , () 0gx>.
Partie B : Soit
f
la fonction définie sur ];1[]1;[
−
∞− ∪− +∞ par
32
26
() 1
xx x
fx x
+−+
=+.
On note ()C la courbe représentative de
f
dans un repère.
1) Démontrer que pour tout 1x≠− , ()
'( ) (1)²
gx
fx x =
+
.
f
étant une fonction rationnelle, elle est
dérivable sur les intervalles constituant son domaine de définition, ici ];1[−∞ − et ]1; [
−
+∞ .
Sur ces deux intervalles, on peut calculer '( )
f
x.
32 3 3
(3²2 2)( 1)( 2 6)(1) 3 3²2²2 2 2 ²2 6
'( ) ( 1)² ( 1)²
xx x xxx xxxxx xxx
fx xx
+− +− +−+ + + +−−−−+−
==
++
3
24²28 ()
'( ) ( 1)² ( 1)²
x
xx gx
fx xx
++−
==
++
2) En déduire les variations de la fonction
f
. Le signe de '( )
f
x sur ses deux intervalles de
définition est donc le signe de ()gx vu que (1)²0x
+
>. Donc sur ];1[
−
∞− , '( ) 0fx< ( car
() 0gx<) et
f
sera décroissante. Sur 1
]1; [
3
−
−, '( ) 0fx
<
( car () 0gx<) et
f
sera
décroissante. Et sur 1
];[
3
−+∞
'( ) 0fx>( car () 0gx>) et
f
sera croissante.

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En résumé, on peut construire le tableau de variations suivant (sans les limites) :
3) Déterminer l’ équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse 0. Elle a donc pour
coefficient directeur '(0) 8f=− . Donc son équation est de la forme 8yxb=− + . Or le point
de contact a pour coordonnées ( 0;6 ) donc 6b
=
. En conclusion, (T) a pour équation
86yx=− + .
4) Etudier la position relative de ()C et de (
T) . Pour étudier la position relative de ()C et de
(
T) , il faut étudier le signe de la différence entre ()
f
x et 86yx
=
−+. Posons
3
3
²2 6(8 6)( 1)
() () (8 6) 11
9² ²( 9)
() 11
xx x x x
dx fx x xx
xxxx
dx
x
x
+− + −+ +
=−−+= −
++
++
==
++
Le signe de cette différence est donc celui du quotient 9
1
x
x
+
+
.

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Conclusion : ( C) est au-dessus de (T) sur ];9[
−
∞− et sur ]1; [
−
+∞ et ( C) est au dessous de (T)
sur ]9;1[−−.
Exercice 2 : (4 points)
Chez un fabriquant de calculatrices, une étude a montré que 2% des produits ont un défaut.
Un professeur a commandé 34 calculatrices pour ses élèves .
Les probabilités que ces calculatrices aient des défauts sont indépendantes.
On définit la variable aléatoire X donnant le nombre de calculatrices défectueuses.
1. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
On choisit au hasard une calculatrice et on appelle S le succès : « la calculatrice a un défaut »
On a une épreuve de Bernoulli.
(
)
0.02 PS p ==
On répète 34 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes . X est la variable aléatoire qui
associe à cette répétition le nombre de calculatrices défectueuses. X suit une loi binomiale dont les
paramètres sont 34 et 0.02
np ==
On note :
(
)
34;0.02 B .
2. a. Déterminer la probabilité qu’aucune calculatrice ne soit défectueuse.
On cherche :
()
034
34
0 0.02 0.98 0.503
0
PX
⎛⎞
== × ×
⎜⎟
⎝⎠
La probabilité qu’aucune calculatrice ne soit défectueuse est 0,503 environ.
b. En déduire la probabilité qu’au moins une calculatrice soit défectueuse. On cherche :
() () ( )
034
34
1 1 1 1 0 1 0.02 0.98 0.497
0
PX PX PX
⎛⎞
≥=− <=− = =− × ×
⎜⎟
⎝⎠
La probabilité qu’au moins une calculatrice soit défectueuse est 0,497 environ.
c. Déterminer la probabilité qu’au moins deux calculatrices soient défectueuses. On pourra
introduire l’événement contraire…
(
)
(
)
(
)
()( )()
() ()
034 133
21 21 1
34 34
1 0 1 0.02 0.98 0.02 0.98 0.852
01
Ainsi ; 2 1 1 0.148
PX PX PX
PX PX PX
PX PX
≥=− <=− ≤
⎛⎞ ⎛⎞
≤= = + == × × + × ×
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
≥=− ≤
La probabilité qu’au moins deux calculatrices soient défectueuses est 0.148 environ.
3. Calculer l’espérance de cette loi.
On ait que
(
)
34 0.02 0.68 EX n p =×= × =
Exercice 3 : (5 points)
Dans une entreprise, une étude statistique a montré que le pourcentage de pièces défectueuses
fabriquées est égal à 2%. Pour éliminer les pièces défectueuses, un test de qualité st mis en place
dont les résultats sont les suivants :
- le test élimine 98% des pièces défectueuses.
- Le test élimine 0.5% des pièces non défectueuses.
On tire au hasard une pièce et après on effectue le processus de test.
On note respectivement D et T les événements : « La pièce est tirée défectueuse » et « le test
élimine la pièce ».
1. Construire un arbre représentant la situation décrite ci-dessus. Vous y placerez notamment
toutes les hypothèses que vous avez obtenu de la lecture attentive de l’énoncé !

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Le texte nous dit :
(
)
(
)
(
)
0.02 0.98 0.005
DD
PD P T P T ===
2. Démontrer que la probabilité qu’une pièce soit éliminée à tort est égale à 0.0049.
On doit calculer :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 0.98 0.005 0.0049
DD
PD T PD P T PD P T =× =− × =× =∩
3. Démontrer que la probabilité qu’une pièce soit éliminée est égale à 0.0245
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()
()
() () ()
()
donc
Les événements et sont incompatibles, ainsi
0.02 0.98 0.0049 0.0245
D
T
TD TD PT PTD TD PTDPTD
TD TD
PT P D P T PT D
=∩∪∩ = ∩∪∩ = ∩+ ∩
∩∩
=× +∩=×+ =
4. Sachant qu’une pièce n’est pas éliminée, calculer la probabilité qu’elle soit défectueuse et
donner l’arrondi du résultat à 4
10
−
près.
On demande de calculer
()
(
)
() (
)
()
()
()
()
() ()
()
0.0004 0.0004 car
1 0.0245
1
1 0.02 0.02 0.0004
T
DD
PT D PT D
PD PT PT
PT D P D P T P D P T
∩∩
===
−
−
∩= × = ×− =×=