Correction du devoir de Mathématiques commun aux terminales S

Année scolaire 2012-2013
10 octobre 2012
Terminales S (704/705/706)
Correction du devoir de Mathématiques commun aux terminales S (n°1/2H)
Question de cours : ( 3 points)
1.
Rappeler la définition de deux événements indépendants.
A et B sont indépendants si et seulement si p( A ∩ B ) = p( A) × p( B) .
2. Démontrer que si deux événements A et B sont indépendants alors il en est de même de A
et B , où B désigne l’événement contraire de B .
p( A ∩ B ) = p ( A) − p( A ∩ B) (formule des probabilités totales) . Or A et B sont
indépendants donc p ( A ∩ B ) = p ( A) × p ( B ) . Il vient donc
p ( A ∩ B) = p ( A) − p ( A) p( B) = p( A) × (1 − p( B)) = p( A) × p( B) , ce qu’il fallait démontrer .
Exercice 1 : ( 8 points)
3
2
Partie A : Soit g la fonction définie sur \ par g ( x ) = 2 x + 4 x + 2 x − 8 .
1) Etudier les variations de g .
g est dérivable sur \ car c’est une fonction polynôme. On a :
g '( x) = 6 x ² + 8 x + 2 = 2(3 x ² + 4 x + 1) . Le signe de g '( x) sur \ est donc le signe du trinôme
1
3 x ² + 4 x + 1 . Les racines de ce trinôme étant égales à −1 et − , et le coefficient de [ x ²] (
3
3) étant positif, on peut affirmer que ce trinôme est positif sur ] − ∞; −1[∪] −
1
3
1
; +∞[ et
3
négatif sur ] − 1; − [ . Il s’ensuit que g est croissante sur ] − ∞; −1[ et sur ] −
1
3
décroissante sur ] − 1; − [ . Le tableau de variations est donc :
Correction du DS n°1 (2H)
Page 1/5
1
; +∞[ et
3
Année scolaire 2012-2013
2) Calculer g (1) :
10 octobre 2012
Terminales S (704/705/706)
g (1) = 0 .
3) Déduire des deux premières questions le tableau de signes de g .
Sur ] − ∞; −1] , g est strictement croissante et on a g ( −1) = −8 . Donc sur ] − ∞; −1] ,
g ( x) ≤ −8 < 0 .
1
3
1
3
Sur [−1; − ] , g est strictement décroissante ; comme g ( − ) = −
224
224
, g ( x) ∈ [−
; −8]
27
27
et donc g ( x ) < 0 .
1
3
Sur [− ;1[ , g est strictement croissante et comme g (1) = 0 , g ( x ) < 0 sur cet intervalle.
Sur ]1, +∞[ , g est strictement croissante et comme g (1) = 0 , g ( x ) > 0 sur cet intervalle.
En résumé, si x ∈] − ∞,1[ , g ( x ) < 0 et si x ∈]1; +∞[ , g ( x ) > 0 .
Partie B : Soit f la fonction définie sur ] − ∞; −1[∪] − 1; +∞[ par f ( x ) =
x3 + x 2 − 2 x + 6
.
x +1
On note (C ) la courbe représentative de f dans un repère.
1) Démontrer que pour tout x ≠ −1 , f '( x ) =
g ( x)
. f étant une fonction rationnelle, elle est
( x + 1)²
dérivable sur les intervalles constituant son domaine de définition, ici ] − ∞; −1[ et ] − 1; +∞[ .
Sur ces deux intervalles, on peut calculer f '( x ) .
f '( x) =
(3 x ² + 2 x − 2)( x + 1) − ( x3 + x 2 − 2 x + 6)(1) 3 x3 + 3 x ² + 2 x ² + 2 x − 2 x − 2 − x3 − x ² + 2 x − 6
=
( x + 1)²
( x + 1)²
f '( x) =
2 x3 + 4 x ² + 2 x − 8
g ( x)
=
( x + 1)²
( x + 1)²
2) En déduire les variations de la fonction f . Le signe de f '( x ) sur ses deux intervalles de
définition est donc le signe de g ( x ) vu que ( x + 1)² > 0 . Donc sur ] − ∞; −1[ , f '( x ) < 0 ( car
1
g ( x) < 0 ) et f sera décroissante. Sur ] − 1; − [ , f '( x) < 0 ( car g ( x) < 0 ) et f sera
3
décroissante. Et sur ] −
Correction du DS n°1 (2H)
1
; +∞[ f '( x) > 0 ( car g ( x) > 0 ) et f sera croissante.
3
Page 2/5
Année scolaire 2012-2013
10 octobre 2012
Terminales S (704/705/706)
En résumé, on peut construire le tableau de variations suivant (sans les limites) :
3) Déterminer l’ équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse 0. Elle a donc pour
coefficient directeur f '(0) = −8 . Donc son équation est de la forme y = −8 x + b . Or le point
de contact a pour coordonnées ( 0;6 ) donc b = 6 . En conclusion, (T) a pour équation
y = −8 x + 6 .
4) Etudier la position relative de (C ) et de (T). Pour étudier la position relative de (C ) et de
(T), il faut étudier le signe de la différence entre f ( x ) et y = −8 x + 6 . Posons
x 3 + x ² − 2 x + 6 (−8 x + 6)( x + 1)
−
x +1
x +1
3
x + 9 x ² x ²( x + 9)
=
d ( x) =
x +1
x +1
d ( x) = f ( x) − (−8 x + 6) =
Le signe de cette différence est donc celui du quotient
x+9
.
x +1
Correction du DS n°1 (2H)
Page 3/5
Année scolaire 2012-2013
10 octobre 2012
Terminales S (704/705/706)
Conclusion : ( C) est au-dessus de (T) sur ] − ∞; −9[ et sur ] − 1; +∞[ et ( C) est au dessous de (T)
sur ] − 9; −1[ .
Exercice 2 : (4 points)
Chez un fabriquant de calculatrices, une étude a montré que 2% des produits ont un défaut.
Un professeur a commandé 34 calculatrices pour ses élèves .
Les probabilités que ces calculatrices aient des défauts sont indépendantes.
On définit la variable aléatoire X donnant le nombre de calculatrices défectueuses.
1. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
On choisit au hasard une calculatrice et on appelle S le succès : « la calculatrice a un défaut »
On a une épreuve de Bernoulli. P S = p = 0.02
( )
On répète 34 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes . X est la variable aléatoire qui
associe à cette répétition le nombre de calculatrices défectueuses. X suit une loi binomiale dont les
paramètres sont n = 34 et p = 0.02
(
)
On note : B 34;0.02 .
2. a. Déterminer la probabilité qu’aucune calculatrice ne soit défectueuse.
⎛ 34 ⎞
0
34
On cherche : P X = 0 = ⎜ ⎟ × 0.02 × 0.98
0.503
⎝ 0⎠
La probabilité qu’aucune calculatrice ne soit défectueuse est 0,503 environ.
b. En déduire la probabilité qu’au moins une calculatrice soit défectueuse. On cherche :
⎛ 34 ⎞
0
34
0.497
P X ≥ 1 = 1 − P X < 1 = 1 − P X = 0 = 1 − ⎜ ⎟ × 0.02 × 0.98
⎝ 0⎠
La probabilité qu’au moins une calculatrice soit défectueuse est 0,497 environ.
c. Déterminer la probabilité qu’au moins deux calculatrices soient défectueuses. On pourra
introduire l’événement contraire…
P X ≥2 =1−P X <2 =1−P X ≤1
(
(
(
)
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
⎛ 34 ⎞
⎛ 34 ⎞
0
34
1
33
⎟ × 0.02 × 0.98 + ⎜ ⎟ × 0.02 × 0.98
0
1
⎝ ⎠
⎝ ⎠
0.148
P ( X ≤ 1) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1) = ⎜
Ainsi ;
P ( X ≥ 2) = 1 − P ( X ≤ 1 )
0.852
La probabilité qu’au moins deux calculatrices soient défectueuses est 0.148 environ.
3. Calculer l’espérance de cette loi.
( )
On ait que E X = n × p = 34 × 0.02 = 0.68
Exercice 3 : (5 points)
Dans une entreprise, une étude statistique a montré que le pourcentage de pièces défectueuses
fabriquées est égal à 2%. Pour éliminer les pièces défectueuses, un test de qualité st mis en place
dont les résultats sont les suivants :
- le test élimine 98% des pièces défectueuses.
- Le test élimine 0.5% des pièces non défectueuses.
On tire au hasard une pièce et après on effectue le processus de test.
On note respectivement D et T les événements : « La pièce est tirée défectueuse » et « le test
élimine la pièce ».
1. Construire un arbre représentant la situation décrite ci-dessus. Vous y placerez notamment
toutes les hypothèses que vous avez obtenu de la lecture attentive de l’énoncé !
Correction du DS n°1 (2H)
Page 4/5
Année scolaire 2012-2013
10 octobre 2012
( )
PD (T ) = 0.98
Le texte nous dit : P D = 0.02
2.
Terminales S (704/705/706)
PD (T ) = 0.005
Démontrer que la probabilité qu’une pièce soit éliminée à tort est égale à 0.0049.
(
)
( )
( ) (
( ) ) × PD (T ) = 0.98 × 0.005 = 0.0049
On doit calculer : P D ∩T = P D × PD T = 1 − P D
3. Démontrer que la probabilité qu’une pièce soit éliminée est égale à 0.0245
(
T = (T ∩ D ) ∪ T ∩ D
)
( )
((
) (
donc P T = P T ∩ D ∪ T ∩ D
)) = P (T ∩ D ) + P (T ∩ D )
(
) et (T ∩ D ) sont incompatibles, ainsi
P (T ) = P (D ) × PD (T ) + P (T ∩ D ) = 0.02 × 0.98 + 0.0049 = 0.0245
Les événements T ∩ D
4. Sachant qu’une pièce n’est pas éliminée, calculer la probabilité qu’elle soit défectueuse et
donner l’arrondi du résultat à 10
On demande de calculer
P T ∩D
) = P (T
près.
) = 0.0004 0.0004 car
1 − 0.0245
1 − P (T )
P (T )
P (T ∩ D ) = P (D ) × PD (T ) = P (D ) × (1 − PD (T ) ) = 0.02 × 0.02 = 0.0004
PT (D ) =
(
−4
Correction du DS n°1 (2H)
∩D
Page 5/5