EVN THEOREMES FONDAMENTAUX 10.1 Complétude, compacité

Chapitre 10
EVN THEOREMES FONDAMENTAUX
Soit (E, k.k) un evn.
10.1
10.1.1
Complétude, compacité
Complétude
Définition 1 Une suite (xn )n∈N d’éléments de E est appelée suite de Cauchy si
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀(p, q) ∈ N2 (p ≥ N et q ≥ N ) ⇒ kup − uq k ≤ ε
Proposition 2 Toute suite convergente est de Cauchy.
Définition 3 1) Une partie A de E est dite complète si toute suite de Cauchy d’éléments de A converge vers
un élément de A.
2) E est dit de Banach si E est complet.
3) Un espace préhilbertien complet est dit de Hilbert.
Théorème 4 R est un espace de Banach.
Théorème 5 Tout produit d’espaces complets est complet.
Exemple 6 1) pour tout entier n, Kn muni de la norme infinie est un espace de Banach,
2) L’ensemble (B(X, E), k.k∞ ) des applications bornées d’un ensemble X dans un espace de Banach E muni de
la norme infinie est un espace de Banach,
3) (l1 (N, K), k.k1 ), (l2 (N, K), k.k2 ), (l∞ (N, K), k.k∞ ), (C0 (N, K), k.k∞ ) sont des espaces de Banach,
4) L’ensemble (C([a, b], K), k.k1 ) n’est pas un espace de Banach,
5) L’ensemble (C([a, b], K), k.k2 ) n’est pas un espace de Banach,
6) L’ensemble (C([a, b], K), k.k∞ ) est un espace de Banach.
Proposition 7 Les parties complètes d’un espace E de Banach sont les parties fermées, c’est à dire si A ⊂ E
on a :
A complète ⇔ A fermée
Théorème 8 Si F est un espace de Banach alors LC(E, F ) est un espace de Banach .
En particulier le dual topologique LC(E, K) est un espace de Banach.
10.1.2
Compacité
Définition 9 Une partie A de E est compacte si toute suite de points de A admet une valeur d’adhérence
dans A.
Théorème 10 L’image par une application continue d’un compact est un compact.
Définition 11 Une application d’une partie A de E vers F est dite uniformément continue sur A si
∀ε > 0, ∃α > 0, ∀(x, y) ∈ A2 , kx − yk ≤ α ⇒ kf (x) − f (y)k ≤ ε
Exemple 12 Toute application
√ lipschitzienne sur A est uniformément continue sur A,
la réciproque est fausse (x → x sur [0, 1]).
Théorème 13 Toute application continue sur une partie compacte est uniformément continue sur
ce compact.
Proposition 14 Toute partie compacte est fermée bornée.
Proposition 15 Toute partie fermée d’une partie compacte est compacte.
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Proposition 16 Si A est une partie compacte de E et B une partie compacte de F alors A × B est une partie
compacte de E × F muni de la norme produit.
Théorème 17 de Bolzano-Weierstrass :
De toute suite bornée d’éléments de R ou C, on peut extraire une suite convergente .
Théorème 18 Dans Kn avec n ≥ 1 muni de la norme infinie, les parties compactes sont les parties
fermées bornées.
Théorème 19 Toute application continue sur un compact à valeurs dans R est bornée et atteint ses
bornes.
Exemple 20
1. Soient A et B deux parties compactes ,
la distance de A à B est atteinte, c’est à dire ∃(a, b) ∈ A × B tel que d(A, B) = d(a, b)
2. Soit A une partie compacte, le diamètre est atteint, c’est à dire ∃(a, b) ∈ A2 tel que diam(A) = d(a, b)
3. Si f ∈ C([a, +∞[, R) avec lim∞ f = +∞ , alors f est minorée et atteint sa borne inférieure.
4. théorème de d’Alembert : tout polynôme de C[X] de degré supérieur ou égal à un a au moins une racine.
10.2
10.2.1
Espaces vectoriels normés de dimension finie
Topologie
Théorème 21 Dans un espace vectoriel normé de dimension finie toutes les normes sont équivalentes.
Théorème 22 Soient N et N 0 deux normes sur E.
1) les parties bornées pour N et N 0 sont les mêmes,
2) les voisinages d’un point x de E pour N et N 0 sont les mêmes,
2) les parties ouvertes pour N et N 0 sont les mêmes,
3) les parties fermées pour N et N 0 sont les mêmes.
4)Les notions d’applications lipschitziennes, de limites, de continuité, de continuité uniforme d’une application,
de convergence de suites, de parties compactes, de suites de Cauchy, de parties complètes dans les evn de
dimensions finies ne dépendent pas de la norme.
Théorème 23 Si E est un espace vectoriel de dimension finie, toute application linéaire de E dans
F est continue.
Théorème 24 Tout evn E de dimension finie est un espace de Banach et,
les parties complètes de E sont les parties fermées.
Proposition 25 Pour qu’une suite d’éléments de E converge, il faut et il suffit que ses coordonnées dans une
base de E convergent, les coordonnées de la limite sont alors les limites des coordonnées.
Théorème 26 de Bolzano-Weierstrass :
Dans un evn de dimension finie, les parties compactes sont les parties fermées bornées.
De toute suite bornée, on peut extraire une suite convergente.
Proposition 27 La partie constituée des éléments d’une suite convergente et de sa limite est compacte.
10.2.2
Connexité par arcs
Théorème 28 des valeurs intermédiaires :
Si I est un intervalle de R et si f ∈ C(I, R) alors f (I) est un intervalle de R.
Corollaire 29 Si K est un segment de R et si f ∈ C(K, R) alors f (K) est un segment de R.
Définition 30 Soit E un evn de dimension finie. On appelle arc ou chemin continu toute application γ
continue d’un segment [a, b] de R non réduit à un point vers E. On appelle support l’ensemble γ([a, b]), on
appelle origine x = γ(a) et extrémité x0 = γ(b), on dit alors que γ relie x à x0 .
Une partie A de E est dite connexe par arcs si pour tout (x, x0 ) de A2 , il existe un arc reliant x à x0 .
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Théorème 31 Les parties connexes par arcs de R sont les intervalles.
Exemple 32 GLn (C) est connexe par arcs.
Théorème 33 L’image continue d’un connexe par arcs est connexe par arcs.
Théorème 34 des valeurs intermédiaires :
Soit f une application continue d’une partie A de E vers R.
Si A est connexe par arcs alors f (A) est un intervalle.
Corollaire 35 Le cercle S = {eit | t ∈ R} n’est pas homéomorphe à R.
Définition 36 Une partie A de E est dite convexe si ∀(x, x0 ) ∈ A2 , ∀t ∈ [0, 1], tx + (1 − t)x0 ∈ A
Théorème 37 Toute partie convexe est connexe par arcs.
10.3
Séries d’un espace de Banach
Dans toute la suite on suppose que E est un espace de Banach.
Définition 38 Soit (un ) une suite d’éléments de E.
On appelle série de terme général un , la suite (Sn ) définie par
Sn =
n
X
uk
k=0
P
On la note
uk . P
On dit que la série
uk converge
P∞si la suite (Sn ) converge,
P∞
dans ce cas la limitePl est notée k=0 uk , on définit alors le reste d’ordre n, Rn = l − Sn = k=n+1 uk
On dit que la série
uk diverge si la suite (Sn ) diverge.
P
Proposition 39 Une série
uk d’un Banach est convergente si et seulement si :
q
X
∀ε > 0, ∃N > 0, ∀p > N, ∀q > N, uk ≤ε
k=p+1 P
P
Définition 40 On dit que la série
uk est absolument convergente si la série numérique
kun k est convergente.
P
Théorème 41 Toute série
uk absolument convergente d’un Banach est convergente et on a :
∞
∞
X X
kun k
un ≤
n=0
n=0
Remarque 42 La réciproque est vraie, c’est à dire si toute série absolument convergente est convergente alors
l’espace est de Banach.
10.3.1
Série dans une algèbre de Banach
Dans toute la suite A désigne une algèbre de Banach muni d’une norme d’algèbre.
Proposition 43 Si a ∈ A et si kak < 1 alors la série géométrique
X
an
n
est absolument convergente et sa somme est l’inverse de (1A − a).
Proposition 44 Si a ∈ A alors la série exponentielle :
X 1
n
n!
an
est absolument convergente et sa somme est appelée exponentielle de a et est notée exp(a).
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