EVN THEOREMES FONDAMENTAUX 10.1 Complétude, compacité

Chapitre 10
EVN THEOREMES FONDAMENTAUX
Soit (E, k.k)un evn.
10.1 Complétude, compacité
10.1.1 Complétude
Définition 1 Une suite (xn)n∈Nd’éléments de Eest appelée suite de Cauchy si
∀ε > 0,∃N∈N,∀(p, q)∈N2(p≥N et q ≥N)⇒ kup−uqk ≤ ε
Proposition 2 Toute suite convergente est de Cauchy.
Définition 3 1) Une partie Ade Eest dite complète si toute suite de Cauchy d’éléments de Aconverge vers
un élément de A.
2) Eest dit de Banach si Eest complet.
3) Un espace préhilbertien complet est dit de Hilbert.
Théorème 4 Rest un espace de Banach.
Théorème 5 Tout produit d’espaces complets est complet.
Exemple 6 1) pour tout entier n,Knmuni de la norme infinie est un espace de Banach,
2) L’ensemble (B(X, E),k.k∞)des applications bornées d’un ensemble Xdans un espace de Banach Emuni de
la norme infinie est un espace de Banach,
3) (l1(N,K),k.k1),(l2(N,K),k.k2),(l∞(N,K),k.k∞),(C0(N,K),k.k∞)sont des espaces de Banach,
4) L’ensemble (C([a, b],K),k.k1)n’est pas un espace de Banach,
5) L’ensemble (C([a, b],K),k.k2)n’est pas un espace de Banach,
6) L’ensemble (C([a, b],K),k.k∞)est un espace de Banach.
Proposition 7 Les parties complètes d’un espace Ede Banach sont les parties fermées, c’est à dire si A⊂E
on a :
Acomplète ⇔Afermée
Théorème 8 Si Fest un espace de Banach alors LC(E, F )est un espace de Banach .
En particulier le dual topologique LC(E, K)est un espace de Banach.
10.1.2 Compacité
Définition 9 Une partie Ade Eest compacte si toute suite de points de Aadmet une valeur d’adhérence
dans A.
Théorème 10 L’image par une application continue d’un compact est un compact.
Définition 11 Une application d’une partie Ade Evers Fest dite uniformément continue sur Asi
∀ε > 0,∃α > 0,∀(x, y)∈A2,kx−yk ≤ α⇒ kf(x)−f(y)k ≤ ε
Exemple 12 Toute application lipschitzienne sur Aest uniformément continue sur A,
la réciproque est fausse (x→√xsur [0,1]).
Théorème 13 Toute application continue sur une partie compacte est uniformément continue sur
ce compact.
Proposition 14 Toute partie compacte est fermée bornée.
Proposition 15 Toute partie fermée d’une partie compacte est compacte.
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Proposition 16 Si Aest une partie compacte de Eet Bune partie compacte de Falors A×Best une partie
compacte de E×Fmuni de la norme produit.
Théorème 17 de Bolzano-Weierstrass :
De toute suite bornée d’éléments de Rou C, on peut extraire une suite convergente .
Théorème 18 Dans Knavec n≥1muni de la norme infinie, les parties compactes sont les parties
fermées bornées.
Théorème 19 Toute application continue sur un compact à valeurs dans Rest bornée et atteint ses
bornes.
Exemple 20 1. Soient Aet Bdeux parties compactes ,
la distance de AàBest atteinte, c’est à dire ∃(a, b)∈A×Btel que d(A, B) = d(a, b)
2. Soit Aune partie compacte, le diamètre est atteint, c’est à dire ∃(a, b)∈A2tel que diam(A) = d(a, b)
3. Si f∈ C([a, +∞[,R)avec lim∞f= +∞, alors fest minorée et atteint sa borne inférieure.
4. théorème de d’Alembert : tout polynôme de C[X]de degré supérieur ou égal à un a au moins une racine.
10.2 Espaces vectoriels normés de dimension finie
10.2.1 Topologie
Théorème 21 Dans un espace vectoriel normé de dimension finie toutes les normes sont équivalentes.
Théorème 22 Soient Net N0deux normes sur E.
1) les parties bornées pour Net N0sont les mêmes,
2) les voisinages d’un point xde Epour Net N0sont les mêmes,
2) les parties ouvertes pour Net N0sont les mêmes,
3) les parties fermées pour Net N0sont les mêmes.
4)Les notions d’applications lipschitziennes, de limites, de continuité, de continuité uniforme d’une application,
de convergence de suites, de parties compactes, de suites de Cauchy, de parties complètes dans les evn de
dimensions finies ne dépendent pas de la norme.
Théorème 23 Si Eest un espace vectoriel de dimension finie, toute application linéaire de Edans
Fest continue.
Théorème 24 Tout evn Ede dimension finie est un espace de Banach et,
les parties complètes de Esont les parties fermées.
Proposition 25 Pour qu’une suite d’éléments de Econverge, il faut et il suffit que ses coordonnées dans une
base de Econvergent, les coordonnées de la limite sont alors les limites des coordonnées.
Théorème 26 de Bolzano-Weierstrass :
Dans un evn de dimension finie, les parties compactes sont les parties fermées bornées.
De toute suite bornée, on peut extraire une suite convergente.
Proposition 27 La partie constituée des éléments d’une suite convergente et de sa limite est compacte.
10.2.2 Connexité par arcs
Théorème 28 des valeurs intermédiaires :
Si Iest un intervalle de Ret si f∈ C(I, R)alors f(I)est un intervalle de R.
Corollaire 29 Si Kest un segment de Ret si f∈ C(K, R)alors f(K)est un segment de R.
Définition 30 Soit Eun evn de dimension finie. On appelle arc ou chemin continu toute application γ
continue d’un segment [a, b]de Rnon réduit à un point vers E. On appelle support l’ensemble γ([a, b]), on
appelle origine x=γ(a)et extrémité x0=γ(b), on dit alors que γrelie xàx0.
Une partie Ade Eest dite connexe par arcs si pour tout (x, x0)de A2,il existe un arc reliant xàx0.
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Théorème 31 Les parties connexes par arcs de Rsont les intervalles.
Exemple 32 GLn(C)est connexe par arcs.
Théorème 33 L’image continue d’un connexe par arcs est connexe par arcs.
Théorème 34 des valeurs intermédiaires :
Soit fune application continue d’une partie Ade Evers R.
Si Aest connexe par arcs alors f(A)est un intervalle.
Corollaire 35 Le cercle S={eit |t∈R}n’est pas homéomorphe à R.
Définition 36 Une partie Ade Eest dite convexe si ∀(x, x0)∈A2,∀t∈[0,1], tx + (1 −t)x0∈A
Théorème 37 Toute partie convexe est connexe par arcs.
10.3 Séries d’un espace de Banach
Dans toute la suite on suppose que Eest un espace de Banach.
Définition 38 Soit (un)une suite d’éléments de E.
On appelle série de terme général un, la suite (Sn)définie par
Sn=
n
X
k=0
uk
On la note Puk.
On dit que la série Pukconverge si la suite (Sn)converge,
dans ce cas la limite lest notée P∞
k=0 uk, on définit alors le reste d’ordre n,Rn=l−Sn=P∞ k=n+1 uk
On dit que la série Pukdiverge si la suite (Sn)diverge.
Proposition 39 Une série Pukd’un Banach est convergente si et seulement si :
∀ε > 0,∃N > 0,∀p > N, ∀q > N, 
q
X
k=p+1
uk
≤ε
Définition 40 On dit que la série Pukest absolument convergente si la série numérique Pkunkest conver-
gente.
Théorème 41 Toute série Pukabsolument convergente d’un Banach est convergente et on a :
∞
X
n=0
un
≤
∞
X
n=0 kunk
Remarque 42 La réciproque est vraie, c’est à dire si toute série absolument convergente est convergente alors
l’espace est de Banach.
10.3.1 Série dans une algèbre de Banach
Dans toute la suite Adésigne une algèbre de Banach muni d’une norme d’algèbre.
Proposition 43 Si a∈Aet si kak<1alors la série géométrique
X
n
an
est absolument convergente et sa somme est l’inverse de (1A−a).
Proposition 44 Si a∈Aalors la série exponentielle :
X
n
1
n!an
est absolument convergente et sa somme est appelée exponentielle de aet est notée exp(a).
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