Université Pierre et Marie Curie Master de Mathématiques, M1 Analyse réelle, MM003 Année universitaire 2014-2015 Ayman Moussa Rappels de Cours – Espaces métriques. Espaces de Banach. 1 Espaces métriques Théorème : (Prolongement des applications uniformément continues) Soient pE, dq et pF, δ q deux espaces métriques, le deuxième étant de plus supposé complet. Soit A une partie dense de E et f : A Ñ F une application uniformément continue. Il existe une unique application continue g prolongeant f à E tout entier ; g est de plus uniformément continue. Définition : On dit qu’une application définie entre deux espaces métriques f : pX, dq contractante si elle est k-lipschitzienne, avec 0 ¤ k 1, i.e. @px1 , x2 q P X X Ñ pY, δq est δ pf px1 q, f px2 qq ¤ kdpx1 , x2 q. Théorème : (Point fixe de Picard) Soit pX, dq un espace métrique complet. Tout application contractante de X dans lui-même admet un unique point fixe a P X tel que f paq a. De plus, pour tout x0 P X, la suite des itérées définie par récurrence xn 1 : f pxn q converge vers a. Lemme : (Baire) Soit pX, dq un espace métrique complet. Toute intersection dénombrable d’ouverts denses est dense et, de manière équivalente, toute réunion dénombrable de fermés d’intérieur vide est d’intérieur vide. 2 Exemples : espaces fonctionnels Définition : Soient pX, dq et pY, δ q deux espaces métriques. Une partie A mément équicontinue lorsque, pour tout ε ¡ 0 il existe η ¡ 0 tel que @px1 , x2 q P X X, @f P A, dpx1 , x2 q η C 0 pX, Y q est dite unifor- ùñ δpf px1 q, f px2 qq ε . Remarque : Il faut bien noter ici que la propriété de continuité est uniforme en px1 , x2 q en f P A ! P X X et Théorème : (Ascoli) Soit pX, dq un espace métrique compact et pY, δ q un espace métrique complet. A C 0 pX, Y q est relativement compacte (pour la convergence uniforme) si et seulement si les deux conditions suivantes sont réalisées : (i) A est uniformément équicontinue. (ii) Pour tout x P X, l’ensemble tf pxq : f P Au est relativement compact dans Y . Remarque : On a ainsi décrit exactement la forme des parties compactes de C 0 pX, Y q. D’ailleurs, comme ce dernier est un espace métrique, l’énoncé précédent peut se reformuler en terme de suites de fonctions. 1 Définition : Soient pX, dq et pY, δ q deux espaces métriques. On dit qu’une partie A C 0 pX, Y q sépare les points de X si pour tous points x1 x2 P X il existe un élément f de A tel que f px1 q f px2 q. Théorème : (Stone-Weirestrass) Soit pX, dq un espace métrique compact. Soit A une sous-algèbre de C 0 pX, Rq telle que (i) A sépare les points de X, (ii) la fonction constante égale à 1 appartient à A (et donc toutes les fonctions constantes). Alors A est dense dans C 0 pX, Rq pour la norme uniforme. Remarque : Ce théorème se généralise en remplaçant l’espace d’arrivée par C, mais dans ce cas-là l’algèbre A doit en plus être stable par conjugaison. Penser par exemple à la conjugaison z ÞÑ z qui n’est pas limite uniforme de polynômes sur le disque unité fermé. On a pour conséquences pratiques les résultats suivants Proposition : (i) Théorème d’approximation de Weirestrass : pour tout compact K dans C 0 pK, Rq. (ii) L’ensemble des polynômes trigonométrique tx ÞÑ P peix q : P Rn , RrX1 , . . . , Xn s est dense P CrX su est dense dans C 0 pra, bs, Cq. (iii) Pour tout espace métrique compact X, l’espace (vectoriel engendrée par les fonctions tensorielles Vect f b g : px, y q ÞÑ f pxqg py q : f, g P C 0 pK, Rq est dense dans C 0 pX X, Rq. 3 Espaces vectoriels normés On commence par une caractérisation très pratique de la dimension finie, qui n’utilise pas la notion de complétude. Théorème : (Riesz) Un espace vectoriel normé pE, } tx P E : }x} ¤ 1u est compacte. }q est de dimension finie si et seulement si sa boule unité fermée On passe ensuite au cas particulier des espaces de Banach. Les applications linéaires continues y jouissent de propriétés remarquables, à commencer par le Théorème : (Banach-Steinhaus) Soit pE, } }E q un espace de Banach et pF, } }F q un espace vectoriel normé quelconque. On munit L pE, F q (espace des applications linéaires continues) de la norme subordonnée ~ ~ : @T P L pE, F q ~T ~ : sup }T}pxx}q}F . P x E Pour toute famille pTi qiPI E P L pE, F qI on a alors la propriété suivante @x P E p}Ti pxq}F qiPI est bornée ô p~Ti ~qiPI est bornée . Remarque : Cet énoncé est très surprenant : il permet de passer d’une borne ponctuelle à une borne uniforme. La famille peut en particulier être indénombrable ; enfin, dans ce théorème seul l’espace de départ est supposé complet. Définition : Une fonction définie entre deux espaces topologiques est dite ouverte si elle envoie les ouverts de l’un sur des ouverts de l’autre. Remarque : Il n’y a en général aucun lien entre la continuité d’une application et son caractère ouvert. Tout au plus, si f est une fonction bijective entre deux espaces topologiques, le caractère ouvert de f exprime la continuité de son inverse. 2 Théorème : (Application ouverte) Soit E et F deux espaces de Banach. Tout application linéaire continue et surjective de E vers F est une application ouverte. Proposition : (Continuité automatique) Soit E, F et G trois espaces de Banach. (i) Toute application linéaire continue et bijective définie de E dans F est un homéomorphisme ( i.e. est bicontinue). (ii) La continuité d’une application bilinéaire définie de E rapport à chacune de ses variables. F dans G équivaut à sa continuité par Théorème : (Graphe fermé) Soit E et F deux espaces de Banach et T une application linéaire de E dans F . On appelle graphe de T l’ensemble tpx, T pxqq : x P E u E F . L’application T est continue de E dans F si et seulement si son graphe est fermé dans E F . 3