1 Espaces métriques 2 Exemples : espaces fonctionnels

Université Pierre et Marie Curie Analyse réelle, MM003
Master de Mathématiques, M1Année universitaire 2014-2015
Ayman Moussa
Rappels de Cours – Espaces métriques. Espaces de Banach.
1 Espaces métriques
Théorème : (Prolongement des applications uniformément continues)
Soient E, d et F, δ deux espaces métriques, le deuxième étant de plus supposé complet. Soit Aune
partie dense de Eet f:A F une application uniformément continue. Il existe une unique application
continue gprolongeant fàEtout entier ; gest de plus uniformément continue.
Définition : On dit qu’une application définie entre deux espaces métriques f:X, d Y, δ est
contractante si elle est k-lipschitzienne, avec 0k1,i.e.
x1, x2X X δ f x1, f x2kd x1, x2.
Théorème : (Point fixe de Picard)
Soit X, d un espace métrique complet. Tout application contractante de Xdans lui-même admet un
unique point fixe a X tel que f a a. De plus, pour tout x0X, la suite des itérées définie par
récurrence xn1:f xnconverge vers a.
Lemme : (Baire)
Soit X, d un espace métrique complet. Toute intersection dénombrable d’ouverts denses est dense et,
de manière équivalente, toute réunion dénombrable de fermés d’intérieur vide est d’intérieur vide.
2 Exemples : espaces fonctionnels
Définition : Soient X, d et Y, δ deux espaces métriques. Une partie AC0X, Y est dite unifor-
mément équicontinue lorsque, pour tout ε0il existe η0tel que
x1, x2X X, f A, d x1, x2η δ f x1, f x2ε .
Remarque : Il faut bien noter ici que la propriété de continuité est uniforme en x1, x2X X et
en f A !
Théorème : (Ascoli)
Soit X, d un espace métrique compact et Y, δ un espace métrique complet. AC0X, Y est relati-
vement compacte (pour la convergence uniforme) si et seulement si les deux conditions suivantes sont
réalisées :
(i) Aest uniformément équicontinue.
(ii) Pour tout x X, l’ensemble f x :f A est relativement compact dans Y.
Remarque : On a ainsi décrit exactement la forme des parties compactes de C0X, Y . D’ailleurs,
comme ce dernier est un espace métrique, l’énoncé précédent peut se reformuler en terme de suites de
fonctions.
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Définition : Soient X, d et Y, δ deux espaces métriques. On dit qu’une partie AC0X, Y sépare
les points de Xsi pour tous points x1x2Xil existe un élément fde Atel que f x1f x2.
Théorème : (Stone-Weirestrass)
Soit X, d un espace métrique compact. Soit Aune sous-algèbre de C0X, Rtelle que
(i) Asépare les points de X,
(ii) la fonction constante égale à 1appartient à A(et donc toutes les fonctions constantes).
Alors Aest dense dans C0X, Rpour la norme uniforme.
Remarque : Ce théorème se généralise en remplaçant l’espace d’arrivée par C, mais dans ce cas-là
l’algèbre Adoit en plus être stable par conjugaison. Penser par exemple à la conjugaison z z qui n’est
pas limite uniforme de polynômes sur le disque unité fermé.
On a pour conséquences pratiques les résultats suivants
Proposition :
(i) Théorème d’approximation de Weirestrass : pour tout compact KRn,RX1, . . . , Xnest dense
dans C0K, R.
(ii) L’ensemble des polynômes trigonométrique x P eix :PCXest dense dans C0a, b , C.
(iii) Pour tout espace métrique compact X, l’espace vectoriel engendrée par les fonctions tensorielles
Vect f g :x, y f x g y :f, g C0K, Rest dense dans C0X X, R.
3 Espaces vectoriels normés
On commence par une caractérisation très pratique de la dimension finie, qui n’utilise pas la notion
de complétude.
Théorème : (Riesz)
Un espace vectoriel normé E, est de dimension finie si et seulement si sa boule unité fermée
x E :x1est compacte.
On passe ensuite au cas particulier des espaces de Banach. Les applications linéaires continues y
jouissent de propriétés remarquables, à commencer par le
Théorème : (Banach-Steinhaus)
Soit E, Eun espace de Banach et F, Fun espace vectoriel normé quelconque. On munit
LE, F (espace des applications linéaires continues) de la norme subordonnée :
TLE, F T : sup
x E
T x F
xE
.
Pour toute famille Ti i I LE, F Ion a alors la propriété suivante
x E TixF i I est bornée Ti i I est bornée .
Remarque : Cet énoncé est très surprenant : il permet de passer d’une borne ponctuelle à une borne
uniforme. La famille peut en particulier être indénombrable ; enfin, dans ce théorème seul l’espace de
départ est supposé complet.
Définition : Une fonction définie entre deux espaces topologiques est dite ouverte si elle envoie les
ouverts de l’un sur des ouverts de l’autre.
Remarque : Il n’y a en général aucun lien entre la continuité d’une application et son caractère ouvert.
Tout au plus, si fest une fonction bijective entre deux espaces topologiques, le caractère ouvert de f
exprime la continuité de son inverse.
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Théorème : (Application ouverte)
Soit Eet Fdeux espaces de Banach. Tout application linéaire continue et surjective de Evers Fest
une application ouverte.
Proposition : (Continuité automatique)
Soit E, F et Gtrois espaces de Banach.
(i) Toute application linéaire continue et bijective définie de Edans Fest un homéomorphisme ( i.e.
est bicontinue).
(ii) La continuité d’une application bilinéaire définie de E F dans Géquivaut à sa continuité par
rapport à chacune de ses variables.
Théorème : (Graphe fermé)
Soit Eet Fdeux espaces de Banach et Tune application linéaire de Edans F. On appelle graphe de
Tl’ensemble x, T x :x E E F . L’application Test continue de Edans Fsi et seulement
si son graphe est fermé dans E F .
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