Dipôle électrostatique - Jean

Dipôle électrostatique
I25.
1) Une droite porte une densité linéaire de charge λ uniforme. Démontrer par des arguments précis ce que la
symétrie impose au champ électrique.
2) Calculer le champ électrique.
3) Calculer le potentiel.
4) Deux droites parallèles distantes de 2a portent des densités linéaires de charge uniformes et opposées et .
Soit A et B les projections d’un point M lointain sur ces droites et O le milieu de AB. Calculer une expression
approximative simple du potentiel que créent ces droites à grande distance en fonction des coordonnées cylindriques par
rapport à la droite médiane Oz.
λ−λ+
5) Cette expression est égale au potentiel d’une densité linéaire P
G
de moment dipolaire le long de Oz. Déterminer
P
G
.
6) Ecrire l’équation, déterminer la nature et dessiner les équipotentielles dans cette approximation.
7) Donner une expression approximative simple du champ en coordonnées cylindriques à grande distance.
8) Déterminer l’équation, déterminer la nature et dessiner les lignes de champ dans cette approximation.
II27.
1) Un cercle (C) de centre O, de rayon b et situé dans le plan Oxy porte une charge positive répartie
uniformément sur sa circonférence. Quel est le potentiel qu’il crée sur l’axe Oz ?
Q
)(zV
2) Soit A le point de Oz d’abscisse . Une charge est répartie uniformément sur le segment OA. Quelle est la
résultante des forces que subit le cercle (C) ?
aq
A présent, la charge n’existe plus. q
3) Un dipôle électrique non pesant de moment z
upp
G
G
=
( constante positive) et de masse est mobile sur l’axe
des z. Quelles sont ses positions d’équilibre ? pm
4 Sont-elles stables ?
5) Quelle est la fréquence
f
de ses petites oscillations autour de sa position d’équilibre la plus stable ?
6) Quel travail faut-il fournir pour amener ce dipôle de l’infini au point O ?
III21. Sphère dipolaire.
1) Calculer le champ électrique dans tout l’espace créé par une boule de centre O et de rayon R contenant une densité
volumique de charge ρ uniforme.
2) On superpose deux boules de même rayon R , de centres O1 et O2 (O1O2 < R) et portant des densités volumiques
de charge uniformes et opposées –ρ et ρ. Soit O le milieu de O1O2 et Ox l’axe parallèle à O1O2. Calculer le champ
électrique et le potentiel dans la région située à l’intérieur des deux boules.
3) On fait tendre O1 et O2 vers leur milieu O et ρ vers l’infini, de sorte que 12
OOρ
J
JJJJG tende
vers une limite P
G
.
θ
O
σ
dS
θ
O2
O1
3.a) Exprimer en fonction de dS , O1O2 et θ le volume du cylindre hachuré, balayé par un
élément de surface d’une sphère lors de la translation qui fait passer d’une sphère à l’autre.
Quelle est la limite de la charge que ce cylindre contient ?
3.b) Exprimer les limites du champ et du potentiel à l’intérieur de la sphère de centre O
et de rayon R.
3.c) Exprimer les limites du champ et du potentiel à l’extérieur de la sphère de centre O et
de rayon R.
4) Exprimer le champ et le potentiel produits par une sphère de centre O et de rayon R
portant une densité superficielle de charge σ = σ0.cos θ :
4.a) en O ;
4.b) à l’intérieur de la sphère ;
4.c) à l’extérieur de la sphère.
IV22.
Charge élémentaire ; .
19
1,6.10 Ce− =30 1D 3, 3356.10 C. m
−
=
La molécule d’ozone O3 a la forme d’un triangle isocèle ; les deux cotés égaux ont pour longueur
et font un angle . Dans la molécule O
10
1,28.10 ma− =
116, 8α=° 2, la distance entre les noyaux d’oxygène est , tandis
que dans la molécule H
10
1,21.10 m
−
2O2 elle est de .
10
1, 48.10 m
−
1) Trouver la formule de Lewis de la molécule O3.
2) Commenter la géométrie de cette molécule.
3) Son moment dipolaire est . Quelle répartition des charges sur les atomes correspond à un tel
moment ? 0, 49 Dp=
DS : dipôle électrostatique, page 1

V.
A40. Interaction de Van der Waals.
1) Soit un dipôle électrique de moment p
G
situé à l’origine Oet un point repéré par
ses coordonnées polaires . Rappeler sans démonstration l’expression du potentiel V
créé par le dipôle en M.
M
,rθ
M
O p
G
θ
r
2) Calculer le champ électrique en M.
3) Soit un dipôle rigide de moment p
G
soumis à un champ électrique E
G
. Son énergie
potentielle est pE−⋅
G
G
. A quelle condition le dipôle a-t-il son orientation d’équilibre
stable ?
4) La force sur un dipôle rigide soumis à un champ électrique E
G
est
()
gradFp=⋅E
G
G
J
JJJG
G
. Est-ce en accord avec la
question précédente ? Pourquoi n’avoir pas considéré à cette question et à la précédente un dipôle non rigide ?
5) Une molécule apolaire soumise à un champ électrique E
G
acquiert de ce fait un moment dipolaire électrique
0
pEαε=
G
G
, où α est une constante caractéristique de cette molécule appelée polarisabilité.
Soit une molécule polaire M1 de moment dipolaire électrique rigide 1
p
G
et une molécule apolaire M2 de polarisabilité
distantes de rM . On suppose pα12 M=1
G
parallèle à la droite M1M2 et dirigé de M1 vers M2.
a) Quel est le champ électrique 12
E
G
créé par M1 en M2 ?
b) Quel est le moment dipolaire électrique 2
p
G
de M2 ?
c) Quel est le champ électrique 21
E
G
créé par M2 en M1 ?
d) Les deux molécules ont-elles leur orientation d’équilibre stable ?
e) En déduire l’énergie potentielle associée à la force subie par M1.
La théorie précédente donne une justification très simplifiée du comportement à grande distance de l’interaction entre
molécules dans le cas dipôle permanent-dipôle induit. En fait, la dépendance en r obtenue est aussi valable pour les
interactions entre dipôles permanents et pour les interactions entre dipôles mutuellement induits et constitue une loi
universelle de l’interaction entre molécules, interaction dite de Van der Waals.
6) Soit deux molécules isolées notées i et j. La molécule i, de type 1 est immobile à l’origine. La molécule j, de type
2, est mobile et située à une distance r de la molécule i. La force exercée par i sur j dérive de l’énergie potentielle
12
6
p
C
Er
αα
=−, où C est une constante positive et α et sont les polarisabilités, positives, des molécules de type
1 et 2.
1 2
α
a) L’interaction est-elle attractive ou répulsive ?
b) On suppose que l'énergie potentielle d'interaction entre une molécule de type (1) et une molécule de type (2) n'est
pas modifiée par la présence d'autres molécules proches. Un solide immobile est constitué de molécules de type 1
remplissant le demi espace avec la densité (nombre de molécules par unité de volume) n. Une molécule de
type 2 est mobile dans la région z. On note d sa distance à la surface plane du solide. Mettre l’énergie potentielle
associée à la force exercée par le solide sur la molécule sous forme d’une intégrale de volume qu’on exprimera en
coordonnées sphériques, où l’élément de volume s’écrit d ou dr . Montrer que cette énergie
potentielle est
0z<1
0>
ddrdτθθϕ=2drΩ
2
sin r
211
3
6
p
Cn
E.
d
παα
=−
c) Cela a-t-il une importance que le solide s’étende jusque l’infini ; ou bien la taille du solide peut-elle être limitée à
une dimension nettement plus grande que d ?
B32. Adsorption de molécules gazeuses à la surface d’étalons de masse
La masse est la seule grandeur de base du système international d'unités qui soit encore définie à partir d'un étalon
matériel. Or, les différentes campagnes de comparaison des étalons nationaux entre eux montrent une augmentation des
différences ainsi qu'une dérive globale bien supérieure aux incertitudes de mesure ; de telles comparaisons peuvent être
réalisée à un microgramme près (10–9 kg).
1.a) Pour des raisons pratiques, la forme retenue pour le prototype international actuel et pour les étalons secondaires
est celle d'un cylindre droit, homogène, de masse volumique
ρ
, à base circulaire de rayon et de hauteur R
H
.
Déterminer le volume V de ce cylindre et sa surface extérieure . A quelle condition portant sur
ext
S
H
et la surface
est-elle minimale, à masse (donc à volume) fixée ? R
1.b) Application numérique : pour un étalon en alliage Pt-Ir (platine 90%, iridium 10%).
Déterminer et S pour une masse de 1 kg et une surface minimale.
3
21 500 kg m
Pt Ir
−
−
ρ=⋅
Rext
1.c) Une forme différente permettrait-elle de minimiser encore davantage, à masse identique, la surface extérieure ?
Laquelle ? (aucune démonstration n'est demandée).
DS : dipôle électrostatique, page 2

2.a) Montrer que la pression dans un gaz en équilibre soumis à des forces à distance volumiques dF
dτ
G
obéit à
grad dF Pdτ =
G
J
JJJG .
2.b) Les interactions entre une molécule d'un gaz et la surface peuvent être décrites à l'aide d'une énergie potentielle
d'interaction de la forme , , ne dépendant que de la cote
()
3
/zKzW pp −= 0>
p
K
z
de la molécule par rapport à la
paroi.
On suppose que le gaz dans le demi-espace est à l'équilibre thermodynamique à la température uniforme 0>z
T
.
On note la pression du gaz à la cote
()
Pz
z
, et P la pression du gaz, supposé parfait, très loin de la paroi.
∞
Montrer que la pression dans le gaz à la distance de la paroi est z
()
()
exp p
B
Wz
Pz P kT
∞⎛⎞
⎠
⎟
⎜
=−⎟
⎜⎟
⎜
⎝B
, où k désigne la
constante de Boltzmann.
2.c) Soit la pression de vapeur saturante du gaz à la température
()
s
PT
T
. Montrer qu'on attend au voisinage de la
paroi la formation d'une couche de liquide, d'une épaisseur au moins égale à :
.
liq
d
()
()[]
{}
1/3
/ln /
liq p B s
dKkTPTP
∞
=
2.d) On utilise ce modèle pour l'eau. Évaluer pour un degré d'humidité
liq
d
()
0, 25
s
P
PT
∞=, à la température de
25°C, en prenant et . Pourquoi l’adsorption de l’air n’est pas
envisagée ?
350 mJ103 −− ⋅×=
p
K123 KJ1038,1 −− ⋅×=
B
k
2.e) On assimile la molécule d'eau à une sphère d'environ 150 pm de rayon. A combien de couches moléculaires
correspond la valeur obtenue de ? Évaluer alors la masse adsorbée en surface d'un étalon d'un kilogramme en Pt-Ir,
en supposant hexagonal le pavage de la surface.
liq
d
2.f) En déduire l'erreur commise sur une pesée en ignorant cet effet d'adsorption.
p
mδ
Réponses
I. 1)
()
r
EEru=
G
G
; 2)
0
2
Er =λ
πε ; 3)
0
ln cste
2
Vr=−+
λ
πε ; 4)
0
cos
() a VM r ≈λ
πε
θB
; 5) PA=
G
J
JJG
λ ; 6) dans un plan perpendiculaire à Oz, les
équipotentielles forment un faisceau de cercles tangents en O à la médiatrice de
AB et d’équations :
0
cos
a
rV =λθ
πε ; 7) 22
00
cos sin
r
aa
Eu
rr
θ
λθ λθ
=+
πε πε u
G
G
G ; 8) les
lignes de champ forment un faisceau de cercles tangents en O à AB d’équations
. 2sinrR=θ
II. 1)
()
2
0
4
Q
2
bz
=πε + VP ; 2) 22
0
11
4z
qQ
Fu
DS : dipôle électrostatique, page 3
ab
ba
⎡
⎤
⎢
⎥
=−
⎢
⎥
πε +
⎣
⎦
G
G
; 3)
2
b
z=± ; 4) 2
b
z est stable et =2
b
z=− est instable ; 5) 5/4 3/2 2
0
3
pQ
fmb =πε
; 6) W. 0
op =
III. 1) Si , ; si , 3
2
00
33r
rR
rRE rRE u
r
ρρ
εε
<= >=
G
G
G
G
; 2) 12
0
() 3
OO
EM ρ
ε
=−
J
JJJJG
G
; 12
0
3
OO x
V ; 3a)
ρ
ε
=
12 cosdOOdSτ=θdSθ ; la limite de la charge qu’il contient est P ; 3b) cos
0
3
P
Eε =−
G
G
;
0
3
Px
V ; 3c)
ε
=
3
2
0
cos
3
RP
Vr
θ
ε
= ; 33
33
00
2cos sin
33
r
RP RP
Euu
rr
θ
θθ
εε
=+
G
G
G0= ; 4a) V et 0
0
3x
Eu
σ
ε
=−
G
G
; 4b) 0
0
3
x
V
σ
ε
=
0
0
3x
Eu
σ
ε
=−
G
G
; 4c) 3
0
2
0
cos
3
R
V ;
r
σθ
ε
=
33
00
33
00
2cos sin
33
r
RR
Euu
rr
θ
σθ σθ
εε
=+
G
G
G.
IV. 3)
() () 2 cos /2 0, 076
2cos /2
p
pea ea
=δα⇒δ==
α.

V.A. 1) 2
0
cos
4
p
Vr
θ
πε
= ; 2) 3
00
2cos sin
44
r
pp
Eu
3
rr
=+
u
G
G
G
θ
θθ
πε πε p ; 3)
G
parallèle à E
G
et de même sens ; 5.a)
1
12 3
0
2
4
p
Er
πε
=
G
G
; 5.b) 1
23
2
4
p
pr
=
G
G
α
π ; 5.c) 1
21 26
0
4
p
Er
=
G
G
α
πε ; 5.d) oui ; 5.e) 2
1
26
0
4
p
p
Er
=−α
πε ; 6.a) force attractive ; 6.b)
2
2/2
211 6
00 /cos
sin
pd
rdr
ECnd d r
∞
=−∫∫ ∫
ππ
θ
αα ϕ θ θ ; 6.c) reste valable.
V.B. 1.a) ; ; 1.b) ; ; 1.c)
forme sphérique ; 2.d) ; 2.e) une couche ; .
22
22
ext
VRHS R RHπππ==+2HR=0, 0195 mR=32 7,16.10 m
ext
S− =
174 pm
liq
d=2, 7 gµ
Corrigé
I.
1) Soit une droite (D) portant une densité linéaire de charge uniforme : λ
• toute droite qui la coupe perpendiculairement est un axe de symétrie de la distribution de charge, donc le champ
électrique est radial au sens des coordonnées cylindriques ;
• la distribution de charge est invariante par rotation autour de (D) et par translation parallèle à (D), donc la
grandeur du champ électrique ne dépend que de la distance r à la droite chargée.
2) L’application du théorème de Gauss à un cylindre d’axe (D), de rayon et de hauteur h donne : r
00
22
h
rhE E r
λλ
πεπ =⇒=ε
3)
00
ln cste
22
dr
dV E dr Edr V r
r
=−⋅ =−=−⇒=−+
G
J
JG λλ
πε πε
4) Soit aO . Si on suppose le potentiel nul à l’infini, AOB==
2
2
00
( ) ln ln
24
MA MA
VM MB MB
λλ
πε πε
==
2
222 2
2
2
222 2
2
2cos
2cos 1
2cos
2cos 1
aa
MA r a ar r rr
aa
MB r a ar r rr
θ
θ
θ
θ
⎛⎞
⎟
⎜
=++ = + +
⎟
⎜⎟
⎟
⎜
⎜
⎝⎠
⎛⎞
⎟
⎜
=+−=−+⎟
⎜⎟
⎟
⎜
⎜
⎝⎠
λ
–
λ
A
θ
r
O B
M
M
A B
Faisons un développement limité quand r tend vers l’infini. En utilisant
11
1
εεε
ε
+′
≈+−
′
+ :
2
200
4cos 4c
a
rr
os cos
1()
4
MA a a
VM r
MB ≈+≈=
θλθλθ
πε πε .
5) Un élément de longueur dz comporte les charges opposées dλA−A et λ distantes de AB
d
J
JJG , donc a pour moment
dp d ABλ=
J
JJG
J
JG
A, donc dp
PA
dλB==
J
JG
G
J
JJG
A
6) Les équipotentielles sont des cylindres parallèles à Oz ; dans un plan perpendiculaire à ce axe, les équipotentielles
forment un faisceau de cercles tangents en O à la médiatrice de AB et
d’équations :
0
2cos où 2 a rR RV
λ
θπε ==
7)
2
0
2
0
cos
1s
0
r
z
Va
Err
Va
Err
V
Ez
=−=
=−=
=−=
θ
∂λθ
∂πε
∂λ
∂θ πε
∂
∂
in
θ
=
8) Comme E, les lignes de champ sont dans les plans perpendiculaires à
Oz ; leur équation s’obtient en exprimant qu’un déplacement élémentaire dr
0
z
J
JG le
long d’une ligne de champ est parallèle au champ électrique :
DS : dipôle électrostatique, page 4

cos sin
(sin )
cos ln ln sin cste 2 sin
sin sin
r
dr rd
EE
dr rd
d
dr d rr
r
=
=
== = + =
θ
θ
θ
θθ
θ
θθ θθ
θθ R
(R paramètre caractérisant la ligne de champ considérée)
Les lignes de champ forment un faisceau de cercles tangents en O à AB.
II.
1) Toute la charge est à la même distance 2 rbz=+
2
du point P de l’axe :
()
22
0
4
Q
VP bz =πε +.
2) La force subie par le cercle chargé est l’opposé de la force subie par le segment chargé OA ; celui-ci est soumis au
champ électrique créé par le cercle, qui est porté par Oz, axe de révolution du cercle ; la force sur le segment est
()
()[
A
O
dV
dzE dz V O V A
dz
]
=−λ =λ−
∫∫
λ. D’où la force sur le cercle
()
()[]
22
0
11
4
zz
qqQ
FVOVAu
aa
ba
⎡⎤
⎢⎥
=−− =−
⎢⎥
πε +
⎣⎦
u
b
G
G
G
3) L’axe Oz étant un axe de révolution, il porte la force sur le dipôle grad z
zz
dE
Fp E p
dz
=⋅=
J
JJJG
G
.
()
()
() ()
() () ()()
()
()
3/2
22
1/2 3/2
22 22
22 00
0
3/2 5/2
22 22 5/2
2222
00
22
5/2
22
0
12
442
4
322
2
44
2
4
z
z
z
Qz b z
dQ Qd Q
Ebzzbz
dz dz
bz
Qb z Qz zb z Qb z b z
dE
dz
pQ b z
F
bz
−
−−
−− −
⎛⎞ +
⎟
⎜⎟
=−=−+=−×−+=
⎜⎟
⎜⎟
⎟
⎜πε πε πε
⎝⎠
πε +
++×−+−+
==
πε πε
−
=πε +
0
4
L
Les positions d'équilibre correspondent à soit 0
z
F=2
b
z=± .
4) La force est du signe de :
22
2bz−
z −∞ 2
b
− 2
b +∞
z
F − + −
donc la position 2
b
z= est stable et la position 2
b
z=− est instable.
On peut aussi observer que 2
b
z= correspond à un minimum de l’énergie potentielle pE−⋅
G
G
et que 2
b
z=−
correspond à un maximum de cette énergie potentielle.
5) Au voisinage de 2
b
z=,
()(
2
222
z
z
dz b dF b
mFz dz
dt =≈−
)
, de la forme
()
22
20
2
dz b
z
dt +ω− = qui est
l’équation d’un oscillateur harmonique dont la pulsation est donnée par
()
21
2
z
dF b
mdz
ω=−.
()() () ()()
()( )[]
()
()
()
()
()
5/2
2222 5/2 7/2
22 2 222
00
22 2 2 2 2
7/2 7/2
22 22
00
7/2 5/2 4
40
0
2
5/2 4
0
25
422
44 2
452 69
44
64
23
423/2
4
3
z
z
pQ b z b z
dF d pQ zb z zb z b z
dz dz
pQz b z b z pQz z b
bz bz
dF b pQ pQ
dz b
b
pQ
bm
−−−
⎛⎞
−+⎟
⎜
⎡
⎤
⎟
⎜
==−+−− +
⎟
⎢
⎥
⎜⎟
⎜πε πε
⎟
⎣
⎦
⎟
⎜
⎜
⎝⎠
−+−− −
==
πε +πε +
=−=−πε
πε
ω=πε
5/4 3/2 2
0
23
pQ
fmb
ω
==
ππε
DS : dipôle électrostatique, page 5