Ch2 :Fonctions affines et variations d`une fonction

2B - Chapitre 2 : Fonctions affines et variations d’une fonction
Ch2 :Fonctions affines et variations d’une fonction
1. Décrire ( vocabulaire ou tableau de variations) le comportement d’une fonction définie par une courbe 1
2. Dessiner un représentation graphique compatible avec un tableau de variations
3. Avec sens de variations donné par une phrase ou un tableau de variations : comparer les images de deux nombres
d’un intervalle ; résoudre graphiquement une inéquation 2
4. Fonctions linéaires et affines
(a) donner le sens de variations d’une fonction affine
(b) donner le tableau de signes de ax +bpour des valeurs numériques données de aet de b
(c) déterminer l’expression d’une fonction affine connaissant deux nombres et leurs images.
(d) Faire le lien entre le signe de ax +b, le sens de variations et l’allure de la courbe
Technique de calculs revues dans ce cours :
– pourcentage ( coefficient multiplicateur) no5,6,7 p 68
– Un point appartient-il à une courbe ? no8 p 68
– factorisation utilisant les IR no11,12 p 68
– rajouter du calcul fractionnaire
1. définitions formelles de fonction croissante et décroissante sont progressivement dégagées - objectif de fin d’année
2. fonction définie par morceaux : travailler avec un algorithme pour construire la courbe
Mme Bessaguet page 1 31 août 2015

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I Comportements d’une fonction et tableau de variations
I-A Comportements d’une fonction
Compléter les descriptions suivantes de la représentation graphique
d’une fonction f à droite :
a) sur I1=[−7;−3], la fonction est décroissante ;
b) sur I2=[... ;.. .], la fonction est croissante ;
c) sur sur I3=[... ;3], la fonction est .. .
Conclusion :
– Sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , la fonction est croissante ;
– Sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , la fonction est décroissante.
I-B tableau de variations d’une fonction
Un tel tableau reflète le comportement d’une fonction, de manière syn-
thétique.
Compléter le tableau de variations ci-contre.
Les flèches indiquent si la fonction est croissante ou décrois-
sante.
Vocabulaire :
– Maximum : ordonnée la plus élevée sur un intervalle
donné ;
– Minimum : ordonnée la plus petite sur un intervalle donné.
x−7−3 0 ......
f(x)
2
........
......
.........
0
Exercices :no26 p 69 ; no29 p 69 ; no50 p 71
I-C Savoir dessiner une courbe compatible avec un tableau de variations donné ou tiré d’un texte
I-C.1 à partir d’un tableau de variations :
Représenter sur le graphique ci-contre la fonction dont le tableau
de variations est donné ci-dessus, sachant :
f(−6) =0 et un des antécédents de 1 est 0.
x−8−32 4
f(x)
−5
2
−3
0
I-C.2 à partir d’un texte :
A partir du texte qui suit, construire le tableau de variations, puis
une courbe compatible avec ce dernier :
–fest définie sur [−5;6];
– 0 a pour antécédents -2 ;2,5 ;5 ;
–f(6) =1
– le maximum de fest 5 ;
– le minimum de fest -2 ;
– f est décroissante sur
[−5;−2]∪[1;3];
– f est croissante sur [−2;1]∪
[3;6];
– 0 a pour image 3.
x
f(x)
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II Comparaison d’images à partir d’un tableau de variations - résolution d’inéquations
II-A Comparaison d’images
On utilise dans les exercices suivants le tableau de variations de la première page.
1. Sur I1=[−8;−3]:
−6∈I1
−2p3∈I1¾comparer :f(−6) etf(−2p3)
.......................................
2. Sur I2=[2;4]:
3∈I2
π∈I2¾comparer :f(3) etf(π)
............................................
Conclusion :
–fest ............................................ sur I1
–−6;−2p3∈I1et f(−6).... .. f(−2p3)
–fest ....................................... sur I2
– 3;π∈I2et f(3). ... .. f(π)
Donc :...................................... Donc :.......................................
...................................... .......................................
Exercice : no34 et 35 p 70
II-B Résolution d’inéquations de type f(x)>kou f(x)<g(x)( utilisation d’un graphique)
Méthode : résoudre f(x)<krevient à déterminer
l’intervalle des valeurs de x, abscisses des points
situés en-dessous de la droite d’équation y=k
Résoudre : Ensemble solution S=... ou x∈...
f(x)>6S=
x∈¾... ... ... ... ...
f(x)≤6S=... ... ... ...
f(x)≥7S=... ... ... ...
f(x)>1S=... ... ... ...
g(x)<f(x)S=... ... ... ...
f(x)=1S={... ... ;.. ... .}
Exercice : no32 p 46
II-C Résolution d’inéquations par utilisation d’un tableau
de variations
Méthode : no7 p 62
Exercices : no41 et 43 p 70
III Fonctions affines et un cas particulier : les fonctions linéaires
III-A Définition
a) Fonction affine : une fonction affine est une fonction définie sur Rpar : f(x)=mx +p, (m,p∈R)
b) Fonction linéaire :(fonction affine avec p =0)on appelle fonction linéaire de coefficient mtoute fonction f
définie sur Rpar : f(x)=mx, (m∈R)
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III-B Sens de variations d’une fonction affine ou linéaire (cas p=0)
III-B.1 Étude 1 :
1. Utilisation de geogebra :( livre prise en main p. 31)
i) créer un curseur nommé m, réel compris entre −5 et 5 (lar-
geur :300) ;
ii) Créer un repère (O,I,J) et une grille de distance 0.5 sur les deux
axes ;
iii) Créer la fonction f(x)=mx +1 ;
iv) Faire varier m de −5 à 5 ;
v) Que remarques-tu pour : m=0?
Conjecturer sur le lien entre le signe de met le sens de variations de f, fonction affine d’écriture : f(x)=mx +1
2. Définitions du sens de variations d’une fonction :
Soit a,b∈Rtels que : a <bet f est définie sur [a,b]
x
f(x)
ab
f(a)f(a)
f(b)f(b)
x
f(x)
ab
f(a)f(a)
f(b)f(b)
f est croissante sur [a;b]⇔f(a)<f(b) f est décroissante sur [a;b]⇔f(a)>f(b)
3. Démonstration de la conjecture : je compare les images ma +pet mb +p
i) m>0
Application :a=2 ;b=3 et m=3Théorie :sur [a;b]
2<3a<b
... ... ... . ... ... ..
... ... ... . ... ... ..
Donc, pour :2 <3, f(2)... ... f(3) Donc, pour : .. ... ... ., f(a). ... ... .. f(b)
D’après : .......................................................................................
Je conclus : fest croissante sur [2; 3]Je conclus : .................................
ii) m<0
Application :a=−4 ;b=10 et m=−2Théorie :sur [a;b]
−4<10 a<b
... ... ... . ... ... ..
... ... ... . ... ... ..
Donc, pour :−4<10, f(−4)... ... f(10) Donc, pour : . ... ... .., f(a). ... ... .. f(b)
D’après : .......................................................................................
Je conclus : fest décroissante sur [−4; 10]Je conclus : .................................
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Conclusion 1 : lien entre signe de met sens de variations de f, fonction affine, telle que : f(x)=mx +1
III-B.2 Étude 2 :et la valeur de p?
1. Utilisation de geogebra :
i) reprendre le fichier geogebra de l’étude 1 ;
ii) créer un curseur nommé p, réel compris entre −5 et 5 (lar-
geur :300) ;
iii) Créer la fonction g(x)=mx +p;
iv) Faire varier p de −5 à 5 ;
v) Quelle conjecture peux-tu faire concernant l’influence de la valeur de
p?
Conjecture de l’étude 2 : .............................................................................................
........................................................................................................................
........................................................................................................................
III-C Sens de variations et signe d’une fonction affine
III-C.1 Calcul préalable
Soit une fonction f définie sur f(x)=mx +p. Calculer les coordonnées du point d’intersection de Cfet de l’axe des abscisses.
III-C.2 Comparatif : représentation graphique - tableau de variations - tableau de signes
m>0 m <0
1. Représentations graphiques
2. Tableaux de variations
x
f(x)
−∞ +∞ x
f(x)
−∞ +∞
3. Tableaux de signes
x
f(x)
−∞ ... +∞
0
x
f(x)
−∞ ... +∞
0
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