Ch2 :Fonctions affines et variations d`une fonction

2B - Chapitre 2 : Fonctions affines et variations d’une fonction
Ch2 :Fonctions affines et variations d’une fonction
1. Décrire ( vocabulaire ou tableau de variations) le comportement d’une fonction définie par une courbe 1
2. Dessiner un représentation graphique compatible avec un tableau de variations
3. Avec sens de variations donné par une phrase ou un tableau de variations : comparer les images de deux nombres
d’un intervalle ; résoudre graphiquement une inéquation 2
4. Fonctions linéaires et affines
(a) donner le sens de variations d’une fonction affine
(b) donner le tableau de signes de ax + b pour des valeurs numériques données de a et de b
(c) déterminer l’expression d’une fonction affine connaissant deux nombres et leurs images.
(d) Faire le lien entre le signe de ax + b, le sens de variations et l’allure de la courbe
–
–
–
–
Technique de calculs revues dans ce cours :
pourcentage ( coefficient multiplicateur) no 5,6,7 p 68
Un point appartient-il à une courbe ? no 8 p 68
factorisation utilisant les IR no 11,12 p 68
rajouter du calcul fractionnaire
1. définitions formelles de fonction croissante et décroissante sont progressivement dégagées - objectif de fin d’année
2. fonction définie par morceaux : travailler avec un algorithme pour construire la courbe
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2B - Chapitre 2 : Fonctions affines et variations d’une fonction
I Comportements d’une fonction et tableau de variations
I-A Comportements d’une fonction
Compléter les descriptions suivantes de la représentation graphique
d’une fonction f à droite :
a) sur I 1 = [−7; −3], la fonction est décroissante ;
b) sur I 2 = [. . . ; . . .], la fonction est croissante ;
c) sur sur I 3 = [. . . ; 3], la fonction est . . .
Conclusion :
– Sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , la fonction est croissante ;
– Sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , la fonction est décroissante.
I-B tableau de variations d’une fonction
Un tel tableau reflète le comportement d’une fonction, de manière synthétique.
Compléter le tableau de variations ci-contre.
x
−7
Les flèches indiquent si la fonction est croissante ou décrois2
sante.
f (x)
Vocabulaire :
– Maximum : ordonnée la plus élevée sur un intervalle
donné ;
– Minimum : ordonnée la plus petite sur un intervalle donné.
−3
......
0
......
.........
........
0
Exercices :no 26 p 69 ; no 29 p 69 ; no 50 p 71
I-C Savoir dessiner une courbe compatible avec un tableau de variations donné ou tiré d’un texte
I-C.1 à partir d’un tableau de variations :
Représenter sur le graphique ci-contre la fonction dont le tableau
de variations est donné ci-dessus, sachant :
f (−6) = 0 et un des antécédents de 1 est 0.
x
−8
−3
2
4
0
2
f (x)
−5
−3
I-C.2 à partir d’un texte :
A partir du texte qui suit, construire le tableau de variations, puis
une courbe compatible avec ce dernier :
–
–
–
–
–
f est définie sur [−5; 6] ;
– f
est
décroissante
sur
0 a pour antécédents -2 ;2,5 ;5 ;
[−5; −2] ∪ [1; 3] ;
f (6) = 1
– f est croissante sur [−2; 1] ∪
le maximum de f est 5 ;
[3; 6] ;
le minimum de f est -2 ;
– 0 a pour image 3.
x
f (x)
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II Comparaison d’images à partir d’un tableau de variations - résolution d’inéquations
II-A Comparaison d’images
On utilise dans les exercices suivants le tableau de variations de la première page.
1. Sur I 1 = [−8;¾
−3] :
p
−6 ∈ I 1
p
comparer : f (−6) et f (−2 3)
−2 3 ∈ I 1
2. Sur I 2 = ¾
[2; 4] :
3 ∈ I2
comparer : f (3) et f (π)
π ∈ I2
............................................
.......................................
Conclusion :
– f est ............................................ sur I 1
p
p
– −6; −2 3 ∈ I 1 et f (−6) . . . . . . f (−2 3)
– f est ....................................... sur I 2
– 3; π ∈ I 2 et f (3) . . . . . . f (π)
Donc :......................................
Donc :.......................................
......................................
.......................................
Exercice : no 34 et 35 p 70
II-B Résolution d’inéquations de type f (x) > k ou f (x) < g (x) ( utilisation d’un graphique)
Méthode : résoudre f (x) < k revient à déterminer
l’intervalle des valeurs de x , abscisses des points
situés en-dessous de la droite d’équation y = k
Ensemble solution S = . . . ou x ∈ . . .
Résoudre :
f (x) > 6
S=
x∈
¾
...............
f (x) ≤ 6
S = ............
f (x) ≥ 7
S = ............
f (x) > 1
S = ............
g (x) < f (x)
S = ............
f (x) = 1
S = {. . . . . . ; . . . . . .}
Exercice : no 32 p 46
II-C Résolution d’inéquations par utilisation d’un tableau
de variations
Méthode : no 7 p 62
Exercices : no 41 et 43 p 70
III Fonctions affines et un cas particulier : les fonctions linéaires
III-A Définition
a) Fonction affine : une fonction affine est une fonction définie sur R par : f (x) = mx + p, (m, p ∈ R)
b) Fonction linéaire :(fonction affine avec p = 0) on appelle fonction linéaire de coefficient m toute fonction f
définie sur R par : f (x) = mx, (m ∈ R)
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III-B Sens de variations d’une fonction affine ou linéaire (cas p = 0)
III-B.1 Étude 1 :
1. Utilisation de geogebra :( livre prise en main p. 31)
i) créer un curseur nommé m , réel compris entre −5 et 5 (largeur :300) ;
ii) Créer un repère (O,I,J) et une grille de distance 0.5 sur les deux
axes ;
iii) Créer la fonction f (x) = mx + 1 ;
iv) Faire varier m de −5 à 5 ;
v) Que remarques-tu pour : m = 0 ?
Conjecturer sur le lien entre le signe de m et le sens de variations de f , fonction affine d’écriture : f (x) = mx + 1
2. Définitions du sens de variations d’une fonction :
Soit a, b ∈ R tels que : a < b et f est définie sur [a, b]
x
f (x)
a
x
b
f (b)
f (x)
f (a)
f est croissante sur [a; b] ⇔ f (a) < f (b)
a
b
f (a)
f (b)
f est décroissante sur [a; b] ⇔ f (a) > f (b)
3. Démonstration de la conjecture : je compare les images ma + p et mb + p
i) m > 0
ii) m < 0
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Application :a = 2 ;b = 3 et m = 3
Théorie :sur [a; b]
2<3
a <b
.........
.........
.........
.........
Donc, pour :2 < 3, f (2) . . . . . . f (3)
Donc, pour : . . . . . . . . ., f (a) . . . . . . . . . f (b)
D’après : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Je conclus : f est croissante sur [2; 3]
Je conclus : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Application :a = −4 ;b = 10 et m = −2
Théorie :sur [a; b]
−4 < 10
a <b
.........
.........
.........
.........
Donc, pour :−4 < 10, f (−4) . . . . . . f (10)
Donc, pour : . . . . . . . . ., f (a) . . . . . . . . . f (b)
D’après : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Je conclus : f est décroissante sur [−4; 10]
Je conclus : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Conclusion 1 : lien entre signe de m et sens de variations de f, fonction affine, telle que : f(x) = mx + 1
III-B.2 Étude 2 :et la valeur de p ?
1. Utilisation de geogebra :
i) reprendre le fichier geogebra de l’étude 1 ;
ii) créer un curseur nommé p , réel compris entre −5 et 5 (largeur :300) ;
iii) Créer la fonction g (x) = mx + p ;
iv) Faire varier p de −5 à 5 ;
v) Quelle conjecture peux-tu faire concernant l’influence de la valeur de
p?
Conjecture de l’étude 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........................................................................................................................
........................................................................................................................
III-C Sens de variations et signe d’une fonction affine
III-C.1 Calcul préalable
Soit une fonction f définie sur f(x) = mx + p. Calculer les coordonnées du point d’intersection de C f et de l’axe des abscisses.
III-C.2 Comparatif : représentation graphique - tableau de variations - tableau de signes
m>0
m<0
1. Représentations graphiques
2. Tableaux de variations
−∞
x
x
+∞
f (x)
−∞
+∞
f (x)
3. Tableaux de signes
x
f (x)
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−∞
...
+∞
x
f (x)
0
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−∞
...
+∞
0
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III-D Étude 3 : je détermine l’expression d’une fonction affine
je dois calculer les coefficients m et p afin de déterminer l’expression de la fonction affine mx + p , puis je donne le
tableau de variations et le tableau de signes
p
III-D.1 Je détermine l’expression de f (x), fonction affine telle que : f (1) = 4 et f (3) = 3
Je sais :
• f est une fonction affine et est donc d’expression : f (x) = mx + p
• f (1) = 4, soit : m × 1 + p = 4 (L 1 )
: −········· = ·········
(L1 ) − (L2 ) m
• f (· · · · · · ) = · · · · · · , soit : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (L 2 )
m(1 − · · · · · · ) = · · · · · ·
······
½
m+p =4
(L 1 )
m=
= ............
······
J’obtiens le système suivant :
.
Je calcule m :
......
= ···
(L 2 )
m = ........................
Autre méthode pour calculer m :
Je calcule p :
Donc, l’expression de la fonction affine recherchée est :
III-D.2 Question supplémentaire : je donne le sens de variations et le tableau de signes
p
p
3−4
12 − 3
a) Je sais : f est une fonction affine d’écriture f (x) =
x+
;de plus : m = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.
2
2
Donc, f est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sur R.
b) Je sais : f est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sur R et : f (x) = 0 pour : x = . . . . . . . . . . . . . . D’où :
x
−∞
f (x)
...
+∞
0
Exercices sur livre :pages 72 et plus
no 56, 57, 59, 60, 68, 69, 72, 87, 110
IV Algorithmique : structure alternative
IV-A Structure
Ou alors, si une seule instruction conditionnelle
existe :
Si condition alors
suite d’instructions ( si condition vraie)
Si condition alors
suite d’instructions ( si condition vraie)
sinon
FinSi
suite d’instructions ( si condition fausse)
FinSi
IV-B Synthaxe sur TI
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Résultat :
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IV-C Exercice : no 18 p 19
Schéma : (selon le modèle du no 16)
1. Montant des frais F pour :
a. 1000km : . . . . . . . . . . . . .
b. 100000km : . . . . . . . . . . . . .
c. 25000km : . . . . . . . . . . . . .
2. Schéma : à faire à droite
IV-D Exercice : no 80 p 74 : fonction affine par morceaux
1. Prix pour :
– 20 photos : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– 40 photos : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variables
Entrée
Traitement
2. Compléter l’algorithme ci-contre.
3. p(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mme Bessaguet
Sortie
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Algorithme :
nb prix nombres
Demander nb
Si . . . . . . . . . .Alors prix prend la valeur . . . . . .
Sinon prix prend la valeur . . . . . .
FinSi
Afficher prix
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