Feuille d`exercices no 3 - IMJ-PRG

Universit´ e de Paris 6
G´ eom´ etrie Diff´ erentielle ´ El´ ementaire
LM 326
Janvier–Avril 2014.
http://people.math.jussieu.fr/˜dos-santos/Enseignement.html
Feuille d’exercices no3
L’orientation
Exercice 1. Montrer que, si Sest orientable et connexe, et Net e Nsont deux orientations sur S,
alors soit e N=N, soit e N=−N.
Exercice 2 (Le ruban de Moebius).Nous allons d´ efinir une surface r´ eguli` ere Mqui n’est pas
orientable. C’est le Ruban de Moebius.
Prenons T={2}×{0} × (−1,1) ⊆xz. Cet intervalle ouvert donne, pour chaque θ∈Run autre
intervalle, Tθ=Rθ(T), o ` u1
Rθ=
cθ−sθ0
sθcθ0
0 0 1
=h~
e1(θ)~ e2(θ)~ e3(θ)i
est la rotation de θ–radians au tour de l’axe z. Il est clair que Sθ∈RRθ(T) est un cylindre (ouvert).
Le ruban de Moebius, not´ eM, est obtenu en prenant l’union
[
θ
Lθ/2Rθ(T),
o` uLθ/2est la rotation de R3d’un angle de θ/2–radians autour de la droite Rθ(2~ e1)+λ·Rθ(~ e2)
(c’est la droite qui passe au centre Rθ(2~ e1) de Rθ(T) et qui est perpendiculaire au plan Rθ(xz)).
(a) Montrer que la rotation d’un point 2~ e1(θ)+u~ e3(θ)∈Rθ(T) est
ψ(u, θ) :=u·−sθ/2~ e1(θ)+cθ/2~ e3(θ)+2~ e1(θ)
=h2−u·sθ/2i·~ e1(θ)+u·cθ/2·~ e3(θ).
(b) Montrer que la restriction de ψ:R2→R2` aU0=(−1,1) ×(−π, π) et V0=(−1,1) ×(0,2π)
donnent des param´ etrages de Met que ψ(U0)∪ϕ(V0)=M.
(c) Montrer que Mn’est pas orientable.
1. cθ=cos(θ) et sθ=sin(θ).
1

.
Figure 1 – Le Ruban de Moebius
.
Figure 2 – Et le Ruban de Moebius vu par M. Escher.
Exercice 3. Montrer que le tore Test une surface orientable. Indication : Nous devons trouver
deux champs tangents X,Ysur Ttels que l’espace tangent de Ten chaque point pest engendr´ e
par X(p) et Y(p).
Exercice 4. Soit Sune surface qui poss` ede une structure
nϕj:U0,j→Ujo
de surface de Riemann. Montrer que les champs normaux Nϕj:Uj→Set Nϕk:Uk→S
co¨ ıncident sur Uj∩Uk. Montrer qu’il existe une orientation N:S→Squi co¨ ıncide, sur Uj, avec
Nϕj. En d´ eduire que Sest orientable et que les param´ etrages ϕjsont toujours compatibles avec
N.Indication : Utiliser la formule
Nϕj(p)=
det Jac(ϕ−1
k◦ϕj)(ϕ−1
j(p))
det Jac(ϕ−1
k◦ϕj)(ϕ−1
j(p))
·Nϕk(p),∀p∈Uj∩Uk.
Exercice 5. Dans cet exercice, nous allons montrer que chaque surface compacte orientable 2est
en fait une surface de niveau. L’id´ ee cl´ e est la notion de voisinage tubulaire.
2. Il est possible de montrer que chaque surface compacte est d´ ej` a orientable, mais la preuve est beaucoup plus
2

Soit Sune surface r´ eguli` ere orient´ ee par N:S→S. Soit p∈Set ε > 0. Le segment normal `a p
de longueur 2εest l’ensemble
Ip(ε)={p+t·N(p) : −ε < t< ε}.
(i) Soit p∈Squelconque, et soit ϕ:U0→Uun param´ etrage d’un voisinage de pdans S. En
utilisant la fonction
F(u,v,t)=ϕ(u,v)+tN(ϕ(u,v)),
montrez qu’il existe un voisinage Vde pet un ε > 0 tels que
a) Ip1(ε)∩Ip2(ε)=∅si p1,p2∈Vsont diff´ erents ;
b) la r´ eunion des Iq(ε) pour q∈Vest un ouvert de R3.
(ii) Nous supposons maintenant que Sest compacte.` A l’aide de (i) ´ etablir l’existence d’un ε > 0
tel que
a) Ip1(ε)∩Ip2(ε)=∅si p1,p2∈Ssont diff´ erents ;
b) la r´ eunion des Ip(ε) pour p∈Sest un ouvert de R3.
(iii) Soit Tla r´ eunion des segments normaux comme en ii)-b). Trouvez une fonction diff´ erentiable
t:T→Rtelle que S=t−1(0) et telle que 0 soit valeur r´ eguli` ere.
difficile.
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La m´etrique
Exercice 6. (a) Rappelons que
ϕ: (−π/2, π/2) ×(−π, π)→S,(u, θ)7→ (cos(u)·cos(θ),cos(u)·sin(θ),sin(u))
d´ efinit un param´ etrage de la sph` ere S. Calculer E,F,G.
(b) Calculer les coefficients de la premi` ere forme fondamentale pour le param´ etrage de Tdonn´ e
par la restriction de
ϕ:R2→T,(u, θ)7→ ((2 +cos(u)) ·cos(θ),(2 +cos(u)) ·sin(θ),sin(u))
`
a un carr´ eQ=(u0−π, u0+π)×(v0−π, v0+π).
(c) Soit Γle graphe d’une fonction diff´ erentiable h:U0→R. Calculer les fonctions E,F,G:
U0→Rassoci´ ees au param´ etrage ´ evident.
(d) Montrer que
ϕ:R2→T,(u, θ)7→ ((2 +cos(u)) ·cos(θ),(2 +cos(u)) ·sin(θ),sin(u))
preserve la longueur des courbes u7→ (u, θ0).
Exercice 7. (a) Soit T:R3→R3une application lin´ eaire telle que hTv,Twi=hv,wi. Soit Sune
surface r´ eguli` ere et S0=T(S). Remarquer que S0est une surface r´ eguli` ere et que T:S→S0est
une isom´ etrie.
(b) Soit S=Rot(C) la surface de rotation obtenue en tournant la courbe r´ eguli` ere C⊆xz autour
de l’axe z. Montrer que les rotations de Sautour de l’axe zsont des isom´ etries de S.
Exercice 8. Soient ϕ:U0→Uet ϕ0:U0→U0des param´ etrages locaux de Set S0. Alors
h:=ϕ0◦ϕ−1:U→U0est une isom´ etrie si et seulement si Eϕ=Eϕ0,Fϕ=Fϕ0et Gϕ=Gϕ0(nous
les consid´ erons comme des fonctions de U0→R).
Exercice 9. Soit σ:R2→S\ {(0,0,1)}l’inverse de la projection st´ ereographique. Montrer que σ
est conforme. Remarquer que σn’est pas une isom´ etrie.
Exercice 10. Soient Set S0des surfaces r´ eguli` eres et soit h:S→S0un diff´ eomorphisme
conforme. Admettons que pour chaque param´ etrage local ϕ:U0→U⊆S, et chaque sous–
ensemble compact Ω⊆Utel que ϕ−1(∂Ω) est de mesure nulle, l’´ egalit´ e
Aireϕ(Ω)=Aireh◦ϕ(h(Ω))
soit satisfaite. Montrer que hest une isom´ etrie.
Indication : Soit ϕ:U0→Uun param´ etrage local de Set soit ϕ0=h◦ϕ:U0→h(U)
le param´ etrage d´ eduit de ϕ. Montrer que les fonctions σ:=EϕGϕ−F2
ϕ:U0→Ret σ0:=
Eϕ0Gϕ0−F2
ϕ0:U0→Rcoincident.
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Exercice 11. (a)Soit T:R2→R2un isomorphisme. Montrer que Test conforme, i.e. pr´ eserve
les angles, si et seulement si hTe1,Te2i=0 et kTe1k=kTe2k. En d´ eduire que la matrice de Tpar
rapport ` a la base canonique a une des deux formes
a−b
b a
,ou  a b
b−a
.
(b) Soit h:U→Vun diff´ eomorphisme entre deux ouverts de R2. Montrer, ` a l’aide des ´ equations
de Cauchy–Riemann, que hest une application holomorphe si, et seulement si, (i) hest conforme,
et (ii) det Dh(p) est toujours positif.
Exercice 12. Soit Sune surface r´ eguli` ere orient´ ee par un champ normal N. Une structure
conforme 3sur Sest une famille de param´ etrages locaux {ϕj:U0,j→Uj}ayant les propri´ et´ es
suivantes :
C1 ∪jUj=S;
C2 ϕjest compatible avec l’orientation, c’est ` a dire, Nϕj=Nsur Uj;
C3 ϕjest conforme.
Soit {ϕj:U0,j→Uj}une famille de param´ etrages de Stelle que ∪jUj=S.
Montrer que si {ϕj}donne une structure conforme sur S, alors {ϕj}donne une structure de surface
de Riemann sur S.
3. Ce n’est pas la d´ efinition usuelle.
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