Licence Mathématiques 2010/2011 Géométrie différentielle TD3

Licence Math´ematiques 2010/2011
G´eom´etrie diff´erentielle
TD3 Courbes gauches : courbure, torsion, etc
(1) Soit γ:I→R3un arc param´etr´e bir´egulier. On note (τ(t), ν(t), β(t)) le rep`ere de
Frenet au point γ(t), et K(t) et T(t) la torsion en ce point.
Ecrire τ0(t), ν0(t) et β0(t) dans la base (τ, ν, β) en fonction de ||γ0(t)||, de Ket de
T.
V´erifier det(τ, τ0, τ00) = −||γ0||3K2T, et en d´eduire la formule pour la torsion
T(t) = −det(γ0,γ00 ,γ000 )
||γ0∧γ00 ||2.
(2) D´eterminer le rep`ere de Frenet, la courbure et la torsion des arcs d´efinis par les
param´etrisations suivantes :
(a) x(t) = acos t, y(t) = asin(t), z(t) = bt, t ∈[0,2π].
(b) x(t) = t, y(t) = t2
2, z(t) = t3 6, t ∈R
(c) x(t) = et, y(t) = e−t, z(t) = √2t, t ∈R
(3) On consid`ere la courbe C∞de R3d´efinie par γ(t)=(t, e−1
t2,0) si t < 0, γ(t) =
(t, 0, e−1
t2) si t > 0 et γ(0) = (0,0,0).
(a) Montrer que γest r´eguli`ere, v´erifier que les seuls points de courbure nulle sont
t= 0 et t=±q2
3.
(b) D´eterminer la limite du plan osculateur `a la courbe lorsque ttend vers 0+et
vers 0−.
(c) Montrer que la torsion est nulle en tout point bir´egulier, mais que la courbe
n’est pas plane.
(4) Soit γ:I→R3une courbe param´etr´ee par sa longueur d’arc, v´erifiant γ(0) = 0.
On note (τ(0), ν(0), β(0)) le rep`ere de Frenet au point de param`etre 0 (suppos´e
bir´egulier), et K0et T0la courbure et la torsion en ce point.
Donner le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 3 de γen t= 0 (dans la base de Frenet).
En d´eduire un d´eveloppement limit´e de la distance de γ(t) au plan osculateur `a γ
en 0. Montrer que si T06= 0, la courbe traverse son plan osculateur en 0.
(5) Soit Cle support d’une courbe param´etr´ee bir´eguli`ere lisse param´etr´ee par sa
longueur d’arc s∈I7→ M(s). On note (τ(s), ν(s), β(s)) le rep`ere de Frenet au
point de param`etre s. On suppose que les plans osculateurs de Cpassent tous par
un mˆeme point Ω.
(a) Justifier que pour tout sdans I(~ ΩM(s), β(s)) = 0.
(b) On se propose de montrer que βest constant sur I. Pour cela on raisonne par
l’absurde en supposant qu’il existe s0dans Itel que dβ
ds (s0)6= 0.
(i) Justifier qu’il existe un intervalle Jsur lequel dβ
ds est non nul.
(ii) Montrer ∀s∈J, (~ ΩM(s), ν(s)) = 0.
(iii) Montrer ∀s∈J, (~ ΩM(s), τ(s)) = 0.
(iv) Conclure
1

2
(6) Courbe gauche trac´ee sur une sph`ere On suppose que c:I→R3est une
courbe lisse bir´eguli`ere param´etr´ee par la longueur d’arc. On note (τ, ν, β) le rep`ere
de Frenet au point de param`etre s,Kla courbure et Tla torsion.
On suppose dans un premier temps que cest trac´ee sur la sph`ere de centre Oet de
rayon r, c’est-`a-dire que pour tout sdans I,|| ~ Oc(s)||2=r2.
(a) Montrer que τ(s) et ~ Oc(s) sont orthogonaux.
(b) En d´eduire qu’il existe des fonctions C∞aet bde Idans Rv´erifiant
∀s∈I, a(s)2+b(s)2= 1 et
∀s∈I, ~ Oc(s) = a(s)ν(s) + b(s)β(s).
(c) D´eriver cette derni`ere ´equation; en d´eduire aet ben fonction de Ket T.
(d) En d´eduire que Ket Tv´erifient r2= ( 1
K)2+ (( 1 K)01 T)2. En particulier, le rayon
de courbure de cest forc´ement inf´erieur `a r.
(e) R´eciproquement, on suppose maintenant que Ket Tv´erifient
0 = ( 1
K)2+ (( 1 K)01 T)2.
(i) Montrer qu’on peut alors trouver des fonctions aet b C∞de Idans R
telles que s7→ ~ Oc(s)−aν(s)−bβ(s) soit constante sur I.
(ii) V´erifier que a2+b2est constante.
(iii) En d´eduire que cest trac´ee sur une sph`ere.
(7) On d´efinit une h´elice g´en´eralis´ee comme une courbe r´eguli`ere de R3dont la tangente
fait un angle constant avec une direction fixe. Soit γ:I→R3une courbe bir´eguli`ere
C∞de courbure Ket de torsion Tpartout non nulles.
(a) Montrer que γest une h´elice g´en´eralis´ee si et seulement si K
Test constant.
(b) Montrer que γest une h´elice g´en´eralis´ee si et seulement si il existe un plan fixe
contenant le vecteur normal ν(t) pour tout t.
(c) Montrer que γest une h´elice g´en´eralis´ee si et seulement si β(t) fait un angle
constant avec une direction fixe.
(8) On consid`ere dans R3une courbe plane γbir´eguli`ere param´etr´ee par sa longueur
d’arc σ7→ m(σ). On note r(σ) le rayon de courbure au point m(σ), et (t, n) le rep`ere
de Frenet en ce point. On consid`ere de plus un vecteur unitaire ~ knormal au plan
de γ, et on d´efinit une h´elice Cpar la param´etrisation σ7→ M(σ) = m(σ) + aσ~ k,
o`u aest une constante.
Exprimer le rayon de courbure Ret la torsion Tde Cen fonction de r; v´erifier en
particulier que R
rest constant.
Exprimer le rep`ere de Frenet (τ, ν, β) au point M(σ) de Cen fonction de t, n et ~ k.
(9) Soit Γ une courbe lisse trir´eguli`ere param´etr´ee par sa longueur d’arc. On note C(s)
le centre de courbure `a Γ au point de param`etre set par Γ1la courbe param´etr´ee
par s7→ C(s). On suppose que Γ est de courbure constante.
(a) Montrer que Γ1est ´egalement de courbure constante. Si (τ(s), ν(s), β(s)) et
(τ1(s), ν1(s), β1(s)) d´esignent les rep`eres de Frenet aux points de param`etre s
de Γ et Γ1, v´erifier qu’on a τ1=β,ν1=−νet β1=−τ, avec ∈ {−1,1}.
(b) Que peut-on dire de la torsion de Γ1si Γ est de plus de torsion constante ?