R´ESUM´E 4 PROPRIETES METRIQUES DES SURFACES 1. La

R´ ESUM ´ E 4
PROPRIETES METRIQUES DES SURFACES
1. La premi`ere forme fondamentale
Soit Sune surface r´eguli`ere dans R3. Pour tout p∈S, le plan vectoriel
tangent TpSh´erite du produit scalaire de R3. On le note gp: pour X, Y ∈TpS,
gp(X, Y ) =< X, Y >. Muni de gp,TpSest un espace vectoriel euclidien. La
premi`ere forme fondamentale de Sest le champ de produits scalaires p7→ gp.
Soit (ϕ, U) une carte de S. On note (u1, u2) = (u, v) les coordonn´ees locales. Soit
(u, v)∈Uet p=ϕ(u, v). On sait que {e1=∂ϕ
∂u1(u, v),e2=∂ϕ ∂u2(u, v)}est une
base de TpS. On note gi,j (u, v) = gp(ei,ej) les coefficients de gϕ(u,v)dans cette
base. On note [G]=[gi,j ] la matrice des coefficients. Soit (ϕ, U) une nouvelle
carte. On note hle changement de cartes telle que ϕ=ϕ◦het (u, v) = h(u, v).
La matrice [G] des coefficients de gpdans la nouvelle carte se d´eduit de [G] par la
formule [G] = t[J][G][J], o`u [J] est la matrice jacobienne de hen (u, v).
2. Longueur des courbes
Soit Sune surface r´eguli`ere dans R3et γ:I→Sune courbe param´etr´ee de
classe C1. Etant donn´es a<bdans I, la longueur de l’arc de courbe correspondant
s’exprime `a l’aide de la premi`ere forme fondamentale :
l(γ;a, b) = Zb
a
(gγ(t)(γ0(t), γ0(t)))1/2dt.
Si γ([a, b]) ⊂ϕ(U), o`u (ϕ, U) une carte de Set si on ´ecrit γ(t) = ϕ(u1(t), u2(t)),
cela devient
l(γ;a, b) = Zb
aXgi,j
dui
dt
duj
dt 1/2dt.
3. Aire d’une surface
Soit (ϕ, U) une carte d’une surface r´eguli`ere Sdans R3et Aune partie
mesurable de U. On d´efinit l’aire de B=ϕ(A) par
aire(B) = Z ZA k∂ϕ
∂u ∧∂ϕ ∂v kdudv
On a l’´egalit´e
k∂ϕ
∂u ∧∂ϕ ∂v k= (det[G])1/2
Cette d´efinition ne d´epend pas de la carte choisie.

4. La deuxi`eme forme fondamentale
Soit Sune surface r´eguli`ere orient´ee dans R3. On note n(p) son vecteur
normal en p∈S. L’application de Gauss est l’application p7→ n(p) de Sdans la
sph`ere unit´e. L’application lin´eaire tangente en p, not´ee Tpnest un endomorphisme
de l’espace vectoriel euclidien TpS, appel´e endomorphisme de Weingarten. Il est
sym´etrique. On note Lpla forme bilin´eaire sym´etrique associ´ee `a Tpn: pour
X, Y ∈TpS,
Lp(X, Y ) = gp(X, TpnY).
La deuxi`eme forme fondamentale de Sest le champ de formes bilin´eaires
sym´etriques p7→ Lp. Consid´erons la base {∂ϕ
∂u (u, v),∂ϕ ∂v (u, v)}de TpS(o`u
p=ϕ(u, v)) associ´ee `a une carte directe (ϕ, U )). La relation ci-dessus s’´ecrit ma-
triciellement
[L] = [G][Tpn],
o`u on a introduit les matrices dans cette base. Les coefficients de Lsont donn´es
par
Li,j (u, v) = −<n(ϕ(u, v)),∂2ϕ
∂ui∂ui(u, v)> .
Ces relations permettent de calculer [Tpn].
Les valeurs propres κ1et κ2de Tpns’appellent les courbures principales de
Sen p; les directions propres associ´ees s’appellent les directions principales. La
courbure de Gauss Ket la courbure moyenne Hde Sen psont d´efinies par
K=κ1κ2= det Tpnet H=1
2(κ1+κ2) = 1 2TraceTpn.
5. Le Th´eor`eme de Gauss
Th´eor`eme (theorema egregium). La courbure de Gauss Kd’une surface
r´eguli`ere Sdans R3ne d´epend que de la premi`ere fondamentale.
Explicitement, K=R2 1
12 , o`u
Rl
ijk =∂Γljk
∂ui−∂Γlik ∂uj+ Γm
jkΓl im −Γm ikΓl jm
Γk
ij =gkl
2∂gjl ∂ui+∂gli ∂uj−∂gij ∂ul
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6. Isom´etries locales et applications conformes
Soient Set Sdeux surfaces r´eguli`eres. On dit qu’une application dif-
f´erentiable fde Sdans Sest une isom´etrie locale si pour tout p∈S, l’application
lin´eaire tangente Tpfest une isom´etrie de TpSsur Tf(p)S. Si, de plus, fest une
bijection de Ssur S, on dit que fest une isom´etrie. On dit que deux surfaces Set
Ssont isom´etriques si il existe une isom´etrie de l’une sur l’autre. On dit qu’elles
sont localement isom´etriques si tout point pde Sadmet un voisinage isom´etrique
`a un sous-ensemble de Set tout point pde Sadmet un voisinage isom´etrique `a
un sous-ensemble de S.
Th´eor`eme (Gauss). Soit f:S→Sune isom´etrie locale. Alors, la courbure de
Gauss de Sen pest ´egale `a la courbure de Gauss de Sen f(p).
On rappelle qu’on appelle similitude d’un espace vectoriel euclidien Edans
un autre Eune application lin´eaire inversible de Edans Equi conserve les angles.
On dit qu’une application diff´erentiable fde Sdans Sest conforme si pour tout
p∈S, l’application lin´eaire tangente Tpfest une similitude de TpSsur Tf(p)S.
Th´eor`eme (admis). Toute surface r´eguli`ere admet un atlas constitu´e de cartes
conformes.
7. Transport parall`ele et g´eod´esiques
Soit Sune surface r´eguli`ere dans R3. Pour tout p∈S, on note Ppla
projection orthogonale de R3sur TpS. Etant donn´es une courbe param´etr´ee
γ:I→Set un champ de vecteurs tangents Xd´efini sur γ(I), on d´efinit la
d´eriv´ee covariante de Xle long de γpar
D
dtX(t) = Pγ(t)
d
dtX(t).
Proposition. Etant donn´es S, γ comme ci-dessus , t0∈Iet X0∈Tγ(t0)S, le
probl`eme de Cauchy
DX/dt = 0
X(0) = X0
admet une solution et une seule X:t∈I7→ X(t)∈Tγ(t)S.
On d´efinit alors le transport parall`ele d’un vecteur tangent le long de γpar
H(t, t0)X0=X(t).
Proposition. Le transport parall`ele H(t, t0) : Tγ(t0)S→Tγ(t)Sest isom´etrique.
On dit qu’une courbe param´etr´ee γ:I→Sde classe C2est g´eod´esique si
son vecteur d´eriv´ee est parall`ele le long de γ, c’est-`a-dire si elle v´erifie Dγ0/dt = 0.
Cela est ´equivalent `a dire que pour tout t∈I,γ00 (t) est normal `a la surface en
γ(t).
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Proposition. Etant donn´es p∈Set X∈TpS, il existe une courbe param´etrique
g´eod´esique maximale et une seule γ:I→Stelle γ(0) = pet γ0(0) = X.
Dans une carte, l’´equation du transport parall`ele est
dY k
dt + Γk
ij
dui
dt Yj= 0
et l’´equation des g´eod´esiques est
d2ui
dt2+ Γi
jk
duj
dt
duk
dt = 0
Th´eor`eme. Si une courbe p.p.a.c. γ: [a.b]→Sde classe C2r´ealise le minimum
de la longueur des chemins entre γ(a)et γ(b), alors γest g´eod´esique.
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