2nde-fonctions-homog.. - Mathématiques au lycée Bellepierre

TABLE DES MATIÈRES – page -1
Chapitre 11 – Fonctions homographiques
Chapitre 11 – Fonctions homographiques
Table des matières
I
Exercices
I-1
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
7
Une courbe de fonction homographique en détail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-5
14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-6
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-6
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-6
II Cours
II-1
1
Rappels – Inverse d’un nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
2
Fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
3
Fonctions homographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
3a
Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
3b
Ensemble de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-2
3c
Antécédent d’un nombre par une fonction homographique
3d
Signe d’une fonction homographique et inéquation . . . . . . . . . . . . . . . . II-2
2de – Mathématiques
TDM
. . . . . . . . . . . II-2
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I EXERCICES – page I-1
Chapitre 11 – Fonctions homographiques
I
Exercices
Fonction inverse
1
La fonction f est définie par f (x) =
1
1
, on l’appelle la fonction inverse parce que est l’inverse de x.
x
x
1. Compléter le tableau ci-dessous par des nombres décimaux.
x
−5 −4 −2 −1 −0, 5 −0, 2 0
0,2 0,5
1
2
4
5
1
x
2. Tracer ci-dessous la représentation graphique de la fonction f .
3. Dresser le tableau de variation de la fonction inverse.
4. La fonction inverse est-elle linéaire ? affine ? Justifier.
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
−1
1
2
3
4
−2
−3
−4
−5
2
Répondre aux questions ci-dessous en donnant les valeurs exactes.
1. Par la fonction inverse, quelle est l’image
2
(c) de −100 ?
(d) de −0, 3 ?
(e) de 106 ?
(a) de 7 ?
(b) de ?
3
2. Par la fonction inverse, un seul nombre n’a pas d’image. Lequel ?
3. Par la fonction inverse, quel est l’antécédent
2
(c) de −100 ?
(d) de −0, 3 ?
(e) de 106 ?
(a) de 7 ?
(b) de ?
3
4. Par la fonction inverse, un seul nombre n’a pas d’antécédent. Lequel ?
1
5. Si x 6= 0, quel est l’inverse de ?
x
2de – Mathématiques
TDM
(f) de 10−5 ?
(f) de 10−5 ?
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I EXERCICES – page I-2
Chapitre 11 – Fonctions homographiques
3
Donner les solutions exactes des équations suivantes :
1
(a)
=9
x
1
5
(b)
=−
x
7
1
(c)
= 1, 3
x
√
2
1
(d)
=
x
2
4
Sur l’intervalle [0 ; +∞[, la fonction inverse
1. admet-elle un minimum ?
2. admet-elle un maximum ?
5
1
1
...
6, 9
7
Citer la propriété de la fonction inverse utilisée ci-dessus, en précisant l’intervalle.
1
1
...
Compléter par le signe < ou > sans effectuer de calcul : −9 . . . − 6 donc
−9
−6
Citer la propriété de la fonction inverse utilisée ci-dessus, en précisant l’intervalle.
1
1
Compléter par le signe < ou > : −2 . . . 4
...
−2
4
Peut-on dire que la fonction inverse est décroissante sur ] − ∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ ?
1. a) Compléter par le signe < ou > sans effectuer de calcul : 6, 9 . . . 7 donc
b)
2. a)
b)
3. a)
b)
6
Dans chaque cas, compléter par le signe < ou > sans effectuer de calcul.
1
1
...
13
13, 02
1
1
...
(4)
−0, 37
−0, 3
(1)
2de – Mathématiques
1
1
...
5, 3
5, 28
1
1
√ ...
√
(5)
3+ 2
5+ 2
(2)
TDM
1
1
...
−7
−7, 3
1
1
...
(6)
π+1
π
(3)
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I EXERCICES – page I-3
Chapitre 11 – Fonctions homographiques
Fonctions homographiques
7
Une courbe de fonction homographique en détail
On considère la fonction définie par f (x) =
−2x + 4
.
x−3
1. a) Calculer l’image de 5 par la fonction f .
b) Écrire le calcul détaillé de la calculatrice.
2. Compléter les tableaux de valeurs ci-dessous. Arrondir au 10e.
3. Pour une certaine valeur de x, on constate que f (x) n’est pas définie (n’existe pas). Pour
quelle valeur de x ?
4. Tracer soigneusement la représentation graphique de la fonction f dans le repère de la page
suivante.
5. Dresser le tableau de variation de la fonction f .
x
f (x)
x
−4
−2
0
1
1,5
2
2,5
2,7
3
3,3
3,5
4
4,5
5
7
10
f (x)
4
3
2
1
−4
−3
−2
−1
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
2de – Mathématiques
TDM
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I EXERCICES – page I-4
Chapitre 11 – Fonctions homographiques
8
La fonction f est définie par f (x) =
2x + 5
.
x−4
1. a) L’image de 3 par la fonction f est-elle définie (existe-t-elle) ?
b) Si la réponse est oui, calculer en détaillant l’image de 3 par f .
2. Mêmes consignes a) et b) pour les nombres : 4 ; −4 ; −6 ; −2, 5.
9
Même exercice que l’exercice 8 pour la fonction f définie par f (x) =
3x − 5
1
5
, et pour , puis .
x+2
3
3
Si l’image existe, il faut en donner la valeur exacte.
10
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f définie par f (x) =
−2x + 4
x−3
−4
(e) f (x) =
2x + 3
2. Même question dans chacun des cas suivants : (a) f (x) =
(c) f (x) =
2x
x+4
(d) f (x) =
x−3
x
1
x
4x − 3
x−5
2x + 7
(f) f (x) =
3x − 5
(b) f (x) =
11
3x − 2
.
x+1
Répondre aux questions suivantes en détaillant et en donnant les valeurs exactes.
La fonction f est définie par f (x) =
1. Calculer les images de 9 et de −4.
2. Calculer les antécédents de 5 et de −6.
12
La fonction f est définie par f (x) =
3x + 4
x−1
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f.
2. Avec la calculatrice, tracer la courbe de la fonction f sur l’intervalle [−8 ; 8].
3. Dresser le tableau de variation de la fonction f
4. Résoudre l’équation f (x) = 6
(a) graphiquement avec la calculatrice ;
(b) algébriquement.
5. La fonction g est définie par g(x) = 2x − 4
a) Tracer la représentation graphique de la fonction à la calculatrice dans le même repère.
b) Résoudre l’équation f (x) = g(x) graphiquement à la calculatrice.
c) Résoudre l’équation f (x) = g(x) algébriquement.
2de – Mathématiques
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I EXERCICES – page I-5
Chapitre 11 – Fonctions homographiques
13
La fonction f , définie par f (x) =
ci-dessous par la courbe Cf .
−2x + 5
sur [−4 ; 3[ ∪ ]3 ; 10], est représentée graphiquement
x−3
Le but de l’exercice est de donner une méthode pour résoudre les inéquations telles que
f (x) > 0 ou f (x) < 0.
4
4
3
3
2
2
1
1
x=3
Cf
0
−4
-1
−3
−2
−1
−1
-2
−2
-3
−3
-4
−4
-5
−5
-6
−6
-7
−7
-8
−8
-9
−9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y = −2
1. Compléter le tableau de signes ci-dessous (on rappelle que la règle des signes de la division
est la même que la règle des signes de la multiplication).
x
Signe de − 2x + 5
10
−4
Signe de x − 3
Signe de
−2x + 5
x−3
2. À l’aide de ce tableau, résoudre les inéquations suivantes, c’est à dire donner les ensembles de
solutions.
(a) f (x) > 0
(b) f (x) < 0
3. Vérifier graphiquement les réponses du 2.(a) et du 2.(b).
2de – Mathématiques
TDM
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I EXERCICES – page I-6
Chapitre 11 – Fonctions homographiques
14
Dans chaque cas, dresser un tableau de signe de f (x) selon les valeurs de x, puis résoudre l’inéquation
indiquée. Vérifier graphiquement avec la calculatrice.
6x + 10
−4
2x + 3
f (x) 6 0
(2) f (x) =
f (x) < 0
(3) f (x) =
f (x) > 0
(1) f (x) =
x−5
−2x
x+3
15
La fonction f , définie par f (x) =
ci-dessous par la courbe Cf .
17
sur [−8 ; −2[ ∪ ] − 2 ; 8], est représentée graphiquement
x+2
L’objectif de cet exercice est de résoudre l’inéquation f (x) > 5
1. Résolution graphique.
Par lecture graphique, donner approximativement l’ensemble des solutions de l’inéquation
f (x) > 5.
2. Résolution algébrique.
On a l’équivalence : f (x) > 5 ⇐⇒ f (x) − 5 > 0
17
− 5 au même dénominateur. On doit obtenir une expression de
a) Réduire l’expression
x+2
ax + b
la forme
.
x+2
b) Étudier ensuite le signe de cette expression selon les valeurs de x en dressant un tableau
de signes.
c) Donner enfin l’ensemble des solutions.
x = −2
25
20
15
10
5
−8
−6
−4
Cf
−2
2
4
6
−5
−10
−15
16
Résoudre les inéquations : (1)
2de – Mathématiques
−20
4x − 1
62
x−6
(2)
TDM
9
61
7 − 2x
(3)
6 − 7x
> −4
3x
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II COURS – page II-1
Chapitre 11 – Fonctions homographiques
II
1
Cours
Rappels – Inverse d’un nombre
• Deux nombres sont inverses l’un de l’autre si leur produit est égal à 1.
• Le nombre 0 n’a pas d’inverse.
1
• L’inverse d’un nombre a non nul est
a
b
a
• L’inverse de est
b
a
1
n
• L’inverse de 10 est 10−n , autrement dit : n = 10−n
10
1
−1
• L’inverse d’un nombre a non nul est a , autrement dit : = a−1
a
-1
• La touche inverse d’une calculatrice est : sur une TI x
sur une CASIO SHIFT [x-1]
2
Fonction inverse
Capacités attendues
• Connaître les variations de la fonction inverse.
• Représenter graphiquement la fonction inverse.
Définition
La fonction inverse est définie par f (x) =
1
x
Ensemble de définition
1
On sait que n’existe pas donc la fonction in0
verse n’est pas définie lorsque x = 0.
Tableau de variations
x −∞
+∞
1
x
• On dit que : la fonction inverse est définie
sur ] − ∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[
• ou que : l’ensemble de définition de la
fonction inverse est ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[
3
0
Représentation graphique : voir exercice 1
Fonctions homographiques
Capacité attendue : identifier l’ensemble de définition d’une fonction homographique.
3a
Définition et exemples
Définition
Soient quatre nombres a, b, c, d, tels que c 6= 0 Une fonction f définie par f (x) =
appelée une fonction homographique.
ax + b
est
cx + d
Exemple de fonction homographique : voir exercice 7 et exemples plus bas.
0x + 1
1
Remarque : la fonction inverse est une fonction homographique, en effet =
x
1x + 0
2de – Mathématiques
TDM
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II COURS – page II-2
Chapitre 11 – Fonctions homographiques
3b Ensemble de définition
ax + b
n’est pas défini lorsque le dénominateur cx + d est égal à zéro.
cx + d
pour trouver la valeur de x telle 2x + 3 = 0, on
résout l’équation.
Exemple 1
−2x + 4
f (x) =
x−3
La valeur de x telle x − 3 = 0 est 3.
Donc l’ensemble de définition de la fonction f
est ] − ∞ ; 3[ ∪ ]3 ; +∞[
2x + 3 = 0
2x = −3
−3
x=−
= −1, 5
2
Donc l’ensemble de définition de la fonction f
est ] − ∞ ; −1, 5[ ∪ ] − 1, 5 ; +∞[
Exemple 2
−4
f (x) =
2x + 3
3c Antécédent d’un nombre par une fonction homographique
Rappel : déterminer le ou les antécédents d’un nombre k revient à résoudre l’équation f (x) = k
Capacités attendues :
• rechercher des antécédents d’un nombre ;
• résoudre une équation se ramenant au premier degré.
Exemple
3x − 2
.
x+1
Calculons le ou les éventuels antécédents de 5.
La fonction f est définie par f (x) =
Résolvons l’équation f (x) = 5 :
3x − 2
= 5 ⇐⇒ 3x − 2 = 5 × (x + 1) ⇐⇒ 3x − 2 = 5x + 5 ⇐⇒ 3x − 5x = 5 + 2
f (x) = 5 ⇐⇒
x+1
7
f (x) = 5 ⇐⇒ −2x = 7 ⇐⇒ x = −
2
7
Donc le nombre 5 a un antécédent par f qui est − = −3, 5 .
2
3d
Signe d’une fonction homographique et inéquation
−2x + 5
Exemple : résoudre l’inéquation
> 0.
x−3
Étdions d’abord le signe de la fonction f , définie par f (x) =
x
Signe de − 2x + 5
−∞
Signe de x − 3
Signe de
−2x + 5
x−3
2, 5
+
0
−
−
−
−
0
+∞
3
+
−2x + 5
sur [−4 ; 3[ ∪ ]3 ; 10].
x−3
−
0
+
−
D’après le tableau de signe ci-dessus, l’ensemble des solutions de l’inéquation
[2, 5 ; 3]
2de – Mathématiques
TDM
−2x + 5
> 0 est
x−3
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