Terminale S Devoir surveillé n°2 : corrigé

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Devoir surveillé n°2 : corrigé
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corDS2S1112
Exercice 1 : 10 pts
Soient f la fonction définie sur R – {- 2} par : f(x) = 2x² + 7x + 5
x + 2 et C sa courbe
représentative.
1° Déterminer les réels a, b, c tels que pour tout x différent de -2,
ax + b + c
x + 2 = (ax + b)(x + 2) + c x + 2
ax + b + c
x + 2 = ax² + (b + 2a)x + 2b + c x + 2
Par identification avec f(x) , il vient 
a = 2
b + 2a = 7
2b + c = 5d’où a = 2, b = 3 et c = -1
Alors f(x) = 2x + 3 – 1
x + 2
2° Déterminer les limites de f à gauche et à droite en - 2. Interpréter graphiquement le résultat.
Pour x = -2 et x < -2, 2x² + 7x + 5 = 8 – 14 + 5 = -1 et x + 2 = 0-
Par quotient de limites, on obtient lim
x→ - 2 et x < -2
f(x) = + ∞
Pour x = -2 et x > -2, 2x² + 7x + 5 = 8 – 14 + 5 = -1 et x + 2 = 0+
Par quotient de limites, on obtient lim
x→ - 2 et x < -2
f(x) = - ∞
Conséquences : la droite d’équation x = -2 est asymptote verticale à C en + ∞ et - ∞
3° Déterminer les limites de f en + ∞ et - + ∞
La fonction f est une fonction rationnelle donc à l’infini, elle a même limite que le rapport de
ses termes de plus haut degré.
lim
x→+ oo
f(x) = lim
x→+ oo
2x²
x = lim
x→+ oo
2x = + ∞ et lim
x→- oo
f(x) = lim
x→- oo
f(x) = - ∞
4° Déterminer la dérivée f ’ de f. Dresser le tableau de variations de f.
La fonction f est dérivable sur son domaine de définition et f ’(x) = 2 + 1
(x + 2)² non nulle
pour tout x de Df.
5° Montrer que la courbe C admet en - ∞ et en + ∞ une droite asymptote d dont on précisera
une équation. Étudier la position de C par rapport à d.
On a : f(x) – (2x + 3) = – 1
x + 2 et lim
x→ - oo
[f(x) - (2x + 3)]= 0
+
et lim
x→ + oo
[f(x) - (2x + 3)]= 0
-
La droite d’équation y = 2x + 3 est asymptote oblique à C en + et - ∞. Elle est située au-
dessus de D en - ∞ et au-dessous en + ∞.
6° Démontrer que le point A(-2 ;-1) est centre de symétrie pour la courbe C.
x
f '
f(x)
−∞
+
+∞

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Le calcul de f(-2+h) + f(-2 – h) pour h petit, donne
2(-2+h) + 3 –1
h + 2(-2-h) + 3 – 1 -h = -8 + 6 = -2 = 2 × (-1) donc A est centre de symétrie.
7° Tracer C et ses éléments remarquables sur la feuille jointe.
Exercice 2 : 4 pts
1. Démontrer
1
que pour tout x > 0, on a : 0 ≤ x + 1– x ≤ 1
2 x
x + 1– x = ( x + 1– x)( x + 1+ x)
( x + 1+ x) = (x + 1 – x) ( x + 1+ x) = 1 ( x + 1+ x)
Or x + 1 ≥ x donc x + 1+ x ≥ 2 x D’où 0 ≤ 1
( x + 1+ x) ≤ 1 2 x
2. En déduire
2
lim
x→+ oo
( )
x + 1– x
0 ≤ lim
x→+ oo
( )
x + 1– x ≤ lim
x→ + oo
1
2 x or lim
x→ + oo
1
2 x = 0
D’après le théorème des gendarmes, on en déduit : lim
x→+ oo
( )
x + 1– x = 0
Exercice 3 : 6 pts
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x² + 1– 2x.
1. Calculer lim
x→ - oo
f(x)
lim
x→ - oo
(x² + 1) = + ∞ et lim
x→+oo
x = + ∞ alors par composition,
1
Penser à la quantité conjuguée
2
Citer le théorème utilisé.

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lim
x→- oo
x² + 1= + ∞ De plus lim
x→- oo
-2x = + ∞
Par addition de limites, lim
x→ - oo
f(x) = + ∞
2. En + ∞, on est en présence d’une forme indéterminée, laquelle ?
+ ∞ - ∞
3. Montrer que pour tout x > 0, f(x) = x 
1 + 1
x² - 2
f(x) = x² + 1– 2x = x²(1 +1
x²) - 2x = x² (1 + 1 x²) - 2x
pour x > 0, x² = x donc f(x) = x (1 + 1
x²) -2x = x
1 + 1
x² - 2
4. En déduire lim
x→ + oo
f(x)
lim
x→+ oo
x = + ∞ et lim
x→+ oo
1 + 1
x² - 2 = -1 d’où lim
x→ + oo
f(x) = - ∞