Novembre 2012

L G
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Novembre 2012
MECA0003-1 - M ÉCANIQUE R ATIONNELLE
Prof. Éric J.M.DELHEZ
Durée de l’épreuve : 2h. Répondez aux différentes questions sur des feuilles
séparées. Indiquez sur chacune de vos feuilles vos nom, prénom et numéro d’ordre.
Question I
Les étudiants ingénieurs civils de l’ULg construisent une fusée à poudre destinée à larguer sur les
campus des autres universités belges une cargaison de tracts ventant les mérites de leurs professeurs.
La masse initiale de la fusée (charge utile + combustible) est m0 . La masse du
combustible emporté par la fusée est mc = γ m0 (γ ∈]0, 1[). Tout au long de la phase
de combustion, les gaz de combustion sont éjectés à la vitesse relative constante w
par rapport à la fusée avec un angle β (constant) par rapport à la verticale. L’éjection
de la masse se produit à taux constant et se termine au temps tc .
On assimile la fusée à un point matériel plongé dans un champ de pesanteur
uniforme. On ignore la résistance de l’air. Initialement, la fusée est au repos.
i. Écrivez la loi de variation de la masse de la fusée en fonction du temps.
ii. Écrivez l’équation différentielle vectorielle du mouvement de la fusée durant
la phase de combustion.
iii. Déterminez la condition sur les paramètres pour que la fusée décolle dès la
mise à feu.
iv. Déterminez la norme et la direction de la vitesse de la fusée à la fin de la phase
de combustion.
w
β
Question II
On étudie le mouvement d’un point matériel de masse m qui glisse sans frottement sur une courbe
de guidage circulaire, de rayon a, située dans un plan vertical et tournant à la vitesse angulaire constante
Ω autour d’un axe vertical tangent au cercle.
i. Relevez toutes les forces agissant sur le point matériel et précisez-en les caractéristiques
principales (force appliquée/force de liaison, force conservative, direction).
ii. Écrivez l’équation différentielle vectorielle du mouvement du point matériel.
iii. Établissez une intégrale première scalaire du mouvement et
donnez-en la signification physique éventuelle.
Ω
iv. Exprimez cette intégrale sous forme adimensionnelle en
introduisant les notations suivantes :
g
ω2 = ,
a
τ = ωt,
n2 =
r = 2a sin θ
Ω2
ω2
v. Déterminez la vitesse de rotation Ω pour laquelle un équilibre
relatif existe pour θ = π/3.
vi. Étudiez la stabilité de l’équilibre en θ = π/3 dans les conditions
définies en v. et décrivez qualitativement le mouvement du point
lorsqu’il est écarté légèrement de cette position d’équilibre.
θ
S OLUTION
Question I
i. L’éjection de masse se produisant à taux constant, on a
m(t) = m0 − αt
avec m(tc ) = m0 − mc = m0 (1 − γ), soit
m(t) = m0 −
m0 γ
t
tc
ii. L’équation différentielle vectorielle décrivant le mouvement de la fusée durant la phase de
combustion (t ≤ tc ) s’écrit
ms̈ = mg + P
où s est le vecteur position de la fusée par rapport au point fixe O, position initiale de la fusée, et
où la poussée se calcule suivant
m0 γ
dm
w=−
P=
w
dt
tc
On a donc
ms̈ = mg −
m0 γ
w
tc
ou encore, en divisant par la masse m(t),
s̈ = g −
γw
tc − γt
(1)
iii. Pour que la fusée décolle dès la mise à feu, il faut que son accélération verticale initiale soit
strictement positive, c’est-à-dire
z̈(0) = s̈(0) · Ez > 0
où Ez est l’axe vertical pointant vers le ciel. On doit donc avoir
γ
γ w cos β
−g − (w · Ez ) = −g +
>0
tc
tc
soit
w>
tc g
γ cos β
iv. Après intégration temporelle, l’équation différentielle du mouvement (1) devient
ṡ = g t + w ln|tc − γt| + constante
ou encore
ṡ = g t + w ln(tc − γt) + constante
puisque γ t < tc . La constante peut être déterminée en prenant en compte la condition initiale ṡ = 0.
On obtient
γt
ṡ = g t + w ln 1 −
tc
À la fin de la phase de combustion, en t = tc , on a
ṡ(tc ) = g tc + w ln(1 − γ)
ou encore
ṡ(tc ) = −g tc Ez − w cos β ln(1 − γ)Ez − w sin β ln(1 − γ)Ex
2
où Ex est l’axe horizontal dans le plan vertical définit par Ez et la vitesse w (voir figure). On a donc
kṡ(tc )k =
et
q
[w sin β ln(1 − γ)]2 + [g tc + w cos β ln(1 − γ)]2
tg δ =
w sin β ln(1 − γ)
g tc + w cos β ln(1 − γ)
où δ est l’angle que fait la vitesse par rapport à la verticale (voir figure).
Ez
ṡ(tc )
δ
b
w
Ex
β
Question II
Rν
Ω
eθ
P
b
Ez
mg
er
⊙ez
⊙Rβ
b
O
θ
i. Les forces agissant sur le point P sont
• mg = −mgEz : force appliquée conservative ;
• Rν : force de liaison agissant selon la normale principale au cercle ;
• Rβ : force de liaison agissant selon la binormale au cercle.
ii. L’équation différentielle vectorielle du mouvement du point P s’écrit
ms̈ = mg + Rν + Rβ
où s est le vecteur position de P par rapport au point fixe O.
δ
iii. Introduisant la dérivée temporelle
dans les axes de vecteur de Poisson Ω = ΩEz liés au cercle,
δt
on a
δs
ṡ = + Ω ∧ s
δt
et
δ2 s
δs
δ2 s
δs
s̈ = 2 + 2Ω ∧ + Ω ∧ (Ω ∧ s) = 2 + 2Ω ∧ + (Ω · s)Ω − Ω2 s
δt
δt
δt
δt
3
L’équation de Newton peut alors s’écrire
δ2 s
δs
2
m
+ 2Ω ∧ + (Ω · s)Ω − Ω s = mg + Rν + Rβ
δt 2
δt
δs
Multipliant scalairement cette équation par la vitesse relative
, tangente au cercle, nous
δt
éliminons la force de Coriolis et les forces de liaison :
δs
δs
δs
δ2 s δs
2
−Ω s·
= g·
· + (Ω · s) Ω ·
2
δt δt
δt
δt
δt
et, après intégration temporelle, nous obtenons l’intégrale première scalaire du mouvement
2
1
δs + 1 (Ω · s)2 − 1 Ω2 ksk2 = g · s + constante
2 δt 2
2
(2)
Cette intégrale première ne représente pas la conservation de l’énergie car la force de liaison Rβ
développe une puissance non nulle. On a en effet
δs
+ Ω ∧ s = Rβ · (Ω ∧ s) 6= 0
Rβ · ṡ = Rβ ·
δt
Exprimons ensuite l’intégrale première (2) en fonction de la coordonnée généralisée θ en
introduisant les coordonnées polaires liées au point P dans le plan du cercle. On a
s = r er = 2a sin θ er
δs
= ṙ er + rθ̇ eθ = 2a cos θ θ̇ er + 2a sin θ θ̇ eθ
δt
2
δs = 4a2 θ̇2
δt Ω2 ksk2 = 4a2 Ω2 sin2 θ
Ω · s = 2aΩ sin θ (Ez · er ) = −2aΩ sin θ cos θ
g · s = −2ag sin θ (Ez · er ) = 2ag sin θ cos θ
soit, en remplaçant dans (2),
2a2 θ̇2 + 2a2 Ω2 sin2 θ cos2 θ − 2a2 Ω2 sin2 θ − 2ag sin θ cos θ = constante
(3)
iv. Introduisant τ = ωt, la dérivée temporelle se transforme suivant
d
d dτ
d
=
=ω
dt
dτ dt
dτ
Utilisant ce changement de variable et les nombres sans dimension ω 2 = g/a et n2 = Ω2 /ω 2 ,
l’équation (3) s’écrit
ou encore
dθ
dτ
2
+ n2 (sin2 θ cos2 θ − sin2 θ) − sin θ cos θ = constante
dθ
dτ
2
+ V (θ) = constante
où
V (θ) = −n2 sin4 θ − sin θ cos θ
4
v. Un équilibre relatif existe en θ = π/3 si ce point est un point stationnaire du pseudo-potentiel
V (θ), c’est-à-dire si
dV
dθ
=0
θ= π3
On calcule
dV
= −4n2 sin3 θ cos θ − cos2 θ + sin2 θ
dθ
et
dV
dθ
√
23
θ= π3
= −n
3
4
+
1
2
La vitesse de rotation Ω pour laquelle un équilibre existe en θ = π/3 est donc donnée par
√
Ω2 2 3
2
n = 2 =
ω
9
soit
p √ r
2 3 g
Ω=
3
a
vi. On calcule
d
d2V
=
−4n2 sin3 θ cos θ − cos2 θ + sin2 θ
2
dθ
dθ
= −4n2 sin2 θ(3 cos2 θ − sin2 θ) + 4 sin θ cos θ
√
Dans les conditions envisagées, c’est-à-dire si n2 = 2 3/9, on a alors
√
√
2 3 1 √
d V
2 3 3 3 3
=
−4
·
·
−
+
4
·
· = 3>0
dθ2 θ= π
9 4 4 4
2 2
3
L’équilibre est donc (marginalement) stable puisque la position d’équilibre θ = π/3 est un
minimum du pseudo-potentiel. Si on écarte légèrement le point matériel de sa position d’équilibre,
il présentera de petites oscillations d’amplitude constante autour de celle-ci, tout en tournant à la
vitesse angulaire Ω autour de l’axe Ez .
5
E RREURS
LES PLUS FR ÉQUENTES
Dans les deux questions, de très nombreuses erreurs sont liées à la manipulation incorrecte des
expressions vectorielles.
• Les vecteurs doivent être soulignés pour les distinguer des scalaires. Faute du respect d’une telle
convention d’écriture, beaucoup d’expressions perdent toute signification. Certains passent par
exemple invariablement de l’écriture vectorielle s du vecteur position à une écriture scalaire s qui
n’a aucun sens. D’autres soulignent le temps et en font un vecteur. . .
• Le produit scalaire (noté avec un point) et le produit vectoriel sont des opérations entre deux
vecteurs.
• Dans le plan, un vecteur possède deux composantes. Dans le cas général, lorsqu’il s’agit
d’exprimer ce vecteur dans une base orthonormée, le vecteur doit donc s’exprimer comme la
somme de deux composantes alignées avec les vecteurs de la base. Or, on trouve beaucoup
d’expressions incorrectes du type (α quelconque)
a = kak cos αex
• On ne peut pas écrire des inégalités vectorielles. Or, plus de 50 % des étudiants écrivent des
inégalités impliquant des vecteurs. Des expressions telles que
s̈ > 0,
P > mg,
αw > g
n’ont absolument aucun sens. Certains vont jusqu’à diviser des vecteurs l’un par l’autre.
Question I
i. Plus de 75 % des étudiants sont incapables d’écrire la loi de variation de la masse en fonction
du temps. Les formulations les plus fréquentes ne sont même pas correctes du point de vue
dimensionnel. Il s’agissait pourtant seulement de faire passer une droite par deux points, i.e.
d’ajuster les coefficients d’une loi linéaire pour que
(
m(0) = m0
m(tc ) = m0 − γm0
ii. • La vitesse relative d’éjection w possède une composante horizontale et une composante
verticale. De nombreux étudiant oublient délibérément la composante horizontale et écrivent
indûment w = −w cos βEz .
• L’équation différentielle du mouvement fait intervenir la valeur courante de la masse, i.e. m(t).
On a ms̈ = mg + P et non m0 s̈ = m0 g + P.
iii. Un certain nombre de réponses physiquement inappropriées sont proposées sans que le moindre
doute soit exprimé. Ainsi, pour que la fusée décolle, il faut évidemment que la vitesse w d’éjection
des gaz soit suffisamment grande. Une expression du type
w < −αg cos β
n’est donc pas acceptable. Veillez à toujours examiner le sens physique des réponses que vous
présentez.
iv. • Beaucoup d’étudiants n’identifient pas ce qui dépend du temps dans les expressions qu’ils
manipulent et ne savent dès lors pas intégrer correctement les équations du mouvement. Puisque
m = m(t), on ne peut écrire
Z
m0 γ
m0 γ
wdt =
wt + C
m tc
m tc
On lit aussi
Z
γw
γ tw
dt =
+C
tc − γ t
tc − γ t
ce qui est évidemment faux.
6
• La trajectoire de la fusée n’est pas rectiligne. Il est donc erroné d’exprimer le vecteur position
de la fusée sous la forme s = rex où ex est un vecteur constant oblique.
• L’énoncé demandait de déterminer la norme et la direction de la vitesse à la fin de la phase de
combustion. Pourtant, rares sont les étudiants qui déterminent réellement la direction du vecteur
vitesse, même s’ils ont réussi à calculer l’expression de v. Veuillez répondre aux questions qui
sont posées dans l’énoncé.
Question II
Il est indispensable de faire un dessin reprenant les axes, les points, la coordonnée généralisée et les
forces (avec leur direction si celle-ci est connue).
i. • Le potentiel dont dérive la force de pesanteur n’est pas demandé. Si celui-ci est donné, rappelons
qu’il s’agit d’une fonction scalaire V = mgz où z mesure la hauteur par rapport à un niveau fixe
de référence. Avec les notations utilisées dans cette solution type, on a V = −mgr cos θ. Vérifiez
que les expressions obtenues correspondent bien au sens physique ; ici, on peut vérifier que V
augmente bien si le point s’élève.
• La force de liaison Rν agissant dans la direction de la normale principale à la courbe n’est pas
dirigée selon er , ni selon eθ . Elle est perpendiculaire au cercle (et dans le plan de celui-ci).
• Les forces de liaison ne sont pas des forces conservatives. Elles peuvent par contre, dans certains
cas, développer une puissance nulle. C’est le cas de Rν dans cet exercice.
iii. Seuls 15% des étudiants obtiennent l’intégrale première correcte sous sa forme (2). Il s’agissait
pourtant uniquement de reproduire un raisonnement mené au cours théorique et aussi en répétition.
• Dans cet exercice, la vitesse absolue n’est pas tangente à la courbe en rotation. Multiplier
l’équation de Newton scalairement par la vitesse absolue ne permet donc pas d’éliminer les
deux forces de liaison.
• Au moment d’intégrer par rapport au temps pour obtenir l’intégrale première, il ne faut pas
oublier, si on a déjà exprimé certains produits scalaires, que r et θ dépendent du temps.
iv. On attend une intégrale première adimensionnelle. Cette équation ne doit donc plus faire
apparaı̂tre les paramètres dimensionnels a, g et Ω.
v. • La position d’équilibre ne correspond pas à l’annulation de la vitesse dans l’intégrale première.
• La vitesse de rotation donnée doit avoir les dimensions d’une vitesse de rotation.
vi. Il ne faut pas se contenter de décrire la méthode, il faut l’appliquer.
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