Novembre 2012

LG
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Prof. ´ Eric J.M.DELHEZ
MECA0003-1 - M´ ECANIQUE RATIONNELLE
Novembre 2012
Dur´ ee de l’´ epreuve : 2h. R´ epondez aux diff´ erentes questions sur des feuilles
s´ epar´ ees. Indiquez sur chacune de vos feuilles vos nom, pr´ enom et num´ ero d’ordre.
Question I
Les ´etudiants ing´enieurs civils de l’ULg construisent une fus´ee `a poudre destin´ee `a larguer sur les
campus des autres universit´es belges une cargaison de tracts ventant les m´erites de leurs professeurs.
La masse initiale de la fus´ee (charge utile + combustible) est m0. La masse du
combustible emport´e par la fus´ee est mc=γm0(γ∈]0,1[). Tout au long de la phase
de combustion, les gaz de combustion sont ´eject´es `a la vitesse relative constante w
par rapport `a la fus´ee avec un angle β(constant) par rapport `a la verticale. L’´ejection
de la masse se produit `a taux constant et se termine au temps tc.
On assimile la fus´ee `a un point mat´eriel plong´e dans un champ de pesanteur
uniforme. On ignore la r´esistance de l’air. Initialement, la fus´ee est au repos.
i. ´ Ecrivez la loi de variation de la masse de la fus´ee en fonction du temps.
ii. ´ Ecrivez l’´equation diff´erentielle vectorielle du mouvement de la fus´ee durant
la phase de combustion.
iii. D´eterminez la condition sur les param`etres pour que la fus´ee d´ecolle d`es la
mise `a feu.
iv. D´eterminez la norme et la direction de la vitesse de la fus´ee `a la fin de la phase
de combustion.
wβ
Question II
On ´etudie le mouvement d’un point mat´eriel de masse mqui glisse sans frottement sur une courbe
de guidage circulaire, de rayon a, situ´ee dans un plan vertical et tournant `a la vitesse angulaire constante
Ωautour d’un axe vertical tangent au cercle.
i. Relevez toutes les forces agissant sur le point mat´eriel et pr´ecisez-en les caract´eristiques
principales (force appliqu´ee/force de liaison, force conservative, direction).
ii. ´ Ecrivez l’´equation diff´erentielle vectorielle du mouvement du point mat´eriel.
iii. ´ Etablissez une int´egrale premi`ere scalaire du mouvement et
donnez-en la signification physique ´eventuelle.
iv. Exprimez cette int´egrale sous forme adimensionnelle en
introduisant les notations suivantes :
ω2=g
a,τ=ωt,n2=Ω2 ω2
v. D´eterminez la vitesse de rotation Ωpour laquelle un ´equilibre
relatif existe pour θ=π/3.
vi. ´ Etudiez la stabilit´e de l’´equilibre en θ=π/3 dans les conditions
d´efinies en v. et d´ecrivez qualitativement le mouvement du point
lorsqu’il est ´ecart´e l´eg`erement de cette position d’´equilibre.
Ω
r=2asinθ
θ

SOLUTION
Question I
i. L’´ejection de masse se produisant `a taux constant, on a
m(t) = m0−αt
avec m(tc) = m0−mc=m0(1−γ), soit
m(t) = m0−m0γ
tct
ii. L’´equation diff´erentielle vectorielle d´ecrivant le mouvement de la fus´ee durant la phase de
combustion (t≤tc) s’´ecrit m¨
s=mg+P
o`u sest le vecteur position de la fus´ee par rapport au point fixe O, position initiale de la fus´ee, et
o`u la pouss´ee se calcule suivant
P=dm
dt w=−m0γ tcw
On a donc m¨
s=mg−m0γ
tcw
ou encore, en divisant par la masse m(t),
¨
s=g−γw
tc−γt(1)
iii. Pour que la fus´ee d´ecolle d`es la mise `a feu, il faut que son acc´el´eration verticale initiale soit
strictement positive, c’est-`a-dire ¨z(0) = ¨
s(0)·Ez>0
o`u Ezest l’axe vertical pointant vers le ciel. On doit donc avoir
−g−γ
tc(w·Ez) = −g+γwcosβ tc>0
soit w>tcg
γcosβ
iv. Apr`es int´egration temporelle, l’´equation diff´erentielle du mouvement (1) devient
˙
s=gt+wln|tc−γt|+constante
ou encore ˙
s=gt+wln(tc−γt) + constante
puisque γt<tc. La constante peut ˆetre d´etermin´ee en prenant en compte la condition initiale ˙ s=0.
On obtient
˙
s=gt+wln1−γt
tc
`
A la fin de la phase de combustion, en t=tc, on a
˙
s(tc) = gtc+wln(1−γ)
ou encore ˙
s(tc) = −g tcEz−wcosβln(1−γ)Ez−wsinβln(1−γ)Ex
2

o`u Exest l’axe horizontal dans le plan vertical d´efinit par Ezet la vitesse w(voir figure). On a donc
k˙ s(tc)k=q[wsinβln(1−γ)]2+ [g tc+wcosβln(1−γ)]2
et
tgδ=wsinβln(1−γ)
g tc+wcosβln(1−γ)
o`u δest l’angle que fait la vitesse par rapport `a la verticale (voir figure).
Ex
Ez
β
w
˙
s(tc)
δ
Question II
O
Ω
Ez
⊙ez
er
eθ
θ
P⊙Rβ
mgmg
Rν
i. Les forces agissant sur le point P sont
•mg=−mgEz: force appliqu´ee conservative ;
•Rν: force de liaison agissant selon la normale principale au cercle ;
•Rβ: force de liaison agissant selon la binormale au cercle.
ii. L’´equation diff´erentielle vectorielle du mouvement du point P s’´ecrit
m¨ s=mg+Rν+Rβ
o`u sest le vecteur position de P par rapport au point fixe O.
iii. Introduisant la d´eriv´ee temporelle δ
δtdans les axes de vecteur de Poisson Ω= ΩEzli´es au cercle,
on a
˙
s=δs
δt+Ω∧s
et
¨
s=δ2s
δt2+2Ω∧δs δt+Ω∧(Ω∧s) = δ2s δt2+2Ω∧δs δt+ (Ω·s)Ω−Ω2s
3

L’´equation de Newton peut alors s’´ecrire
mδ2s
δt2+2Ω∧δs δt+ (Ω·s)Ω−Ω2s=mg+Rν+Rβ
Multipliant scalairement cette ´equation par la vitesse relative δs
δt, tangente au cercle, nous
´eliminons la force de Coriolis et les forces de liaison :
δ2s
δt2·δs δt+ (Ω·s)Ω·δs δt−Ω2s·δs δt=g·δs δt
et, apr`es int´egration temporelle, nous obtenons l’int´egrale premi`ere scalaire du mouvement
1
2
δs
δt
2
+1
2(Ω·s)2−1 2Ω2ksk2=g·s+constante (2)
Cette int´egrale premi`ere ne repr´esente pas la conservation de l’´energie car la force de liaison Rβ
d´eveloppe une puissance non nulle. On a en effet
Rβ·˙ s=Rβ·δs
δt+Ω∧s=Rβ·(Ω∧s)6=0
Exprimons ensuite l’int´egrale premi`ere (2) en fonction de la coordonn´ee g´en´eralis´ee θen
introduisant les coordonn´ees polaires li´ees au point P dans le plan du cercle. On a
s=rer=2asinθer
δs
δt=˙rer+r˙
θeθ=2acosθ˙ θer+2asinθ˙ θeθ
δs
δt
2
=4a2˙ θ2
Ω2ksk2=4a2Ω2sin2θ
Ω·s=2aΩsinθ(Ez·er) = −2aΩsinθcosθ
g·s=−2agsinθ(Ez·er) = 2agsinθcosθ
soit, en remplac¸ant dans (2),
2a2˙ θ2+2a2Ω2sin2θcos2θ−2a2Ω2sin2θ−2agsinθcosθ=constante (3)
iv. Introduisant τ=ωt, la d´eriv´ee temporelle se transforme suivant
d
dt =d dτdτ dt =ωd dτ
Utilisant ce changement de variable et les nombres sans dimension ω2=g/aet n2= Ω2/ω2,
l’´equation (3) s’´ecrit
dθ
dτ2
+n2(sin2θcos2θ−sin2θ)−sinθcosθ=constante
ou encore dθ
dτ2
+V(θ) = constante
o`u
V(θ) = −n2sin4θ−sinθcosθ
4

v. Un ´equilibre relatif existe en θ=π/3 si ce point est un point stationnaire du pseudo-potentiel
V(θ), c’est-`a-dire si
dV
dθθ=π
3
=0
On calcule
dV
dθ=−4n2sin3θcosθ−cos2θ+sin2θ
et
dV
dθθ=π
3
=−n23√3
4+1 2
La vitesse de rotation Ωpour laquelle un ´equilibre existe en θ=π/3 est donc donn´ee par
n2=Ω2
ω2=2√3 9
soit
Ω = p2√3
3rg a
vi. On calcule
d2V
dθ2=d dθ−4n2sin3θcosθ−cos2θ+sin2θ
=−4n2sin2θ(3cos2θ−sin2θ) + 4sinθcosθ
Dans les conditions envisag´ees, c’est-`a-dire si n2=2√3/9, on a alors
d2V
dθ2θ=π
3
=−4·2√3
9·3 43 4−3 4+4·√3 2·1 2=√3>0
L’´equilibre est donc (marginalement) stable puisque la position d’´equilibre θ=π/3 est un
minimum du pseudo-potentiel. Si on ´ecarte l´eg`erement le point mat´eriel de sa position d’´equilibre,
il pr´esentera de petites oscillations d’amplitude constante autour de celle-ci, tout en tournant `a la
vitesse angulaire Ωautour de l’axe Ez.
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