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Université Pierre et Marie Curie LICENCE DE SCIENCES ET TECHNOLOGIES LP 112A Année universitaire 2011-2012 Travaux Dirigés de Physique N◦ 1 CINÉMATIQUE Exercice 1 - Rappels. Soit un plan Γ muni d’un repère d’espace R1 (O, ~ex , ~ey ). −−→ 1. Représenter le vecteur position OM d’un point M de coordonnées (x, y) dans ce plan et calculer p −−→ −−→ −−→ sa norme ||OM || = OM · OM . −−→ −−→ 2. Écrire le vecteur unitaire ~er (θ) = OM /||OM || dans le repère R1 en fonction de θ, ainsi que le −−→ vecteur unitaire ~eθ = d~er (θ)/dθ, où θ est l’angle (~ex , OM ). 3. Calculer le produit scalaire ~er · ~eθ et déterminer d~eθ (θ)/dθ. Le point M est désormais mobile : θ est donc une fonction du temps notée θ(t). −−→ 4. Écrire OM (t) dans le repère polaire Rp (O, ~er (θ(t)), ~eθ (θ(t))). 5. Calculer d~er (θ(t))/dt et d~eθ (θ(t))/dt en fonction de θ̇. p −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ 6. Calculer ~vM = dOM /dt, dOM et ds = ||dOM || = dOM · dOM . Quels sont la direction et le −−→ sens du vecteur dOM ? 7. Écrire ~vM dans le repère de Frenet associé à M . 8. Déterminer l’accélération ~aM dans le repère polaire et dans le repère de Frenet. → − → − Soit le repère d’espace R2 (O, ~ex , ~ey , ~ez ) et les vecteurs A et B tels que → − A = Ax~ex + Ay ~ey + Az ~ez et → − B = Bx~ex + By ~ey + Bz ~ez . → − → − 9. Calculer la norme de A et celle de B . → − → − → − 10. Définir la direction et le sens du produit vectoriel A ∧ B = C , ainsi que sa norme en fonction → − → − → − → − des normes des vecteurs A et B et de l’angle α = ( A , B ). 11. Déterminer ~ei ∧ ~ej pour i, j = x, y, z. → − → − → − 12. Déterminer C en fonction des composantes de A et B . 1 Exercice 2 - Cinématique dans un référentiel muni de trois repères d’espace : cartésien, polaire et de Frenet. Calcul des vitesses, accélérations, abscisse curviligne et rayon de courbure le long de la trajectoire d’un mobile. Une particule ponctuelle M décrit une cardioı̈de, dont on rappelle, dans le référentiel fixe R muni du repère S(O, ~ex , ~ey ), l’équation en coordonnées polaires, 1 r(t) = r0 (1 + cos θ(t)), 2 −−→ −−→ où, à l’instant t, r(t) représente la longueur du rayon-vecteur OM et θ(t) l’angle (~ex , OM (t)). Soit I le point de R coı̈ncidant avec M pour θ = 0. On désigne par S 0 le repère (O, ~er (t), ~eθ (t)) associé au point M , les vecteurs ~er et ~eθ étant définis comme dans l’exercice 1. 1. (a) Tracer la courbe représentative de la trajectoire de M dans le repère S. En particulier, signaler les points de la trajectoire associés à θ = 0, θ = π/2 et θ = π. (b) Exprimer dans le repère S 0 les composantes de la vitesse ~v de M dans le référentiel R. Compte tenu de 1-6 en déduire ds en fonction de dθ et, par intégration, s(θ). On utilisera pour cela l’égalité 1 + cos θ 2 θ cos = . 2 2 Trouver le périmètre de la trajectoire. 2. On considère que M décrit sa trajectoire à la vitesse angulaire ω constante. On a donc θ(t) = ωt. (a) À l’aide des résultats de la partie 1, exprimer dans le repère de Frenet la vitesse ~v de M par rapport à R à l’instant t en fonction de r0 , ω et t, et ensuite en fonction de r(t), r0 et ω. (b) Exprimer, en fonction de r0 , ω et t, les composantes vr et vθ dans S 0 de la vitesse ~v , puis déterminer celles, ar et aθ , de l’accélération ~a de M par rapport à R. En déduire l’expression de la norme du vecteur ~a en fonction de r0 , ω et t. (c) Exprimer en fonction de r0 , ω et t la composante tangentielle aT de l’accélération. En utilisant le résultat final de la question précédente, en déduire la composante normale aN du vecteur ~a. On utilisera l’égalité u cos(u) = 1 − 2 sin2 . 2 En déduire enfin le rayon de courbure ρ(t) de la trajectoire au point M en fonction de r0 , ω et t. Exprimer ρ(t) en fonction de r(t) et r0 . Préciser la position du centre de courbure de la cardioı̈de pour θ = 0 et θ = π. 2 Exercice 3 - Cinématique dans un référentiel fixe. Superposition de deux mouvements. 1. Dans un référentiel R fixe muni d’un repère d’espace Ra (O,~i, ~j, ~k), un point matériel mobile M parcourt la trajectoire définie par −−→ −−→ OM (t) = Om(t) + hθ(t)~k, où −−→ Om(t) = R0 cos θ(t)~i + R0 sin θ(t)~j, −−→ θ(t) = ωt étant l’angle (~i, Om(t)), et ω, h, R0 des constantes. −−→ −−→ (a) Calculer la norme ||Om|| du vecteur Om. Quel est le type de mouvement du point m dans le plan Γ(Oxy) ? (b) Le mouvement du point M peut être décrit par la superposition de deux mouvements. Lesquels ? (c) Calculer la vitesse ~v du point M et en déduire que sa norme ||~v || est constante. (d) Calculer le produit scalaire ~v · ~k, et montrer que l’angle (~v , ~k) est constant. → − (e) Compte tenu de la question c, trouver le vecteur unitaire T tangent à la trajectoire au point M dans le sens du mouvement. (f) Déterminer l’accélération ~a du point M . En déduire que ~a est toujours dans un plan Γ1 qui est parallèle au plan Γ(Oxy) et qui contient le point M . (g) Trouver la norme ||~a|| du vecteur ~a. −−→ 2. On considère maintenant le repère Rb (O, ~er , ~eθ , ~k) où ~er est le vecteur unitaire porté par Om et ~eθ est le vecteur unitaire du plan Γ(Oxy) perpendiculaire à ~er dans le sens direct. −−→ −−→ (a) Exprimer Om dans le repère polaire Rp (O, ~er , ~eθ ). Écrire OM dans le repère cylindrique Rb (O, ~er , ~eθ , ~k). En déduire ~v et ~a dans ce dernier repère d’espace. (b) Dans le repère de Frenet associé au point M , déterminer, compte tenu de la question 1-c, la composante tangentielle at de l’accélération ~a (la trajectoire étant orientée dans le sens du mouvement). (c) En déduire, en utilisant le résultat de la question 1-g, la composante normale an de ~a et le rayon de courbure au point M . 3
