TD1

Universit´e Pierre et Marie Curie
LICENCE DE SCIENCES ET TECHNOLOGIES
LP 112A
Ann´ee universitaire 2011-2012
Travaux Dirig´es de Physique N◦1
CIN´ EMATIQUE
Exercice 1 - Rappels.
Soit un plan Γ muni d’un rep`ere d’espace R1(O, ~ex, ~ey).
1. Repr´esenter le vecteur position −−→ OM d’un point Mde coordonn´ees (x, y) dans ce plan et calculer
sa norme ||−−→ OM|| =p−−→ OM ·−−→ OM.
2. ´ Ecrire le vecteur unitaire ~er(θ) = −−→ OM/||−−→ OM|| dans le rep`ere R1en fonction de θ, ainsi que le
vecteur unitaire ~eθ=d~er(θ)/dθ, o`u θest l’angle (~ex,−−→ OM).
3. Calculer le produit scalaire ~er·~eθet d´eterminer d~eθ(θ)/dθ.
Le point Mest d´esormais mobile : θest donc une fonction du temps not´ee θ(t).
4. ´ Ecrire −−→ OM(t) dans le rep`ere polaire Rp(O, ~er(θ(t)), ~eθ(θ(t))).
5. Calculer d~er(θ(t))/dt et d~eθ(θ(t))/dt en fonction de ˙ θ.
6. Calculer ~vM=d−−→ OM/dt,d−−→ OM et ds =||d−−→ OM|| =pd−−→ OM ·d−−→ OM. Quels sont la direction et le
sens du vecteur d−−→ OM ?
7. ´ Ecrire ~vMdans le rep`ere de Frenet associ´e `a M.
8. D´eterminer l’acc´el´eration ~aMdans le rep`ere polaire et dans le rep`ere de Frenet.
Soit le rep`ere d’espace R2(O, ~ex, ~ey, ~ez) et les vecteurs −→ Aet −→ Btels que
−→
A=Ax~ex+Ay~ey+Az~ezet −→ B=Bx~ex+By~ey+Bz~ez.
9. Calculer la norme de −→ Aet celle de −→ B.
10. D´efinir la direction et le sens du produit vectoriel −→ A∧−→ B=−→ C, ainsi que sa norme en fonction
des normes des vecteurs −→ Aet −→ Bet de l’angle α= (−→ A , −→ B).
11. D´eterminer ~ei∧~ejpour i, j =x, y, z.
12. D´eterminer −→ Cen fonction des composantes de −→ Aet −→ B.
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Exercice 2 - Cin´ematique dans un r´ef´erentiel muni de trois rep`eres d’espace :
cart´esien, polaire et de Frenet. Calcul des vitesses, acc´el´erations, abscisse curvi-
ligne et rayon de courbure le long de la trajectoire d’un mobile.
Une particule ponctuelle Md´ecrit une cardio¨ıde, dont on rappelle, dans le r´ef´erentiel fixe Rmuni du
rep`ere S(O, ~ex, ~ey), l’´equation en coordonn´ees polaires,
r(t) = 1
2r0(1 + cos θ(t)),
o`u, `a l’instant t,r(t) repr´esente la longueur du rayon-vecteur −−→ OM et θ(t) l’angle (~ex,−−→ OM(t)). Soit I
le point de Rco¨ıncidant avec Mpour θ= 0. On d´esigne par S0le rep`ere (O, ~er(t), ~eθ(t)) associ´e au
point M, les vecteurs ~eret ~eθ´etant d´efinis comme dans l’exercice 1.
1. (a) Tracer la courbe repr´esentative de la trajectoire de Mdans le rep`ere S. En particulier,
signaler les points de la trajectoire associ´es `a θ= 0, θ=π/2 et θ=π.
(b) Exprimer dans le rep`ere S0les composantes de la vitesse ~v de Mdans le r´ef´erentiel R.
Compte tenu de 1-6 en d´eduire ds en fonction de dθ et, par int´egration, s(θ). On utilisera
pour cela l’´egalit´e
cos2θ
2=1 + cos θ 2.
Trouver le p´erim`etre de la trajectoire.
2. On consid`ere que Md´ecrit sa trajectoire `a la vitesse angulaire ωconstante. On a donc
θ(t) = ωt.
(a) ` A l’aide des r´esultats de la partie 1, exprimer dans le rep`ere de Frenet la vitesse ~v de M
par rapport `a R`a l’instant ten fonction de r0,ωet t, et ensuite en fonction de r(t), r0et
ω.
(b) Exprimer, en fonction de r0,ωet t, les composantes vret vθdans S0de la vitesse ~v, puis
d´eterminer celles, aret aθ, de l’acc´el´eration ~a de Mpar rapport `a R. En d´eduire l’expression
de la norme du vecteur ~a en fonction de r0,ωet t.
(c) Exprimer en fonction de r0,ωet tla composante tangentielle aTde l’acc´el´eration. En
utilisant le r´esultat final de la question pr´ec´edente, en d´eduire la composante normale aN
du vecteur ~a. On utilisera l’´egalit´e
cos(u)=1−2 sin2u
2.
En d´eduire enfin le rayon de courbure ρ(t) de la trajectoire au point Men fonction de r0,
ωet t. Exprimer ρ(t) en fonction de r(t) et r0. Pr´eciser la position du centre de courbure
de la cardio¨ıde pour θ= 0 et θ=π.
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Exercice 3 - Cin´ematique dans un r´ef´erentiel fixe. Superposition de deux mouve-
ments.
1. Dans un r´ef´erentiel Rfixe muni d’un rep`ere d’espace Ra(O,~ i,~ j,~ k), un point mat´eriel mobile M
parcourt la trajectoire d´efinie par
−−→
OM(t) = −−→ Om(t) + hθ(t)~ k,
o`u −−→
Om(t) = R0cos θ(t)
~
i+R0sin θ(t)~ j,
θ(t) = ωt ´etant l’angle (
~
i, −−→ Om(t)), et ω,h,R0des constantes.
(a) Calculer la norme ||−−→ Om|| du vecteur −−→ Om. Quel est le type de mouvement du point mdans
le plan Γ(Oxy) ?
(b) Le mouvement du point Mpeut ˆetre d´ecrit par la superposition de deux mouvements.
Lesquels ?
(c) Calculer la vitesse ~v du point Met en d´eduire que sa norme ||~v|| est constante.
(d) Calculer le produit scalaire ~v ·~ k, et montrer que l’angle (~v,~ k) est constant.
(e) Compte tenu de la question c, trouver le vecteur unitaire −→ Ttangent `a la trajectoire au
point Mdans le sens du mouvement.
(f) D´eterminer l’acc´el´eration ~a du point M. En d´eduire que ~a est toujours dans un plan Γ1qui
est parall`ele au plan Γ(Oxy) et qui contient le point M.
(g) Trouver la norme ||~a|| du vecteur ~a.
2. On consid`ere maintenant le rep`ere Rb(O, ~er, ~eθ,~ k) o`u ~erest le vecteur unitaire port´e par −−→ Om et
~eθest le vecteur unitaire du plan Γ(Oxy) perpendiculaire `a ~erdans le sens direct.
(a) Exprimer −−→ Om dans le rep`ere polaire Rp(O, ~er, ~eθ). ´ Ecrire −−→ OM dans le rep`ere cylindrique
Rb(O, ~er, ~eθ,~ k). En d´eduire ~v et ~a dans ce dernier rep`ere d’espace.
(b) Dans le rep`ere de Frenet associ´e au point M, d´eterminer, compte tenu de la question 1-c,
la composante tangentielle atde l’acc´el´eration ~a (la trajectoire ´etant orient´ee dans le sens
du mouvement).
(c) En d´eduire, en utilisant le r´esultat de la question 1-g, la composante normale ande ~a et le
rayon de courbure au point M.
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