serie primitives

Mr :Khammour.K
4èmeSc-exp et Math
Série n°6 : Primitives
Janvier 2016
Exercice n°1 :
Déterminer les primitives F de f sur I sur chacune des fonctions suivantes.
1)
f ( x)  5 x 4  x 2  2 x  3 I=IR 2) f ( x)  x  2 
4) f ( x) 
2
 x  1
3
I= 1,  5) f ( x) 
x
3x
2
 1
2
3
1 1
I= ,0 3) f ( x)  3  2  2 x I = IR*
2
x
x
x
I=IR
6) f ( x ) 
1  tg 2 x
2015
 
I   0,  7) f ( x)     x  3 I=IR
4
tg x
 2
4
1

8) f ( x)   x    x  x 2  I= IR 9) f ( x)  sin(2x  1)cos5  2x  1 I = IR 10) f ( x) 
2

11) f ( x) 
I   ,   12) f ( x) 
sin x
 cos x  1
5
x
x2  1
I = IR
1
sin 2 x
  
  
I   ,  .
 sin x I = I    ,  13) f ( x) 
2
cos x
cos x
 2 2
 2 2
Exercice n°2:
Vérifier que la fonction f possède des primitives F sur I et déterminer la primitive vérifiant F  x0   y0 .
1) . f ( x)  tan x  tan 3 x
    
I  0,  , F    1 .
 2  4
    
I  0,  , F    1 .
 2  4
1  tan x
cos 2 x
2)
f ( x) 
3)
 
f ( x)  sin x  sin 3 x I=IR F    1 .
4
4)
f ( x) 
x
x2
3
 27 
4
I  3,  F (1)  2 .
Exercice n°3 :
Soit f la fonction définie sur 0,  par : f ( x) 
2 x3  5 x 2  4 x  2
 x  1
2
1) Déterminer les réels a et b tels que pour tout x de 0,  , f ( x)  ax  b 
c
 x  1
2
.
2) En déduire les primitives de f sur 0,  .
Exercice n°4 :
Soit f la fonction définie sur ]-1,1[ par : f ( x) 
1
1  x2
et F sa primitive sur ]-1,1[qui s’annule en 0, et g la
  
fonction définie sur I    ,  par g ( x)  F (sin x) .
 2 2
  
1) Montrer que g dérivable sur I    ,  et déterminer sa fonction dérivée.
 2 2
  
2) En déduire que pour tout x de I    ,  , g(x) = x.
 2 2
 2 
3
3) Calculer F 
 ; F  
 .
 2   2 
Exercice n°5 :
Soit f la fonction définie sur [-2,2] par : f ( x)  4  x2 .
1) a) Montrer que f admet au moins une primitive sur [-2,2] .
2) b) Soit F la primitive de f sur [-2,2] qui s’annule en 0. Etudier la parité de F.


3) Soit G la fonction définie sur 0,   par G(x) = F (2cosx) et C sa courbe dans un repère orthonormé O, i, j .
 
a) Montrer que I  , 0  est un centre de symétrie de C.
2 
b) Calculer G’(x). En déduire que pour tout x de 0,   G( x)    2 x  sin 2 x .
c) Calculer F(1) F(2) et F( 2 ).
Exercice n°6 :
Soit f la fonction définie sur IR par : f ( x) 
1
et F sa primitive qui s’annule en 0.
1  x2
1) Montrer que F est impaire.
1
2) On pose pour tout x de IR* g ( x)  F ( x)  F   .
x
*
a) Calculer g’(x) pour tout x de IR . En déduire que g(x) est constante.
b) Montrer que lim g ( x)  2F (1) .
x 
  
3) On pose u(t) = F (tant) , t    ,  . Calculer u’(t) et en déduire u(t).
 2 2
4) Déterminer F(1) et en déduire lim g ( x) et lim F ( x) .
x 
x 


5) Construire la courbe F dans un repère orthonormé O, i, j .