Equation horaire

L’équation horaire du
mouvement
En mécanique les maths
ne sont jamais bien loin.
Dans le manuel
Quelques exercices 5 6 p97,
Prolongements dans le chapitre 5
« applications de la mécanique »
Mouvement parabolique, mouvement dans un
champ électrostatique.3,4,5 6 p121
Principe
Le mobile est repéré par ses coordonnées, (x,z).
Ce sont des fonctions du temps (x(t), z(t) en mètres.
On connait plutôt les conditions initiales, la vitesse
de départ, les forces.
La fonction primitive, réciproque
de la fonction dérivée.
La primitive d’une fonction constante est une
fonction affine, puisque la dérivée d’une
fonction affine est une fonction constante.
De même la primitive d’une fonction affine
est une fonction polynôme de degré 2.
Cas uniforme
L’accélération est nulle
Donc la vitesse est constante
Donc la position est une fonction affine du
temps.
Cas uniformément accéléré
L’accélération est constante
Donc la vitesse est affine
Donc la position est un polynôme de degré 2
Vers le
bas on
dérive
Position
[m]
Vers le
haut on
intègre
Vitesse
[m.s-1]
Accélérati
on [m.s-2]
aX2/2+bX+
2/2+v.t+x
a.t
Tableau C
récapitulatif
a.t+v
aX+B
a
Maths,
variable X
a
Physique,
variable t
Dans ce tableau
a est en ____, donc c’est une accélération.
v est en ___ donc c’est la vitesse (initiale).
x est en m c’est la position (initiale)
Cinématique, la loi horaire est
donnée
La loi horaire permet de connaître la position
en fonction du temps
C’est la fonction X(t) en m.
Si cette fonction est constante, on ne bouge
pas
Si cette fonction est affine, MU
Si cette fonction est polynôme 2 :
mouvement accéléré.
Remarques
On peut ajouter une colonne au tableau,
pour les mouvement uniformes.
L’accélération est nulle
La vitesse est constante
La position est une fonction affine du temps.
Dynamique, on va de la force, vers
le mouvement.
Les exemples sont : le mouvement dans le
champ de pesanteur : une seule force : le
poids.
Ou bien le mouvement d’une charge dans un
champ électrique, une seule force aussi.
La force(s) est connue, alors l’accélération
aussi.
r
r
F = m.a
De l’accélération vers les
équations horaires.
Il est nécessaire de connaître la force, déjà
dit.
Il faut aussi connaître la vitesse initiale V0
Et la position de départ X0.
Ensuite on remonte dans le tableau, primitive
Une fois pour la vitesse
Deux fois pour la position.
Le mouvement dans le champ de
pesanteur seul
La seule force est le poids.
La seule accélération
r est donc verticale
égale au vecteur g champ de gravitation.
On applique Newton 2
r
r
F r= m.a r
mg = m.a
r r
a=g
Conséquences
Le mouvement est plan (2D)
Les coordonnées sont x(t) et z(t).
X croissante de gauche à droite
Z croissante vers le haut.
L’accélération est toute verticale, de
coordonnée négative.
Pour la verticale axe Z.
Vers le
bas on
dérive
Vers le
haut on
intègre
2
z(t)=-g.t /2+vz0.t+z0
Positio
n [m]
vz(t)= -g.t+vZ0
Vitesse
[m.s-1]
Accéléra
tion
[m.s-2]
az=-g
Physique, variable t
Pour l’horizontale x
Vers le bas
on dérive
X(t)=vxo.t+x0
vx(t)=vxo
Vers le haut
on intègre
ax=0
Physique, variable
t
Position [m]
Vitesse [m.s1]
Accélération
[m.s-2]
Autre mouvement du même type
Le mouvement d’une particule chargée (ion,
proton, électron) dans un champ
électrostatique, électrique constant, est du
même type.
La force, donc l’accélération sont constantes
dans le temps, dans l’espace.
On peut appeler z la coordonnée le long du
champ
La force
r
r
F = q.E
L’accélération
r
r
r F q.E
a= =
m
m
Pour la verticale axe Z.
Vers le
bas on
dérive
Vers le
haut on
intègre
z(t)=qE/m.t2/2+vz0.t+z0
vz(t)= qE/m.t+vZ0
az=qE/m
Physique, variable t
Positio
n [m]
Vitesse
[m.s-1]
Accéléra
tion
[m.s-2]
Pour l’horizontale x, pareil
Vers le bas
on dérive
X(t)=vxo.t+x0
vx(t)=vxo
Vers le haut
on intègre
ax=0
Physique, variable
t
Position [m]
Vitesse [m.s1]
Accélération
[m.s-2]
Conséquence : trajectoire
La composition d’une fonction linéaire du
temps et d’une fonction polynôme de degré
deux du temps donne
Une trajectoire qui ressemble à la courbe de
y=-x² une parabole.
Exemple du calcul le plus simple.