Polynômes - Lionel chaussade

Polynômes
MPSI2
2016-2017
Généralités
1 On considère la suite de polynômes définie par récurrence par :
P0 = 1
∀k ∈ N, Pk+1 = (X 2 + 1)Pk0 − (2k + 1)XPk
Déterminer le degré et le coefficient dominant de Pk .
2 Soit P ∈ K[X], déterminer le degré du polynôme P (X + 1) − P (X).
3 ♥ Trouver une condition nécessaire et suffisante sur (λ, µ) ∈ K2 afin que X 2 + 2 divise X 4 + X 3 + λX 2 + µX + 2.
4 F En développant
n
Y
k
(1 + X 2 ) où n ∈ N, montrer que tout entier s’écrit de façon unique comme une somme
k=0
de puissances de 2.
5 F Résoudre l’équation d’inconnue P ∈ K[X] : (X 2 + 1)P 00 − 6P = 0.
Z k+1
6 F Trouver tous les polynômes P ∈ R[X] tels que : ∀k ∈ Z,
P (t)dt = k + 1.
k
7 ♥F Résoudre les équations suivantes :
a) Q2 = XP 2 b) P ◦ P = P c) P (X 2 ) = (X 2 + 1)P (X)
8 ♥F Soit (a, b) ∈ K2 tel que a 6= b et P ∈ K[X].
a) Exprimer le reste de la division euclidienne de P par (X − a)(X − b) en fonction de P (a) et P (b).
b) Exprimer le reste de la division euclidienne de P par (X − a)2 en fonction de P (a) et P 0 (a).
9 FF Soit t ∈ R et n ∈ N∗ . Déterminer le reste de la division euclidienne dans R[X] de (cos tX + sin t)n par X 2 + 1.
Arithmétique des polynômes
10 Factoriser dans R[X] le polynôme X 8 + X 4 + 1.
11 ♥ Factoriser les polynômes suivants dans R[X] :
a) P = 3X 3 + 3 b) P = X 4 − 5X 2 + 4 c) P = X 4 + 5X 2 + 6
d) P = X 4 + X 2 + 1
e) P = X 4 + 1
12 F Factoriser P = X 6 + 27 dans R[X] puis C[X].
13 F Factoriser X 2n + X n + 1 dans R[X] où n ≥ 1.
14 F Soit (A, B) ∈ K[X]2 tels que A2 |B 2 . Montrer que A|B.
15 FF Décomposer dans R[X] le polynôme : P = X 2n − (2 cos α)X n + 1 pour α ∈ R et n ∈ N∗ .
16 FF Déterminer tous les polynômes divisibles par leur polynôme dérivé.
17 FF Soient (a, b) ∈ (N∗ )2 , déterminer le pgcd de A = X a − 1 et B = X b − 1.
18 ♥FF Soit P ∈ K[X], montrer que P (X) − X divise P ◦ P (X) − X.
1
Chapitre 15
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Racines
19 Montrer qu’il n’existe pas de polynôme P ∈ C[X] tel que :
∀z ∈ C, P (z) = z̄
20 Justifier que ∀(n, p, q) ∈ N3 , 1 + X + X 2 |X 3n + X 3p+1 + X 3q+2 .
21 Soit n ∈ N∗ , montrer que Z = nX n+2 − (n + 2)X n+1 + (n + 2)X − n est divisible par (X − 1)3 .
n
22 Montrer que 2 est racine triple de P = X 4 − 9X 3 + 30X 2 − 44X + 24. En déduire la factorisation de P dans R[X].
23 Que dire d’un polynôme de K[X] dont la fonction polynomiale associée est périodique ?
24 Les polynômes suivants ont-ils une racine réelle ?
1
a) P = X 6 + 3X 2 + 7 b) Q = X 4 + X + 1 c) R = X 5 − X 4 + 7X 2 − 8X − 1
4
25 Soient x , x , x les trois racines complexes de P = 2X 3 − 3X 2 + 6X − 7. Que vaut x2 + x2 + x2 ?
1
2
3
1
2
3
En déduire que P possède une racine dans C \ R.
26 ♥ Le but de l’exercice est de factoriser dans R[X] le polynôme : A = X 7 − X 6 + X 5 − X 4 + X 3 − X 2 + X − 1.
a) Donner les racines de X 3 + X 2 + X + 1.
b) À l’aide d’une racine évidente de A, factoriser A dans C[X].
c) En déduire la factorisation de A dans R[X].
27 ♥ Trouver toutes les racines complexes de P = X 4 + 2X 3 − 4X 2 − 2X + 3.
28 ♥ Montrer que si n ≥ 2, P =
n
X
Xk
k=0
k!
n’a pas de racine multiple.
29 F Le but de l’exercice est de trouver la valeur de cos π .
12
√
√
3+i
− 3+i
a) Déterminer les racines carrées de
et
.
2
2
6
2
b) Effectuer la division euclidienne de X − i par X + i.
c) Factoriser X 6 − i dans C[X].
π
d) En déduire la valeur de cos
.
12
30 F On note x , x , x les racines complexes de P = X 3 + X − 1. Calculer
1
2
3
3
X
x4i .
i=1
31 F (Polynôme réciproque) Soit P = X 5 + 3X 4 + X 3 + X 2 + 3X + 1.
a) Trouver une racine évidente de P .
1
b) En posant Y = X + , trouver toutes les racines de P .
X

x+y+z =1



1 1
1
32 F Déterminer les triplets (x, y, z) ∈ (C∗ )3 tels que :
+ + =1 .


 x y z
xyz = −4
2
Chapitre 15
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33 F Trouver toutes les racines de P = (X + i)6 + (X 2 + 2iX − 1)6 avec leur multiplicité.
34 ♥F Soit a ∈ N et P la fonction polynomiale définie sur R par : P (t) = t3 − (a2 + 2a)t + 2. Le but de l’exercice est
a
a
de trouver a tel que Pa possède 3 racines dans Z. On suppose qu’un tel a existe et on note t1 ≤ t2 ≤ t3 les trois
racines entières de Pa .
a) Montrer en utilisant les relations coefficients-racines que t1 < 0.
b) Montrer t1 < 0 < t2 ≤ t3 < −t1 .
c) En déduire les valeurs de t1 , t2 et t3 .
d) Montrer que P 0 (t2 ) = 0. En déduire la valeur de a.
e) Conclure.
35 FF (Critère d’Eisenstein) Soit P = a X n + a
n−1
+ ... + a1 X + a0 un polynôme à coefficients entiers
n
n−1 X
tel que an 6= 0 et a0 6= 0.
p
a) On suppose que P admet une racine rationnelle r = avec p ∧ q = 1, montrer que p|a0 et q|an .
q
b) Factoriser P = 2X 3 − X 2 − 13X + 5.
c) Le polynôme P = X 3 + 3X − 1 est-il irréductible dans Q[X] ?
36 FF Soit P ∈ C[X] un polynôme non nul tel que : P (X 2 ) + P (X)P (X + 1) = 0.
a) Montrer que si a est racine de P alors a2 l’est aussi.
b) En déduire qu’une racine a de P vérifie a = 0 ou a racine de l’unité.
37 FF Soit P (X) = X n + a
n−1
+ ... + a1 X + a0 ∈ C[X]. Montrer que si ξ est une racine de P , alors :
n−1 X
|ξ| ≤ 1 +
max
0≤k≤n−1
|ak |
38 FF Soit K un corps et a , ..., a des éléments de K deux à deux distincts.
1
n
n Y
X
X − aj
a) Calculer
.
ai − aj
i=1
j6=i
b) On pose A(X) =
n
Y
(X − aj ). Calculer
j=1
n
X
i=1
1
.
A0 (ai )
39 FF Soit (p, q) ∈ (N∗ \ {1})2 avec p ∧ q = 1.
a) Montrer que 1 est la seule racine commune de X p − 1 et X q − 1.
b) En déduire que (X p − 1)(X q − 1)|(X − 1)(X pq − 1).
40 FF Soit P ∈ C[X] avec deg(P ) ≥ 2. Montrer que l’application polynomiale associée à P n’est pas injective.
41 ♥FF Factoriser P = X 5 − 4X 4 + 9X 3 − 21X 2 + 20X − 5 dans R[X] sachant qu’il a 2 racines dont le produit vaut 5.
42 FFF Soit (a, b, c) ∈ C3 avec Card{|a|, |b|, |c|} = 3 tels que : ∀p ∈ [[1, 3]], ap + bp + cp ∈ R. Montrer que (a, b, c) ∈ R3 .
43 FFF On dit qu’un nombre est algébrique s’il est racine d’un polynôme non nul à coefficients dans Z.
a) Montrer que les nombres rationnels sont algébriques.
b) Donner un nombre
√
√irrationnel et algébrique.
c) Montrer que 3 + 7 est
algébrique.
π
d) Montrer que a = cos
est algébrique, en déduire que a est irrationnel.
q 9
√
e) Montrer que α = 3 + 2 2 est algébrique et en déduire une simplification de α.
On peut montrer que π et e ne sont pas algébriques, on dit qu’ils sont transcendants.
44 FFF Soit P ∈ R[X], démontrer que :
∀x ∈ R, P (x) ≥ 0 ⇔ ∃(A, B) ∈ R[X]2 , P = A2 + B 2
Pour le sens direct, on pourra commencer par démontrer qu’une racine réelle de P est de multiplicité paire.
3
Chapitre 15