qcm - Mathématiques du Cnam

SITI, Dept . IMATH
CSC105
QCM sur les pré-requis
Pour suivre ce cours, vous aurez besoin de certaines connaissances mathématiques
que l’on s’efforcera de vous rappeler au fur et à mesure mais il est fortement conseillé
de revoir celles qui vous semblent trop lointaines.
Voici quelques tests pour vous aider à évaluer votre niveau.
Ce sont
soit des questions de cours,
soit des questions de déduction à partir du cours, ne nécessitant pas de
calcul mais un peu de réflexion pour déterminer la bonne réponse et/ou
éliminer les réponses incorrectes.
soit des questions nécessitant quelques calculs intermédiaires pour
déduire les résultats (munissez vous de papier et crayons)
Vous devez pouvoir y répondre sans regarder le cours.
Si cela n’est pas encore le cas, revoyez le cours, comprenez bien les réponses et
recommencez le QCM dans quelques temps, sans le cours.
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
Instructions pour un QCM :
Pour débuter l’exercice, cliquer sur Début, puis
pour chaque question, cliquer sur la case de la réponse qui vous semble correcte (vous pouvez modifier votre réponse en cliquant sur une autre case),
enfin, cliquer sur Fin pour avoir votre note (1 point par question).
Cliquer pour accéder :
Test sur les complexes
(quelques rappels)
Test sur les matrices
Test sur les séries
(quelques rappels)
Test sur l’intégration
(quelques rappels)
Test sur les équations différentielles
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
Début du QCM sur les complexes
(cliquer sur l’encadré pour commencer)
Soient x, y, r des réels, i l’imaginaire pur et le complexe z = x + i y .
1. Cocher une relation correcte ?
i2 = 1
2. Que vaut r , le module de z ?
p
x2 + y2
i 2 = −1
i 2 = −i
x +y
x
tan(x/y)
Atan(y/x)
3. Que vaut θ, la phase de z ? :
y
4. Que vaut z̄, le complexe conjugué de z ?
r e− i θ
x −iy
5. Que vaut
xn
zn
+i
r e2 i θ
(n entier) ?
yn
r n ei n θ
r n (cos(nθ) + i sin(nθ))
6. Que vaut z − z̄ ?
2r
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
2x
2iy
7. Que vaut z z̄ ?
x2
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
r2
1
8. Indiquer la partie relle, Re(z)), et la partie imaginaire, Im(z), de z :
(a) z = (3 + 4i) + (1 − 2i)
Re(z) = 3
Im(z) = 8
Re(z) = 11
Im(z) = −2
Re(z) = 4
Im(z) = 2
(b) z = (3 + 4i)(1 − 2i)
Re(z) = 3
Im(z) = 8
Re(z) = 11
Im(z) = −2
Re(z) = 4
Im(z) = 2
Re(z) = 11
Im(z) = −2
Re(z) = 4
Im(z) = 2
3 + 4i
(c) z =
1 − 2i
Re(z) = −1
Im(z) = 2
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
(d) z = log(rei θ )
Re(z) = log(r )cos(θ)
Im(z) = log(r )sin(θ)
Re(z) = log(r )
Im(z) = θ
Re(z) = log(r )
Im(z) = log(θ)
Im
z2
z3
9. Cocher les bonnes expressions des complexes représentés
dans le plan complexe ci-contre (r ∈ R+ , θ ∈ R+ )
z4
r
z5
θ
z1 R
z6
π
2
(a)
z2 = reiθ
z2 = r
z2 = −r
z2 = i r
z2 = rei
(b)
z4 = r
z4 = −r
z4 = i r
z4 = reiθ
z4 = reiπ
(c)
z5 = re−iθ
z5 = z6∗
z5 = z3∗
z5 =
reiθ+i2π
z5 =
reiθ+iπ
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
Fin du QCM
(cliquer pour avoir votre score)
Pour avoir la correction de ce test, cliquez
sur
et retournez aux pages des
questions du test pour voir les corrections.
[7]qz1
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
Pourcentage :
Legende de la correction :
8 : votre réponse était incorrecte,
4 : votre réponse était correcte,
l indique une solution correcte.
Début du QCM sur les matrices (cliquer sur l’encadré pour commencer)
2 0
2 0
1. Soient A =
et B =
. Cocher les réponses correctes :
0 1
3 1
(a) Que vaut le déterminant de A ?
det(A) = 3
det(A) = 2
det(A) = 1
det(A) = 0
1, 2
0, 1, 2
det(B) = 1
det(B) = 0
1, 2
0, 1, 2
(b) Quelles sont les valeurs propres de A ?
aucune
0
(c) A est-elle inversible ?
oui
non
(d) Que vaut le déterminant de B ?
det(B) = 3
det(B) = 2
(e) Quelles sont les valeurs propres de B ?
aucune
0
(f) B est-elle diagonalisable ?
oui
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
non
2. Soient A =
0
−1
1
0
et B =
2
4
1
2
. Cocher les réponses correctes :
(a) Que vaut le déterminant de A ?
det(A) = −1
det(A) = 0
det(A) = 1
det(A) = 2
1, −1
i, −i
det(B) = 1
det(B) = 0
2, 4
0, 4
(b) Quelles sont les valeurs propres de A ?
aucune
1
(c) A est-elle inversible ?
oui
non
(d) A est-elle diagonalisable dans R ?
oui
non
(e) Que vaut le déterminant de B ?
det(B) = 4
det(B) = 2
(f) Quelles sont les valeurs propres de B ?
aucune
1, 2
(g) B est-elle inversible ?
oui
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
non
(h) B est-elle diagonalisable ?
oui
3. Soient A =
1
2
non
3
. Cocher les réponses correctes :
0
(a) Quelles sont les valeurs propres de A ?
0, 3
1, 3
2, 3
−2, 3
(b) Un vecteur propre associé à la valeur propre 3 est :
(1, 0)
Fin du QCM
(3, 2)
(cliquer pour avoir votre score)
Pour avoir la correction de ce test, cliquez
sur
et retournez aux pages des
questions du test pour voir les corrections.
[7]qalg
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
(2, 3)
(1, 1)
Pourcentage :
Legende de la correction :
8 : votre réponse était incorrecte,
4 : votre réponse était correcte,
l indique une solution correcte.
Début du QCM sur les séries
(cliquer sur l’encadré pour commencer)
1. Etudier la nature (convergente ou divergente) de la série de terme général un pour
4
convergente
divergente
(a) un = n
3
1
convergente
divergente
(b) un =
n
(c) un =
(−1)n
n
2n2 − 1
n
2n − 1
(e) un = 3
n +3
(d) un =
(f) un = √
2
2n + 3
1
(g) un = cos( √ )
2n
(h) un =
sin(an)
n2
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
convergente
divergente
convergente
divergente
convergente
divergente
convergente
divergente
convergente
divergente
convergente
divergente
2. Indiquer le rayon de convergence de la série entière
X 1
(a)
xn
R=1
R = +∞
n!
n≥0
(b)
X
n2 x n
R=2
R=1
R = +∞
R=2
n≥0
(c)
X xn
2n
n≥0
R=1
R = +∞
R=2
(d)
X x 3n+1
3n + 1
n≥0
R=1
R = +∞
R=3
(e)
X
R=0
R = +∞
R=1
R=1
R = +∞
R=2
n!x n
n≥0
(f)
X n2 + 4n − 1
xn
n!
n≥0
3. Indiquer la somme de la série entière
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
(a)
X xn
=
n!
n≥0
1
1−x
ln(1 − x)
ex
(b)
X
xn =
1
1−x
ln(1 − x)
ex
1
x n+1 =
n+1
cos(x)
ln(1 − x)
ex
cos(x)
ln(1 − x)
ex
cos(x)
sin(x)
Arctan(x)
n≥0
(c)
X
n≥0
(d)
X (−1)n
x 2n =
(2n)!
n≥0
(e)
X
(−1)n
n≥0
Fin du QCM
x 2n+1
=
2n + 1
(cliquer pour avoir votre score)
Pour avoir la correction de ce test, cliquez
sur
et retournez aux pages des
questions du test pour voir les corrections.
[7]qserie
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
Pourcentage :
Legende de la correction :
8 : votre réponse était incorrecte,
4 : votre réponse était correcte,
l indique une solution correcte.
Début du QCM sur l’intgration
(cliquer sur l’encadré pour commencer)
Cocher les réponses correctes , a, b et A sont des nombres réels :
Z A
1. a 6= 0,
sin(ax)dx =
−A
non définie
0
Z ∞
2. a 6= 0,
sin(ax)dx =
1
2π
1
2π
(sin(ax))2
2a
(cos(ax))2
2a
0
non définie
0
Z
3. a 6= 0,
sin(ax)cos(ax)dx =
cos(ax)2
Z
4. a 6= 0,
ei a x dx =
−
ei a x
a
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
cos(ax)
−i
ei a x
a
−a ei a x
Z
A
5. a 6= 0,
ei a x dx =
−A
2sin(a A)
a
Z
6.
ei a A
a
0
eibx eiax dx =
1
(cos((a
a+b
Z
7. a 6= 0,
2
+ b)x) + isin((a + b)x)
(x + bx + 1)e
i ax
ei a x
+A
ia
(cliquer pour avoir votre score)
Pour avoir la correction de ce test, cliquez
sur
et retournez aux pages des
questions du test pour voir les corrections.
[7]qintegr
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
+ b)x) − icos((a + b)x)
dx =
b
[x 2 + (b − ia2 )x + 1 − a22 − ia
]
Fin du QCM
1
(sin((a
a+b
3
−[ x3 +
bx 2
2
+ x]
ei a x
+A
a
Pourcentage :
Legende de la correction :
8 : votre réponse était incorrecte,
4 : votre réponse était correcte,
l indique une solution correcte.
Début du QCM sur les équations différentielles
(cliquer sur l’encadré pour commencer)
On note : A et B des constantes quelconques, y 0 (t) =
Cocher les réponses correctes :
dy
dt
(t), y 00 (t) =
d2y
(t).
dt 2
1. Quelle est la solution de y 0 (t) + y(t) = 0 ?
y(t) = A
y(t) = Ae−t
y (t) = Aet
2. Quelle est la solution de y 0 (t) + y(t) = 3 ?
y(t) = 3 + Ae−t
y(t) = 3Ae−t
y (t) = Ae−t + 3t
3. Quelle est la solution de y 0 (t) + y(t) = t ?
y(t) = t + Ae−t
y(t) = t − 1 + Ae−t
y (t) = A(t + 1)e−t
4. Quelle est la solution de y 0 (t) + y(t) = e−t ?
y(t) = t + Ae−t
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
y(t) = t − 1 + Ae−t
y(t) = A(t + 1)e−t
5. Quelle est la solution de y 0 (t) + y(t) = t + e−t ?
y(t) = t + Ae−t
y(t) = t − 1 + Ae−t
y(t) =
A(t + 1)e−t + t − 1
6. Quelle est la solution de y 00 (t) − 2y 0 (t) + y(t) = 0 ?
y(t) = Aeit + Be−it
y(t) = Aet + Be−t
y(t) =
Acos(2t) + Bsin(2t)
7. Quelle est la solution de y 00 (t) + 2y 0 (t) + y(t) = 0 ?
y(t) = Aeit + Be−it
Fin du QCM
y(t) = Aet + Be−t
(cliquer pour avoir votre score)
Pour avoir la correction de ce test, cliquez
sur
et retournez aux pages des
questions du test pour voir les corrections.
[7]qeqd
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
y(t) =
Acos(2t) + Bsin(2t)
Pourcentage :
Legende de la correction :
8 : votre réponse était incorrecte,
4 : votre réponse était correcte,
l indique une solution correcte.
SITI, Dept . IMATH
C’est tout pour le moment en QCM.
Suivez les conseils donnés et continuez réviser
Bon travail
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
Im
Petit rappel de cours sur les complexes
y
Soient i l’unit imaginaire et z un nombre complexe,
i est la racine carrée canonique de −1 (ou encore i 2 = −1).
r
z
+
x
q
R
Les représentations :
. la représentation cartésienne : z = x + i y ,
avec x la partie réelle de z et y sa partie imaginaire,
. la représentation polaire : z = r eiθ = r (cos(θ) + i sin(θ)),
avec r le module de z et θ sa phase
(on rappelle la relation d’Euler : eiθ = cos(θ) + i sin(θ)).
La phase est définie modulo 2π puisque eiθ = ei(θ+2kπ) ∀k ∈ Z
Egalité de 2 complexes :
z = x + i y = r eiθ ,
z 0 = x 0 + i y 0 = r 0 eiθ
. ils ont même partie réelle et même partie imaginaire : z =
. ils ont même module et même phase (modulo 2π) : z =
z0
z0
0
⇔ (x = x 0 , y = y 0 )
⇔ (r = r 0 , θ = θ0 [2π])
Opérations : comme dans R en utilisant i 2 = −1 et (x + iy)(x − iy) = x 2 + y 2 pour
distinguer partie réelle et partie imaginaire, ou les propriétés de l’exponentielle (pour le
polaire).
Complexe conjugé z ∗ de z = x + i y : z ∗ = x − i y = re−i θ
z + z ∗ = 2Re(z) = 2x , z − z ∗ = 2Im(z) = 2y
reiθ
z
z z ∗ = |z|2 = r 2 ,
= −iθ = ei2θ
z∗
re
Logarithme de z : log(z) = log(reiθ ) = log(r ) + iθ
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
Petit rappel de cours sur les suites et séries
Suite de fonctions et convergence :
(fn ) une suite de fonctions définies sur Df et [a, b] ⊂ Df ,
Convergence ponctuelle (ou simple) :
. la suite converge ponctuellement (ou simplement) en x ∈ [a, b] si la lim fn (x)
n→∞
existe et est finie en x ∈ [a, b].
. si la suite converge ponctuellement en x, ∀x ∈ [a, b], la suite (fn ) converge
ponctuellement vers la fonction f définie sur [a, b] par f (x) = lim fn (x), ce qui
n→∞
s’écrit : lim |fn (x) − f (x)| = 0 ∀x ∈ [a, b]
n→∞
. Remarque : la continuité des fn n’implique pas la continuité de la limite f .
Convergence uniforme :
. la suite converge uniformément sur [a, b] si lim supx∈[a,b] (|fn (x) − f (x)|) = 0
n→∞
. si la suite converge uniformément alors elle converge ponctuellement.
. la continuité des fn implique la continuité de la limite f ;
donc si les fn sont continues et la limite f est discontinue, la convergence n’est pas
uniforme.
. si convergence uniforme alors, pour [a, b] borné,
Z b
Z b
lim
fn (x)dx =
lim fn (x)dx
n→∞
a
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
a n→∞
. si les fn sont C 1 ([a, b]), si (fn0 ) converge uniformément vers g sur [a, b], si
∃c ∈ [a, b] tq lim fn (c) = lc , alors (fn ) converge uniformément vers f sur [a, b]
n→∞
avec g = f 0 et f (c) = lc : la fonction dérivée de la limite est égale à la fonction
limite des dérivées.
Série numérique :
la série de terme général uk est
∞
X
uk
n
X
. la série est dite convergente si la suite des sommes finies Sn =
uk converge
k =0
une valeur finie, alors appelée somme de la série.
vers
. si la série converge alors lim un = 0 ; donc si lim un 6= 0, la série diverge.
k=0
n→∞
n→∞
attention : lim un = 0 n’est pas une condition suffisante de convergence de la
n→∞
série.
. si 2 séries sont convergentes, la série somme converge vers la somme des
sommes.
. si 2 séries sont convergentes, la série produit converge vers le produit des
sommes.
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
Suite géométrique de raison a :

1
∞

X
1 − an+1
pour |a| < 1
converge vers
k
Sn =
a =
, la série
a
1
−
 diverge pour |a| ≥ 1a
1−a
k=0
k =0
n
X
k
Série de Riemann
∞
X
1
kα
k=0
converge pour α > 1
,
diverge pour α ≤ 1
la série harmonique
∞
X
1
diverge donc.
k
k =0
Série à termes positifs :
vn+1
un+1
≤
∀n ≥ no alors
un
vn
∞
∞
∞
∞
X
X
X
X
vk converge ⇒
uk converge et
uk diverge ⇒
vk diverge
. si 0 ≤ un ≤ vn ou si
k =0
k=0
k =0
k =0
un
un
≤ k 0 ou si lim
= l 6= 0 alors les 2 séries sont de même
. si 0 ≤ k ≤
n→∞ vn
vn
nature.
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
un+1
. Règle de d’Alembert : si un > 0 et lim
= l alors
n→∞ un
si 0 ≤ l < 1, la série converge,
si l > 1, la série diverge.
(si l=1 on ne peut conclure par cette règle)
1/n
. Règle de Cauchy : si un > 0 et lim un
n→∞
si 0 ≤ l < 1, la série converge
si l > 1, la série diverge.
= l alors
(si l=1 on ne peut conclure par cette règle)
Série à termes complexes : un = an + i bn
∞
∞
∞
X
X
X
. la convergence de
uk
⇔
les convergences de
ak et
bk
∞
X
k =0
k =0
k =0
. si la série est absolument convergente (
|uk | convergente) alors la série est
k =0
n
convergente.
X
. en polaire un = ρn vn avec ρn > 0, si, pour tout n entier, |
vk | ≤ Cte
k=0
(indpendante de n) et si la suite (rn ) est décroissante de limite 0, alors la série
∞
X
uk est convergente.
k =0
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
Série entière : (réelle ou complexe)
. le rayon de convergence de la série
∞
X
ak z k , est le nombre R ≥ 0 (qui peut être
k=0
infini) tel que la série converge absolument pour tout z vérifiant |z| < R, et diverge
sinon.
. Lemme d’Hadamard :par le critère de d’Alembert (ou de Cauchy) :
an+1
1/n
si lim |
| = a (ou lim un = a) alors R = 1/a
n→∞
n→∞
an
. la somme de 2 séries entières, de rayon de convergence respectivement R1 et
R2 , est une série entière de rayon de convergence R = inf (R1 , R2 ) si R1 6= R2 , ou
R ≥ R1 = R2.
. ∀N entier, la somme finie SN (z) =
S(z) =
∞
X
N
X
an z n converge uniformément vers
k =0
k
ak z sur [−r , r ] pour tout r , tel que 0 < r < R.
k =0
. la fonction S(z) =
∞
X
k =0
sur ] − R, R[.
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
ak z k est continue et indéfiniment continuement dérivable
. la série pme-dérivée S (p) (z) =
que S(z) =
∞
X
∞
X
(k + p)!
ak z k a même rayon de convergence
p!k!
k =0
k
ak z .
k =0
. la série dérivée
∞
X
k=1
kak z k−1 a même rayon de convergence que S(z) =
et sa somme, fonction dérivable sur ] − R, R[ est égale S 0 (z),
∞
X
S 0 (z) =
kak z k −1 .
k=1
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
∞
X
k =0
ak z k
Petit rappel de cours sur l’intégration
Primitives
R
f (x)dx :
pour f définie sur I ⊂ R
. F , une primitive de f sur I est une fonction dérivable vérifiant F 0 (x) = f (x) pour
tout x intérieur I.
. Si F est une primitive de f , F + Constante est aussi une primitive de f .
Intégrales :
Intégrale sur un intervalle borné :
pour f définie sur [a, b] intervalle borné,
R
. Si f est continue sur [a, b] (ou continue par morceaux) alors ab f (x)dx est définie.
R
. si f admet une primitive F sur [a, b] alors l’intégrale ab f (t)dt = F (b) − F (a)
Intégrale généralise :
R∞
Rb
f (x)dx ou
Z
. si f définie sur [a, ∞[ et | lim
A→∞
Intégrale généralisée :
−∞
a
f (x)dx ou
R∞
−∞
f (x)dx :
A
f (t)dt | < ∞ : l’intégrale est convergente
a
(sinon diverge)
.
Rb
a f (x)dx pour f définie sur [a, b[ ou ]a, b] ou ]a, b[
Z x
. si f définie sur [a, b[ et | lim
f (t)dt | < ∞ : l’intégrale est convergente
x→b−
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
a
(sinon diverge)
.
Critères de convergence (ou divergence) :
. Riemann
:
Z ∞
1
dt converge pour α > 1 (sinon diverge),
tα
a
Z b
1
dt converge pour α < 1 (sinon diverge)
α
0 t
b
Z
donc
Z b:
Z
si
g(t)dt converge alors
a
a
b
aussi.
g(t)dt,
a
Rb
f (x)dx lorsqu’elle converge :
Z b
. par les primitives :
f (x)dx = F (b) − F (a)
a
a
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
b
Z
f (t)dt diverge,
a
f (x)
. comparaison : si f et g définie sur [a, b[ et lim
=1
x→b− g(x)
Rb
Rb
alors a f (t)dt et a g(t)dt sont de même nature.
Calcul de
b
b
Z
f (t)dt converge et si
a
Z
f (t)dt ≤
. majoration : si ∀x ∈ [a, b], 0 ≤ f (x) ≤ g(x) alors 0 ≤
g(t)dt
a
Z
. par changement de variables :
a
b
Z
β
f (x)dx =
f (u(t)) u 0 (t)dt
α
avec x = u(t) o u est une fonction définie sur [α, β], dérivable et bijective de [α, β]
sur [a, b] et telle que u(α) = a et u(β) = b.
Z b
Z b
. par intégration par parties :
u(x)v 0 (x)dx = [u(x)v (x)]ba −
u 0 (x)v (x)dx
a
a
(découle de la formule de dérivation d’un produit (uv )0 = u 0 v + uv 0 )
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH