MTH 1101 – Calcul 1 Révision - Questions vrai ou faux a) Si la suite

MTH 1101 –Calcul 1 R´evision - Questions vrai ou faux
Intra
a) Si la suite anconverge vers la limite L∈R, alors la suite bn=a2nconverge
aussi vers L.
b) Si P∞
n=0 anconverge, alors P∞ n=0 a2nconverge aussi.
c) La somme de deux s´eries divergentes est toujours une s´erie divergente.
d) Si an>0 et si la s´erie P∞
n=1 ananconverge, alors la s´erie P∞ n=0 an√anconverge
aussi.
e) Si Pn(x) = Pn
i=0 ci(x−a)iest le polynˆome de Taylor de degr´e nde f(x) autour
de a, alors l’erreur d’estimation satisfait |Rn(a)|>0.
f) Soit Rn(x) le reste du polynˆome de Taylor de degr´e nde la fonction f(x) = ex.
Alors, il existe au moins une valeur de x∈Rpour laquelle la suite {Rn(x)}∞
n=0
est divergente.
g) L’ensemble
T=z∈C:z=4
z
est un cercle du plan complexe de rayon 2.
h) L’ensemble des nombres complexes tels que z+z= 0 forme une droite.
i) Si une suite est d´ecroissante et born´ee inf´erieurement, alors elle converge n´ecessairement.
j) La suite {an}∞
n=1 avec
an=
4n−2
3nsi nimpair
12n3+4n−2
9n3si npair
1

converge vers 4
3.
k) Une s´erie convergente est toujours absolument convergente.
l) La s´erie
∞
X
n=0
1
(x−1)n
est une s´erie enti`ere.
m) L’expression suivante est toujours valide:
∞
X
i=0
ai=∞
X
k=0
bk.
lorsque bk=a2k+a2k+1 pour k∈ {0,1,2,3, . . .}.
n) Soit f(x), une fonction admettant un d´eveloppement en s´erie de Taylor centr´e
en a. L’approximation lin´eaire par un polynˆome de degr´e 1 de f(x) au point a
poss`ede un reste Rn(a) non nul.
o) Si les racines d’un polynˆome de degr´e 2 sont complexes (avec une partie imagi-
naire non nulle) alors l’une est la conjugu´ee de l’autre.
p) Les racines ni`emes d’un nombre complexe zse retrouvent toutes sur un cercle de
rayon |z|1/n dans le plan complexe.
a b c d e f g h
V F F F F F V V
i j k l m n o p
V V F F F F V V
2

Final
a) Il est possible d’approximer la d´eriv´ee d’une fonction f(x, y) dans la direction
~u = ( 1
√5,2 √5) au point (2,3) par:
f0
~u(2,3) ≈f(1.99,2.98) −f(2,3)
√0.012+ 0.022.
b) |f~u(a, b)|=||∇f(a, b)|| pour toute direction normalis´ee ~u.
c) Lorsque f(x, y) tend vers Lquand (x, y) tend vers (0,0) le long de toutes les
droites passant par (0,0), alors lim
(x,y)→(0,0) f(x, y) = L.
d) L’erreur d’approximation d’une fonction f(x, y) par son d´eveloppement de Tay-
lor d’ordre 2 peut ˆetre sup´erieure `a celle du d´eveloppement d’ordre 1.
e) Il existe une fonction f(x, y) avec des d´eriv´ees continues qui v´erifie f0
x(x, y) = x2y
et f0
y(x, y) = y2x
f) La m´ethode du gradient permet toujours d’atteindre un extremum local.
g) Soit fune fonction de trois variables dont la matrice des d´eriv´ees secondes en
un point critique est
∇2f=
−210
1 1 −1
0−1 1
.
Ce point critique est un maximum local.
h) La d´eriv´ee de fen (x0, y0) dans la direction de ~u est un vecteur.
i) Si k ∇f(x0, y0)k= 99.9, il existe une direction pour laquelle la d´eriv´e direction-
nelle de fen (x0, y0) ´egale 100.
j) Soit Q(x, y) le polynˆome de Taylor de degr´e 2 de f(x, y) autour de (1,1), et
E(x, y) = |f(x, y)−Q(x, y)|son erreur d’approximation. Alors E(1,1) = 0.
3

k) La m´ethode du gradient est un algorithme qui permet de conclure si un point
est un maximum local ou un minimum local.
l) La matrice des d´eriv´ees secondes de la fonction f:R3→Rau point critique
(a, b, c) est
∇2f(a, b, c) = 
−5 3 6
3 0 1
6 1 5
,
et son d´eterminant est −4. Le point (a, b, c) est un maximum local de la fonction
f.
m) La fonction de deux variables
f(x, y) = (x+ysi x≥0
0 si x < 0
est continue en (x, y) = (0,0).
n) Si f(x, y) est continue en (0,0) alors limx→0f(x, 0) = limy→0f(0, y).
o) Si f0
x(a, b) = f0 y(a, b) = 0 alors la f0 u(a, b) = 0 pour toute direction u.
p) f00
xy =f0x×f0y.
a b c d e f g h
F F F V F F F F
i j k l m n o p
F V F F V V V F
4