MTH 1101 – Calcul 1 Révision - Questions vrai ou faux a) Si la suite

MTH 1101 – Calcul 1
Révision - Questions vrai ou faux
Intra
a) Si la suite an converge vers la limite L ∈ R, alors la suite bn = a2n converge
aussi vers L.
b) Si
P∞
n=0
an converge, alors
P∞
n=0
a2n converge aussi.
c) La somme de deux séries divergentes est toujours une série divergente.
d) Si an > 0 et si la série
aussi.
P∞
n=1
an an converge, alors la série
P∞
n=0
√
an an converge
P
e) Si Pn (x) = ni=0 ci (x − a)i est le polynôme de Taylor de degré n de f (x) autour
de a, alors l’erreur d’estimation satisfait |Rn (a)| > 0.
f) Soit Rn (x) le reste du polynôme de Taylor de degré n de la fonction f (x) = ex .
Alors, il existe au moins une valeur de x ∈ R pour laquelle la suite {Rn (x)}∞
n=0
est divergente.
g) L’ensemble
4
T = z∈C: z=
z
est un cercle du plan complexe de rayon 2.
h) L’ensemble des nombres complexes tels que z + z = 0 forme une droite.
i) Si une suite est décroissante et bornée inférieurement, alors elle converge nécessairement.
j) La suite {an }∞
n=1 avec
an =

 4n−2
si n impair
3n

12n3 +4n−2
9n3
1
si n pair
converge vers 43 .
k) Une série convergente est toujours absolument convergente.
l) La série
∞
X
n=0
1
(x − 1)n
est une série entière.
m) L’expression suivante est toujours valide:
∞
X
∞
X
ai =
i=0
bk .
k=0
lorsque bk = a2k + a2k+1 pour k ∈ {0, 1, 2, 3, . . .}.
n) Soit f (x), une fonction admettant un développement en série de Taylor centré
en a. L’approximation linéaire par un polynôme de degré 1 de f (x) au point a
possède un reste Rn (a) non nul.
o) Si les racines d’un polynôme de degré 2 sont complexes (avec une partie imaginaire non nulle) alors l’une est la conjuguée de l’autre.
p) Les racines nièmes d’un nombre complexe z se retrouvent toutes sur un cercle de
rayon |z|1/n dans le plan complexe.
a
b
c
d
e
f
g
h
V
F
F
F
F
F
V
V
i
j
k
l
m
n
o
p
V
V
F
F
F
F
V
V
2
Final
a) Il est possible d’approximer la dérivée d’une fonction f (x, y) dans la direction
~u = ( √15 , √25 ) au point (2,3) par:
f~u0 (2, 3) ≈
f (1.99, 2.98) − f (2, 3)
√
.
0.012 + 0.022
b) |f~u (a, b)| = ||∇f (a, b)|| pour toute direction normalisée ~u.
c) Lorsque f (x, y) tend vers L quand (x, y) tend vers (0, 0) le long de toutes les
droites passant par (0, 0), alors lim f (x, y) = L.
(x,y)→(0,0)
d) L’erreur d’approximation d’une fonction f (x, y) par son développement de Taylor d’ordre 2 peut être supérieure à celle du développement d’ordre 1.
0
e) Il existe une fonction f (x, y) avec des dérivées continues qui vérifie fx (x, y) = x2 y
0
et fy (x, y) = y 2 x
f) La méthode du gradient permet toujours d’atteindre un extremum local.
g) Soit f une fonction de trois variables dont la matrice des dérivées secondes en
un point critique est


−2
1
0


∇2 f =  1
1 −1  .
0 −1
1
Ce point critique est un maximum local.
h) La dérivée de f en (x0 , y0 ) dans la direction de ~u est un vecteur.
i) Si k ∇f (x0 , y0 ) k= 99.9, il existe une direction pour laquelle la dérivé directionnelle de f en (x0 , y0 ) égale 100.
j) Soit Q(x, y) le polynôme de Taylor de degré 2 de f (x, y) autour de (1, 1), et
E(x, y) = |f (x, y) − Q(x, y)| son erreur d’approximation. Alors E(1, 1) = 0.
3
k) La méthode du gradient est un algorithme qui permet de conclure si un point
est un maximum local ou un minimum local.
l) La matrice des dérivées secondes de la fonction
(a, b, c) est

−5 3

2
∇ f (a, b, c) =  3 0
6 1
f : R3 → R au point critique

6

1 ,
5
et son déterminant est −4. Le point (a, b, c) est un maximum local de la fonction
f.
m) La fonction de deux variables
(
f (x, y) =
x+y
0
si x ≥ 0
si x < 0
est continue en (x, y) = (0, 0).
n) Si f (x, y) est continue en (0, 0) alors limx→0 f (x, 0) = limy→0 f (0, y).
o) Si fx0 (a, b) = fy0 (a, b) = 0 alors la fu0 (a, b) = 0 pour toute direction u .
00
= f 0 x × f 0 y.
p) fxy
a
b
c
d
e
f
g
h
F
F
F
V
F
F
F
F
i
j
k
l
m
n
o
p
F
V
F
F
V
V
V
F
4