primitives d`une fonction

Terminales ES Ch5. Primitives Année 2009–2010
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PRIMITIVES D'UNE FONCTION
I.Introduction :
Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = 2x . Si on dérive la fonction F telle que F(x) = x² on obtient f (x).
On dit alors que F est une primitive de f .
Mais si on dérive F1(x) = x² + 8 on obtient aussi f(x). F1 est donc aussi une primitive de f .
Les primitives d'une fonction sont donc définies à une constante près.
II. Définition et petits exemples:
1) Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR.
On appelle fonction primitive de f , toute fonction F , définie et dérivable sur I, dont la dérivée est f .
2) Petits exemples :
Fonction
Une primitive
f(x) = 2
F(x) = 2 x
f(x) = x
F(x) = 1
2 x²
f(x) = 5 x
F(x) = 5 1
2 x² = 5 2 x²
f(x) = – 3 x²
F(x) = – x3
f(x) = x² – 5 x
F(x) = 1
3 x3 – 5 2 x²
f(x) = 2 x + 1
F(x) = x² + x
f(x) = 1
2 x²
F(x) = 1
2 1 3 x3 = 1 6 x3
f(x) = x – 5
4 = 1 4 ( x – 5 )
F(x) = 1
4 ( 1 2 x² – 5x ) = 1 8 x² – 5 4 x
f(x) = x – 4
F(x) = 1
2 x² – 4x
f(x) = – 3 x5
F(x) = – 3 1
6 x6 = – 1 2 x6
f(x) = 3 x² – 5
3 = x² – 5 3
F(x) = 1
3 x3 – 5 3 x
3) Propriété :
Toute fonction dérivable sur un intervalle I admet une infinité de primitive sur I.
Si F est une primitive de f sur I alors F + k avec k IR est aussi une primitive de f sur I.
Exemple : Soit f une fonction définie sur IR par f (x) = 2x . Trouver les primitives de f sur IR .
Une primitive de f sur IR est F1(x) = x² .
Toutes les primitives de f sont donc données par F(x) = x² + k , k IR .
Si k = – 2 on a une primitive F2 (x) = x² – 2 …..

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4) Primitive particulière :
Parmi l'infinité de primitives d'une fonction f définies sur un intervalle I , on peut en choisir une
vérifiant certaines conditions . Ceci va permettre de déterminer la constante k .
Par exemple , on aimerait connaître la primitive F de f (x) = 2x s'annulant pour x = 5.
On a F(x) = x² + k , k IR . On veut que F(5) = 0 donc 5² + k = 0 k = – 25.
La primitive de f s'annulant pour x = 5 est F(x) = x² – 25.
Soit a IR . Il existe une unique primitive F d'une fonction f sur I vérifiant F(a) = b avec b IR .
5) Tableau des primitives usuelles :
Ce tableau s'obtient par lecture inverse du tableau des dérivées.
F f
Fonction f
Intervalle de définition
Primitive F
f (x) = a
IR
F(x) = ax + k , k IR
f (x) = x
IR
F(x) = 1
2 x² + k , k IR
f (x) = x²
IR
F(x) = 1
3 x3 + k , k IR
f (x) = xn n IN , n > 1
IR
F(x) = 1
n + 1 xn + 1 + k , k IR
f (x) = 1
x²
IR * = IR \ { 0 }
F(x) = – 1
x + k , k IR
f (x) = 1
xn n IN , n > 1
IR * = IR \ { 0 }
F(x) = – 1
(n – 1)xn – 1 + k , k IR
f(x) = x
[ 0 ; + [
F(x) = 2
3 x x + k , k IR
f(x) = 1
x
] 0 ; + [ [ 0 ; + [
F(x) = 2 x + k , k IR

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III. Propriétés des primitives :
1) Somme de deux fonctions :
Isur g de primitive uneest G F alors
Isur g de primitive uneest G Si Isur f de primitive uneest F Si f
.
Exemple : Soit h la fonction définies sur IR par h(x) = x² + 2x .
Déterminer les primitives H de h sur IR .
h(x) = f(x) + g(x) avec f(x) = x² et g(x) = 2x
H(x) = F(x) + G(x) avec F(x) = 1
3 x3 + k1 , k1 IR et G(x) = x² + k2 , k2 IR .
H(x) = 1
3 x3 + x² + k , k IR .
2) Produit d'une fonction par un réel :
Si F est une primitive de f sur I alors F est une primitive de f sur I.
Exemple : Trouver les primitives de la fonction g définie sur IR par g(x) = 9 x5.
g(x) = 9 f(x) avec f(x) = x5 F(x) = 1
6 x6 + k1 , k1 IR .
G(x) = 9 F(x) = 9 ( 1
6 x6 + k1 ) = 3 2 x6 + k , k IR .
3) Primitive d'un produit de la forme u' un avec u une fonction dérivable non nulle et n IN , n – 1 :
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I , si n est un nombre naturel , différent de – 1 ,
alors les primitives de u' un sont données par 1
n + 1 un + 1 + k , k IR .
En particulier , si n = – 2 , les primitives de u'
u² sont – 1 u + k , k IR .
Exemple : Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = 2x ( x² + 1 )2 .
Trouver les primitives F de f sur IR .
On remarque que f se présente comme un produit de deux fonctions.
Posons u(x) = x² + 1 alors u'(x) = 2x
On a alors f(x) = u'(x) u²(x).
Donc F(x) = 1
3 u3(x) + k , k IR . F(x) = 1 3 ( x² + 1 )3 + k , k IR .

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IV. Les méthodes pour rechercher une primitive :
1) Si n IN , pour obtenir une primitive de f(x) = xn , on augmente l'exposant de 1 et on divise par ( n + 1 ).
Déterminer les primitives sur IR de f(x) = x8 .
F(x) = 1
9 x9 + k , k IR .
Déterminer la primitive de f telle que F(1) =3.
Pour déterminer une primitive particulière , il faut calculer la valeur de la constante .
F(1) = 3 1
9 19 + k = 3 k = 3 – 1 9 = 26 9
La primitive cherchée est donc F(x) = 1
9 x9 + 26 9 .
2) Pour un produit d'une fonction par un réel , on obtient une primitive en multipliant par le réel une
primitive de la fonction .
Déterminer les primitives de f(x) = 4 x5 et g(x) = – 12 x7 .
F(x) = 4 1
6 x6 + k = 2 3 x6 + k , k IR . G(x) = – 12 1 8 x8 + k = – 3 2 x8 + k , k IR .
Pour une somme de fonctions , on obtient une primitive en ajoutant des primitives de chacune des
fonctions.
Déterminer les primitives de h(x) = 4 x5 – 12x + 3
H(x) = 2
3 x6 – 3 2 x8 + 3x + k , k IR .
3) Si f(x) = a
x² , on peut écrire f(x) = a 1 x² . Les primitives sont alors F(x) = a ( – 1 x ) + k , k IR .
Déterminer les primitives de h(x) = 2x² – 3
x² sur ] 0 ; + [ puis déterminer la primitive H de h
telle que H(1) = 0.
H(x) = 2 1
3 x3 – 3 ( – 1 x ) + k = 2 3 x3 + 3 x + k , k IR .
H(1) = 0 2
3 + 3 + k = 0 k = – 3 – 2 3 = – 11 3 .
La primitive de h qui s'annule pour x = 1 est H(x) = 2
3 x3 + 3 x – 11 3 .
Si f(x) = – u'
u² alors F(x) = 1 u + k
Déterminer les primitives de f(x) = – 3x
( x² + 2 )2 sur IR .
Posons u(x) = x² + 2 alors u'(x) = 2x et f(x) = 3 1
2 – 2x (x² + 2)2 = 3 2 – u' u²
F(x) = 3
2 1 u + k = 3 2 1 (x² + 2) + k , k IR .

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4) Lorsque l'on cherche les primitives d'un produit , on peut chercher à faire apparaître la forme u' un .
Déterminer les primitives de f(x) = – 8x ( x² – 5 )4 sur IR puis celle qui s'annule pour x = – 2 .
f s'écrit sous la forme d'un produit . Posons u(x) = x² – 5 alors u'(x) = 2x .
f(x) = – 4 u'(x) u4 (x). Donc F(x) = – 4 1
5 u5 (x) + k = – 4 5 ( x² – 5 )5 + k , k IR .
F(– 2 ) = 0 – 4
5 ( – 7 )5 + k = 0 67 228 5 + k = 0 k = – 67 228 5 = – 13 445,6
La primitive de f s'annulant pour x = – 2 est F(x) = – 4
5 ( x² – 5 )5 – 13 445,6.
V. Intégrales et calcul d'aires :
1) Activité : Aire sous une courbe :
On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = 2x .
Tracer la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormal.
Soit A(1 ; 2) et A'(1;0) deux points du plan. On remarque que A est sur la droite représentative de f.
a) Calculer l'aire du triangle OAA'.
OAA' est un triangle rectangle en O. OA' = 1. AA' = 2 donc A = 1 2
2 = 1.
b) B(3;6) et B'(3;0). Calculer l'aire du trapèze AA'B'B.
Les deux bases du trapèze sont AA' = 2 et BB' = 6 et sa hauteur est A'B' = 2
donc A = (2 + 6) 2
2 = 8 .
c) Déterminer une primitive F de f puis calculer les nombres F(1) – F(0) et F(3) – F(1).
F(x) = x² + k k IR .
F(1) – F(0) = 1 = A de OAA'. F(3) – F(1) = 9 – 1 = 8 = A de AA'B'B.
2) Généralisation :
Si la fonction f admet une primitive F sur un intervalle I et si a et b sont des nombres de I,
la différence F(b) – F(a) est appellé intégrale de f entre a et b.
Ce nombre représente l'aire comprise entre la courbe représentative de f , l'axe des abscisses
et les deux droites verticales d'équation x = a et x = b.
F(b) – F(a) sera noté ab f(x)dx . Ce nombre sera exprimé en unités d'aire.
On a donc ab f(x)dx = F(b) – F(a) = [ F(t) ]b
a avec F primitive de f sur [a;b].
Remarque : Si f est une fonction positive sur l'intervalle [a;b] ab f(x)dx sera positive.
Si f est une fonction négative sur l'intervalle [a;b] ab f(x)dx sera négative.
donc l'aire correspondante sera – ab f(x)dx .
Intégrale positive Intégrale négative
unité d'aire