Cours - Playmaths

Fonctions sinus et cosinus
I.
Fonctions sinus et cosinus
1) Définitions
Cercle trigonométrique :
Le plan est muni d’un repère ( O, I, J) orthonormal.
On appelle cercle trigonométrique le cercle C de centre O et de rayon 1, muni d’un sens
direct ( ou trigonométrique) : le sens inverse des aiguilles d’une montre.
On enroule la droite des réels autour du cercle
trigonométrique.
Le radian
Le périmètre du cercle trigonométrique est 2 .
Un angle en radian, c’est la longueur de l’arc de cercle correspondant.
L’angle droit mesure Error!radian.
L’angle plat mesure  rad.
La somme des angles d’un triangle mesure  rad.
Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse de m dans le repère ( O, I, J).
Le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée de m dans le repère ( O, I, J).
La fonction sinus est la fonction qui à tout réel x fait correspondre sin x.
La fonction cosinus est la fonction qui à tout réel x fait correspondre cos x.
1
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2) Représentation graphique
Fonction cosinus :
Fonction sinus :
Les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus sont des sinusoïdes.
La fonction cosinus est paire ; la fonction sinus est impaire.
Remarque :
La courbe représentative de la fonction cosinus est l’image de la courbe représentative de la
fonction sinus par la translation de vecteur -Error!Error!.
D’après l’enroulement, chaque réel est représenté par un point unique du cercle. En
revanche, chaque point du cercle trigonométrique peut être obtenu à partir d’une infinité de
réels : la distance entre deux de ces réels est un multiple de 2 .
Ainsi, un point M correspondant à un réel x et le réel x + 2  donnent le même point M du
cercle trigonométrique, donc les mêmes coordonnées.
cos(x+2) = cos(x) et sin (x+2) = sin(x)
On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2.
Ex 10 p.151
3) Variations sur [ - ; ]
x
cos x
x
sin x

-1

-
0
Error!
1
0
-
0
Error!
0
0
-1
Error!
0
Error!

-1

1
0
4) Quelques valeurs remarquables
2
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x
(en rad)
sin x
cos x
x
(en degré)
0
Error!
Error!
Error!
Error!
0
1
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
1
0
0
30
45
60
90
Error!
Error!
Error!
Error! Error! Error!
- Error! - Error! - Error!
120
135
150

0
-1
180
Ex 6-7 p.151
5) Cosinus et sinus des angles associés
Soit x un réel
cos (-x) = cos (x)
sin (-x) = - sin (x)
cos (  - x ) = - cos (x)
sin (  - x ) = sin (x)
cos (  + x ) = - cos (x)
sin (  + x ) = - sin (x)

- x ) = sin (x)
2

cos (
+ x ) = - sin (x)
2
cos (

- x ) = cos (x)
2

sin (
+ x ) = cos (x)
2
sin (
Application : Résolutions d’équations
Résoudre les équations suivantes :
1
cos x =
dans ] ;  ]
2
3
sin 3x =
dans ] 0;2 ]
2
2 cos2x – 1 = 0 dans ] ;  ]
Ex 11-12-13 p.151
6) Formules d’additions
cos ( a + b ) = cos a cos b - sin a sin b
cos ( a – b ) = cos a cos b + sin a sin b
cos(2a) = cos²a – sin²a
= 1 – 2 sin²a
= 2 cos²a - 1
sin ( a + b ) = sin a cos b + sin b cos a
sin ( a - b ) = sin a cos b - sin b cos a
sin(2a) = 2 sin a cos a
II. Dérivées des fonctions sinus et cosinus
1) Nombres dérivés en 0
Propriété :
3
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La fonction cosinus est dérivable en 0, et son nombre dérivé en 0 vaut 0.
La fonction sinus est dérivable en 0, et son nombre dérivé en 0 vaut 1
Dem :
Sinus : Faite avec le théorème des gendarmes chap. Limites de fonctions .
Cosinus : Ex 33 p.153 A regarder ‼
2) Dérivées des fonctions
Théorème :
La fonction sinus est dérivable sur Ë et sa dérivée est la fonction cosinus.
La fonction cosinus est dérivable sur Ë et sa dérivée est la fonction - sinus.
Dem :
Soit x un nombre réel quelconque et h  0.
cos(x  h)  cos x cos x cosh sin x sinh cos x
cosh 1
sinh
=
= cos x
 sin x
h
h
h
h
sinh
cosh 1
cos(x  h)  cos x
Or lim
 1 et lim
 0 donc lim
  sin x
h 0 h
h 0
h0
h
h
Ce qui prouve que la fonction cosinus est dérivable en tout nombre x et que sa dérivée est la
fonction – sinus.
Dem de la dérivée de sinus ….
3) Dérivées des fonctions composées
Dérivée de sin(u) et de cos(u).
Ex 15-16-17 p.151
Ex 37-46-57 p.154
4
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