D2 – Fonction dérivée, opérations sur les dérivées et applications I

D2 – Fonction dérivée, opérations sur les dérivées et applications
OBJECTIFS DU CHAPITRE
D2-1 Déterminer le domaine de dérivabilité d’une fonction.
D2-2 Identifier la forme d’une fonction en vue de calculer sa fonction dérivée. Mettre en œuvre les règles de
calcul sur les fonctions dérivées et les fonctions dérivées des fonctions usuelles.
D2-3 Utiliser la dérivation en vue d’étudier les variations d’une fonction dérivable.
D2-4 Mettre en œuvre une méthode pour résoudre numériquement une équation f(x) = 0
I Du nombre dérivé à la notion de fonction dérivée
A Fonction dérivée
Nous avons rencontré la notion de nombre dérivé en un point alors du premier chapitre sur la dérivation. On
rappelle la définition
Définition.Soit fune fonction et aun point de son ensemble de définition. Dire que la fonction fest
dérivable au point asignifie que la fonction
t:h7→ f(a+h)−f(a)
h
admet une limite réelle `en zéro. Dans ce cas, cette limite est appelée nombre dérivé de fau point a. On le
note f0(a).
Lorsque la fonction fest dérivable en tout réel ad’un intervalle ouvert I, on peut calculer le nombre dérivée
f0(a)de la fonction fen n’importe quel réel ade I. Ainsi, on définit, tout naturellement, une fonction, notée
f0, qui a chaque réel ade l’intervalle Iassocie son nombre dérivée f0(a)ou encore, en notant la variable xau
lieu de a, on a la
Définition.Soit Iun intervalle ouvert de R. On dit que fest dérivable sur l’intervalle Isi fest dérivable
en tout réel xde I. On note alors f0la fonction qui à chaque réel de xde Iassocie le nombre dérivé f0(x).
Cette fonction s’appelle (fonction) dérivée de fsur I.
f0:I→R
x7→ f0(x)le nombre dérivé de fen x
Bien entendu cette notion de fonction dérivée est interessante si on peut dégager des propriétés sur ces fonc-
tions.
Dans la suite de ce cours, nous allons donner des règles de calculs sur ces fonctions dérivées et les fonctions
dérivées des fonctions usuelles. Ceci nous permettra de calculer aisément les fonctions dérivées (et a fortiori
les nombres dérivées) de fonctions plus complexes.
B Fonctions dérivées des fonctions usuelles
Pour chacune des fonctions usuelles, nous allons successivement déterminer le domaine de dérivabilité puis
l’expression de la fonction dérivée.
Fonction dérivable sur l’intervalle I...
fonction dérivée
définie, pour tout x
dans Ipar ...
Constante f(x) = k k réel fixé I=Rf0(x) = 0
Affine f(x) = ax +b a, b réels fixés I=Rf0(x) = a
carré f(x) = x2I=Rf0(x) = 2x
cube f(x) = x3I=Rf0(x) = 3x2
puissance n-ième f(x) = xnn∈N∗fixé I=Rf0(x) = nxn−1
inverse f(x) = 1
xsur I=] − ∞; 0[ ou sur I=]0; +∞[f0(x) = −1 x2
puissance n-ième négative f(x) = 1
xnn∈N∗fixé sur I=] − ∞; 0[ ou sur I=]0; +∞[f0(x) = −n xn+1
racine carrée f(x) = √x I =]0; +∞[f0(x) = 1
2√x

Démonstration. Nous allons démontrer ces résultats pour quelques unes de ces fonctions, les autres sont laissés en
exercice.
Fonction cube. Soit fla fonction définie par f(x) = x3. Soit aun réel quelconque, et hun réel non nul. Calculons le
taux d’accroissement de la fonction fentre aet a+h:
f(a+h)−f(a)
h=(a+h)3−a3 h=(a3+ 3a2h+ 3ah2+h3)−a3 h=3a2h+ 3ah2+h3 h= 3a2+ 3ah +h2.
Le nombre 3a2+ 3ah +h2tend vers 3a2lorsque htend vers 0: on a ainsi
lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h= 3a2
donc fest dérivable en aet f0(a) = 3a2. Par conséquent, la fonction cube fest dérivable sur Ret sa fonction dérivée
est définie, pour tout x∈Rpar f(x) = 3x2.
Fonction racine carrée. Soit fla fonction définie sur [0; +∞[par f(x) = √x. Soit aun réel positif et hun réel non nul
tel que a+hsoit positif. Calculons le taux d’accroissement de fentre aet a+h:
f(a+h)−f(a)
h=√a+h−√a h=(√a+h−√a)(√a+h+√a)
h(√a+h+√a)=√a+h2−(√a)2 h(√a+h+√a)
d’où f(a+h)−f(a)
h=a+h−a
h(√a+h+√a)=1
√a+h+√a
Si a= 0, alors le taux d’accroissement n’admet pas de limite réelle lorsque htend vers 0: ainsi, fn’est pas dérivable
en 0.
Si a > 0, alors le taux d’accroissement admet 1
2√apour limite lorsque htend vers 0. Donc fest dérivable sur ]0; +∞[
et pour tout x∈]0; +∞[,f0(x) = 1
2√x.
Fonction puissance n-ième. La preuve se fait par récurrence sur l’entier n... vous verrez cela l’an prochain !
On sait maintenant déterminer très rapidement le nombre dérivé en n’importe quel réel a(du domaine de
dérivabilité) des fonctions usuelles sans avoir à revenir à la définition.
Nous allons voir dans la suite des formules de dérivation d’une somme, d’un produit, d’un quotient... de deux
fonctions dérivables.
II Dérivation et opérations.
A Dérivée d’une somme, d’un produit, d’un quotient de deux fonctions.
Proposition.Soient uet vdeux fonctions dérivables sur un intervalle ouvert Iet k∈Rune constante
fixée. On a les propriétés suivantes
1) Dérivée d’une somme. La fonction somme u+vest alors dérivable sur Iet, pour tout x∈I, on a
(u+v)0(x) = u0(x) + v0(x).
2) Dérivée d’un produit. La fonction produit uv est dérivable sur Iet, pour tout x∈I, on a
(uv)0(x) = u0(x)v(x) + u(x)v0(x).
3) Dérivé d’un produit par une constante. La fonction ku est dérivable sur Iet, pour tout x∈I, on a
(ku)0(x) = ku0(x).
4) Dérivée de l’inverse. On suppose que vne s’annule pas sur I. La fonction 1
vest dérivable sur Iet,
pour tout x∈I, on a
1
v
0
(x) = −v0(x)
v(x)2.
5) Dérivée d’un quotient. On suppose que vne s’annule pas sur I. La fonction u
vest dérivable sur Iet,
pour tout x∈I, on a
u
v
0
(x) = u0(x)v(x)−u(x)v0(x)
v2(x).

Démonstration. Soit a∈Iet hun réel non nul tel que a+h∈I, démontrons le premier point. On note, pour éviter les
lourdeurs de notation f=u+v. On a alors
f(a+h)−f(a)
h=u(a+h) + v(a+h)−(u(a) + v(a)) h=u(a+h)−u(a) h+v(a+h)−v(a) h
En faisant tendre hvers 0, et étant donné que les fonctions uet vsont dérivables en a, on a
lim
h→0
u(a+h)−u(a)
h=u0(a)et lim
h→0
v(a+h)−v(a)
h=v0(a)
d’où
lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h= lim
h→0
u(a+h)−u(a)
h+v(a+h)−v(a) h=u0(a) + v0(a)
Ainsi, la fonction somme u+vest dérivable en aet le nombre dérivé (u+v)0(a)vaut u0(a) + v0(a). Autrement dit, la
fonction u+vest dérivable sur Iet sa fonction dérivée est la somme des dérivées u0+v0.
Démontrons le troisième point (le second en découle, pourquoi ?). On note fla fonction uv. Nous avons alors
f(a+h)−f(a)
h=u(a+h)v(a+h)−u(a)v(a) h=(u(a+h)−u(a))v(a+h) + u(a)(v(a+h)−v(a)) h
=v(a+h)u(a+h)−u(a)
h+u(a)v(a+h)−v(a) h.
On considére le taux d’accroissement t1(h)de ventre aet a+h, on a
t1(h) = v(a+h)−v(a)
hd’où v(a+h)−v(a) = ht1(h)
Faisons maintenant tendre hvers 0,lim
h→0(ht1(h)) = 0 et donc v(a+h)tend vers v(a)et on reconnait les limites des taux
d’accroissements de uet ven a: on obtient alors la formule donnée.
Montrons le quatrième point, le cinquième étant une conséquence immédiate de 3) et 4) (pouquoi ?). On a
1
v(a+h)−1 v(a)
h=
v(a)−v(a+h)
v(a)v(a+h)
h=−v(a+h)−v(a) h×1 v(a)v(a+h)
Remarquez que le second terme est bien défini : la fonction gne s’annule pas sur I. Lorsque l’on fait tendre hvers 0, la
quantité v(a)v(a+h)tend vers v(a)2. Lorsque htend vers 0, le premier terme tend vers −g0(a)d’où la formule.
Exemples.Comment appliquer ces formules en pratique ?
Donnons le domaine de dérivabilité et la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
1f1(x) = √x+1
x.
La fonction x7→ √xest dérivable sur ]0,+∞[et x7→ 1
xest dérivable sur ]− ∞,0[ et sur
]0,+∞[. Ainsi, la somme f1est dérivable sur ]0,+∞[(l’intersection des deux intervalles de
dérivabilité de chacun des termes de la somme). Pour tout x∈]0,+∞[, on a
f0
1(x) = 1
2√x−1 x2=x2−2√x 2x2√x.
2f2(x) = 4√x(2x+ 7).
Le produit des fonctions x7→ 4√xest dérivable sur ]0,+∞[,x7→ 2x+ 7 est dérivable sur R.
De fait, la produit f2est dérivable sur ]0,+∞[. Or,
f2(x) = 4√x
u(x)
(2x+ 7)
v(x)
d’où f0
2(x) = u0(x)v(x) + u(x)v0(x) = 4
2√x×(2x+ 7) + 4√x×2
pour tout x∈]0,+∞[.
3f3(x) = 2x+ 3
4x−1.
Les numérateurs et dénominateurs sont des fonctions affines. Donc toutes deux dérivables
sur Rmais x7→ 4x−1s’annule en x=1
4. De ce fait, f3est dérivable sur les intervalles
]− ∞,1
4[et ]1 4,+∞[. Or,
f3(x) =
u(x)
2x+ 3
4x−1
v(x)
d’où f0
3(x) = u0(x)v(x)−u(x)v0(x)
v(x)2=2(4x−1) −(2x+ 3) ×4 (4x−1)2=−14 (4x−1)2
pour tout x∈R r 1
4.

B Dérivée d’une composée de fonction f◦goù gest une fonction affine.
On admet le résultat suivant :
Proposition.Soient g:x7→ ax +bavec a, b deux réels fixés, une fonction affine définie sur un intervalle
ouvert I. On suppose qu’il existe un intervalle ouvert Jtel que, pour tout x∈I,f(x)∈J. Soit fune
fonction dérivable sur l’intervalle J. La fonction f◦gest bien définie et est dérivable sur I. Pour tout
x∈I, on a
(g◦f)0(x) = a×f0(ax +b).
Exemples.
1On considère la fonction f4définie sur Rpar f4(x) = (3x+ 2)4. La fonction g:x7→ 3x+ 2
est dérivable sur Ret prend ses valeurs dans J=Ret la fonction f:x7→ x4est dérivable
sur J. D’où, f4=f◦gest dérivable sur Ret pour tout x∈R, on a
f0
4(x) = 3 ×(4(3x+ 2)3) = 12(3x+ 2)3.
2Déterminer le domaine de définition et de dérivabilité de la fonction h:x7→ √3x−1.
Donner l’expression de sa dérivée.
III Dérivée, variations et extrema d’une fonction
A Sens de variation d’une fonction et dérivée
Imaginons la courbe représentative d’une fonction fdérivable et croissante sur un intervalle I. Si on trace
les tangentes en un point quelconque de cette courbe, alors celle-ci admettra un coefficient directeur positif.
Autrement dit, pour tout réel xde I, on aura f0(x)>0. Inversement, si fest dérivable et décroissante sur un
intervalle I, on aura f0(x)60pour tout xdans I. Ce résultat se comprend bien graphiquement. Enonçons
rigoureusement ce résultat
Proposition (Du sens de variation d’une fonction au signe de sa dérivée).
Soit fune fonction dérivable sur un intervalle Iouvert. Alors,
1) si fest croissante sur I, alors, pour tout x∈I, on a f0(x)>0.
2) si fest décroissante sur I, alors, pour tout x∈I, on a f0(x)60.
Démonstration. On va démontrer le second point. Soit fune fonction dérivable sur Iet décroissante sur I. Soit xun
réel de l’intervalle I. Montrons que f0(x)60.
Etant donné que fest dérivable en x, on a
f0(x) = lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h.
Soit hun réel non nul tel que x+h∈I. On distingue deux cas :
1) Si h > 0, alors x+h > x et donc, étant donné que fest décroissante sur I, on a f(x+h)6f(x)soit encore
f(x+h)−f(x)60. Ainsi,
f(x+h)−f(x)
h60
et donc, en faisant tendre hvers 0tout en restant positif, on a
lim
h→0
h>0
f(x+h)−f(x)
h60.
(on fait tendre hvers 0tout en gardant h > 0, on dit aussi qu’on fait tendre hvers 0à droite).
2) Si h < 0, alors x+h < x et donc, étant donné que fest décroissante sur I, on a f(x+h)>f(x)soit encore
f(x+h)−f(x)>0. Ainsi,
f(x+h)−f(x)
h60
et donc, en faisant tendre hvers 0tout en restant négatif, on a
lim
h→0
h<0
f(x+h)−f(x)
h60.
(on fait tendre hvers 0tout en gardant h > 0, on dit aussi qu’on fait tendre hvers 0à droite).

Ainsi, dans les deux cas, on a
lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h60c’est-à-dire f0(x)60.
On prouve le cas où fest croissante sur Iexactement de la même manière.
Ce qui serait interessant en pratique est un théorème réciproque : connaissant le signe de la dérivée f0, en
déduire le sens de variation de la fonction f. Ce théorème est vrai et nous l’admettrons en 1ère S. Ce théorème
est un résultat très important.
Théorème (Réciproque).
Soit fune fonction dérivable sur un intervalle I, de fonction dérivée f0.
1) Si f0est strictement positive sur I, sauf peut-être en un nombre fini de points où elle s’annule, alors
fest strictement croissante sur I.
2) Si f0est strictement négative sur I, sauf peut-être en un nombre fini de points où elle s’annule, alors
fest strictement décroissante sur I.
3) Si f0est nulle sur Ialors fest constante sur I.
Exercice 1 Etudier le sens de variation sur Rde la fonction f:x7→ x3+3
2x2−6x+ 1.
Solution. fest une fonction polynôme de degré 3, par conséquent, fest dérivable sur R. Pour
tout x∈R, on a
f0(x) = 3x2+3
2×2x−6 = 3x2+ 3x−6.
Etude du signe de f0et déduisons-en les variations de fsur R.
f0est une fonction trinôme du second degré, on sait étudier son signe. Pour cela, on calcule son
discriminant ∆ = 9 −4×3×(−6) = 9 + 72 = 81. Ce trinôme admet donc deux racines x1et x2:
x1=−3−√81
2×3=−3−9 6=−2et x2=−3 + √81 2×3=6 6= 1.
On déduit, par le théorème, le tableau conjoint du signe de f0et des variations de la fonction f:
x−∞ −21+∞
signe de f0(x)+0−0+
var. de f
11
−5/2
fest strictement croissante sur l’intervalle ]− ∞;−2], strictement décroissante sur l’intervalle
[−2; 1] puis strictement croissante sur l’intervalle [1; +∞[.