Fiche 8 Taux d`accroissement–Dérivée–Variations d`une fonction 1

Université Paris Est Créteil
DAEU
Fiche 8
Taux d’accroissement–Dérivée–Variations d’une fonction
Dans cette fiche on découvre l’outil qui permet d’obtenir
de manière directe les variations d’une fonction !
1 Taux de variation
Un taux de variation (ou d’accroissement ou de croissance) exprime la variation d’un phénomène
entre deux instants.
Ce taux se calcule par la formule suivante :
Taux de variation =Variation phénomène
Variation temps
Exemple 1. Si on s’intéresse au déplacement d’une voiture entre deux moments t1et t2, le taux
de variation s’appelle plus communément la vitesse moyenne :
Vitesse =∆position
∆temps .
Exemple 2. Le taux d’accroissement de la population décrit le rythme d’augmentation annuel du
nombre d’individus au sein d’une population. Ce taux est positif lorsque la population augmente
et négatif lorsqu’elle diminue.
Accroissement démographique =∆population
∆temps
Exercice 1 La France comptait officiellement 63601002 habitants en 2007. Au 1er janvier 2011,
nous sommes 65,8millions d’habitants.
Calculer le taux d’accroissement sur 4 ans de la population française.
Définition. En mathématiques, lorsqu’un phénomène est représenté par une fonction numérique
f(définie sur un intervalle I), le taux de variation de fentre deux réels distincts a, b ∈Iest le
nombre réel m
m=f(b)−f(a)
b−a.
Remarque. Le taux de variation de fentre aet best à interpréter comme la "vitesse moyenne"
de fentre aet b.
Exercice 2 Soit fdéfinie par f(x) = −x2+ 3x−1. Calculer le taux de variation entre 2et 5.
Calculer le taux de variation entre −3et −1.
Exercice 3 Utilisation de la représentation graphique pour la fonction représentée par la para-
bole ci-contre :
1

•Calculer le taux de variation entre 2et 3.
•Calculer le taux de variation entre −2et −1.
•Déterminer l’équation de la droite passant par (2; 1) et
(3; 3,5).
•Que remarquez-vous ?
•Déterminer l’équation de la droite passant par (−2; 1)
et (−1; −0,5).
•Que remarquez-vous ?
Bilan. Le taux de variation d’une fonction entre aet best
le coefficient directeur de la droite passant par les points
A(a;f(a)) et B(b;f(b)).
2 Dérivée = Limite du taux de variation
Définition. Soit fune fonction numérique définie sur un intervalle Iet soit a∈I. On dit que
fest dérivable en as’il existe un nombre `∈Rtel que
lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a=`,
ce qui revient à
lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h=`.
Le nombre `est alors appelé le nombre dérivé de fen a.
Remarque. Le nombre dérivé est à interpréter comme la "vitesse instantanée" de fen a.
Définition. Si une fonction fest dérivable en tout point d’un intervalle, on peut définir sa
fonction dérivée. Elle est noté f0(lire "fprime").
Remarque. Généralement, une fonction est dérivable sur son domaine de définition, sauf peut-
être sur le bord de ce domaine. Par exemple x7→ √xest définie sur R+et dérivable sur R∗
+.
Exercice 4 Soit fla fonction définie par f(x) = x2. Pour cette fonction, calculer la limite du
taux de variation :
•au point x= 1
•en un point x=a∈Rquelconque.
Exercice 5 ?Même questions pour les fonctions suivantes :
•f(x) = αx +β
•g(x) = √x
•h(x) = 1
x.
Exercice 6 [Tangente d’une courbe en un point]
Soit fune fonction dérivable sur un intervalle Iet Cfsa courbe représentative dans un repère
orthonormé.
Soit x0∈I, alors la tangente à Cfen x0est la droite d’équation
y=f0(x0)(x−x0) + f(x0),
2

elle donne l’allure de la courbe autour du point x0: elle passe par le point (x0, f(x0)) avec la
même "vitesse".
La courbe donnée dans l’exercice 3 est celle de la fonction f(x) = x2
2−1.
1. Déterminer les équations des tangentes à cette courbe aux points d’abscisse x0=−2et
x0= 3.
2. Tracer ces tangentes.
3 Propriétés usuelles
3.1 Opérations élémentaires
Exercice 7 Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
1. f(x)=2x−3
2. f(x) = 64
3. f(x)=7x2
4. f(x) = x2+ 2x+ 1
5. f(x) = x19 −x13 + 5x4
6. f(x)=(x+ 1)(x+ 1)
7. f(x)=3√x
8. f(x) = 5
x
9. f(x)=5x−7x+ 8
Exercice 8 ?Deux mobiles Met Nse déplacent sur un axe rectiligne d’origine Oet d’unité 1m.
La position en fonction du temps t(en seconde) du point Mest donnée par OM =f(t) = 100−5t,
et celle du point Npar ON =g(t) = t2
2.
Quelles sont les vitesses des deux mobiles lorsqu’ils se rencontrent ?
3.2 Compositions
Propriété. Soit gune fonction dérivable sur un intervalle Det fune fonction dérivable sur
g(D), alors f◦gest dérivable sur Det pour x∈D:
(f◦g)0(x) = f0[g(x)] ×g0(x).
En particulier, si g(x) = ax +b, alors on a
(f◦g)0(x) = f0[ax +b]×a.
Exercice 9 Pour chacune des fonctions suivantes déterminer
3

a. Leur domaine de définition et leur domaine de dérivabilité,
b. L’expression de leur fonction dérivée.
1. Soit fla fonction définie par f(x) = √2x+ 3.
2. Soit fla fonction définie par f(x)=(x2+ 3x)(x+ 1).
3. Soit fla fonction définie par f(x) = x2+ 3x
x+ 1 .
Exercice 10 ?Même question que l’exercice précédent pour les fonctions suivantes :
1. fest la fonction définie par f(x) = rx+ 1
3x−2.
2. fest la fonction définie par f(x)=(x2+ 3x)2(x+ 1)3.
3. fest la fonction définie par f(x) = √x2+ 3
x+ 1 .
4 Dérivée et variations d’une fonction
Soit fune fonction dérivable sur un intervalle Iet f0sa dérivée.
Théorème.
•Si f0est positive sur I, alors fest croissante sur I.
•Si f0est négative sur I, alors fest décroissante sur I.
En particulier si f0est identiquement nulle sur un intervalle I, alors fest constante sur I.
Exercice 11
Après avoir donner les domaines de définition et
de dérivabilité des fonctions suivantes, reprendre
les questions précédentes :
1. f(x) = √2x−6
2. ? f(x) = x
x−1
3. ? f(x) = x−5
4x+ 1
Exercice 12 Etudier les fonctions de l’exercice 9 : dresser leur tableau de variations et donner
les limites aux bornes de leur ensemble de définition.
Exercice 13
On rappelle que l’aire de cette table (dont le périmètre est 5), en fonction
de Rest donnée par : f(R) = −(π
2+ 2)R2+ 5R
1. Pour quelles valeurs de Rla table ainsi définie existe-t-elle ? On
note Icet intervalle.
2. Déterminer les variations de fsur I.
Exercice 14
On enlève de chaque coin d’un carré d’étain de 12 cm de côté des petits
carrés de xcm de côté, puis on plie le tout pour former une boîte ou-
verte. Exprimer son volume en fonction de x. Trouver la boîte de volume
maximal.
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