Variables aléatoire

Chapitre B
Variables aléatoire
Sommaire
I) Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II) Couple de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1) Exemple de loi conjointe de 2 variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2) Exemple de loi conjointe de 2 variables aléatoires indépendantes. . . . . . . . . . . . . . . . 6
3) Exercices sur les couples de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
A.LAMIDIAUX 1IUT d’Amiens: GEA - Probabilités

Vocabulaire Variables aléatoire
I) Vocabulaire
Partons d’un exemple que nous garderons en tête dans toute cette partie : on tire une boule au hasard dans
une urne contenant une boule rouge, une boule verte et une boule bleue. On la remets dans l’urne et on effectue
un second tirage d’une boule. Chacune des boules a la même possibilité d’être choisie.
On peut réaliser le tableau suivant pour expliciter l’expérience aléatoire.
(1er tirage ; 2nd tirage) R V B
R (R ; R) (R ; V) (R ; B)
V (V ; R) (V ; V) (V ; B)
B (B ; R) (B ; V) (B ; B)
Chaque événement élémentaire a une probabilité de 1
9d’être obtenu.
On ajoute la règle suivante :
•Pour chaque boule rouge obtenue, on gagne 6 €
•Pour chaque boule verte obtenue, on gagne 1 €
•Pour chaque boule bleue obtenue, on perd 4 €.
Pour chaque tirage, on peut donc s’intéresser à la somme gagnée que l’on va noter X. On dit que l’on a défini
ainsi une variable aléatoire.
univers:
On appelle univers de la variable aléatoire X, l’ensemble des valeurs que peut prendre cette variable.
On le note Ω(X).
Dans notre exemple, on a Ω(X) = {−8; −3; 2; 7; 12}.
Loi de probabilité:
Donner la loi de probabilité d’une variable aléatoire X, c’est donner pour chaque valeur de la variable
aléatoire X, la probabilité correspondante.
Souvent, on présente ces résultats dans un tableau : k−8−3 2 7 12
P(X=k)1
9
2
9
3
9
2
9
1
9
Exercice B1 On lance deux dés équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On note Xla variable aléatoire
représentant l’écart (absolu) entre les deux faces obtenues. Donner la loi de probabilité de X.
Fonction de répartition:
La fonction de répartition de la variable aléatoire Xest la fonction x7→ P(X¶x).
Dans notre exemple : k−8−3 2 7 12
P(X¶k)1
9
3
9
6
9
8
9
9
9
On donne alors sa représentation graphique :
A.LAMIDIAUX 2IUT d’Amiens: GEA - Probabilités

Vocabulaire Variables aléatoire
1
2 4 6 8 10 12 14 16−2−4−6−8−10
Espérance mathématiques:
L’espérance mathématiques d’une variable aléatoire discrète prenant nvaleurs xiavec les probabilités pi=
P(X=xi) où 1 ¶i¶n, est :
E(X) =
n
X
i=1
pixi
Remarque:
Concrètement, l’espérance mathématique d’une variable aléatoire Xreprésente la valeur moyenne que celle-ci
prend lorsque le nombre de tirage devient très grand.
Exemple:
Dans notre exemple de cours, on a : E(X) = 1
9×(−8) + 2 9×(−3) + 3 9×2 + 2 9×7 + 1 9×12 = 2
A.LAMIDIAUX 3IUT d’Amiens: GEA - Probabilités

Vocabulaire Variables aléatoire
Propriété B1:
Soient aet bdes constantes réelles et Xune variable aléatoire d’espérance E(X):
E(aX) = aE(X)et E(X+b) = E(X) + b.
Ce qui signifie que si l’on augmente les gains de 2€, la moyenne augmente de 2 €aussi et que si l’on multiple
les gains par 2, la moyenne se trouve elle aussi multipliée par 2.
Variance & Ecart-type:
•On note V(X) la variance de la variable aléatoire X, que l’on calcule grâce à la formule :
V(X) = E(X2)−[E(X)]2
•On note σ(X) ou encore σXl’écart-type de la variable aléatoire X, que l’on trouve grâce à la formule :
σX=qV(X)
Propriété B2:
Soient a > 0et bdes constantes réelles et Xune variable aléatoire d’écart type σ(X):
σ(aX) = |a|σ(X)et σ(X+b) = σ(X).
Ce qui signifie que si l’on augmente les gains de 2€, l’écart type ne change pas et que si l’on multiple les
gains par 2, l’écart type se trouve lui aussi multipliée par 2.
Exemple:
Dans notre exemple de cours, on a : V(X) = 1
9×(−8)2+2 9×(−3)2+3 9×22+2 9×72+1 9×122−22=100 3≈33,33
σX=r100
3≈5,77
Exercice B2 Reprendre l’exercice précédent et calculer l’espérance, la variance et l’écart type de la variable aléatoire
donnée.
Exercice B3 Au cours d’une kermesse, l’animateur d’un stand dispose, dans un enclos, de douze cages peintes :
sept sont blanches, deux noires et les trois autres vertes. L’animateur place alors une souris dans l’enclos. On
suppose qu’à chaque jeu, la souris choisit d’entrer au hasard dans une cage et que tous les choix sont équiprobables.
Un joueur participe au jeu. Le règlement du jeu est le suivant :
•Si la souris entre dans une cage blanche, le joueur perd
•Si la souris entre dans une cage noire, le joueur gagne
•Si la souris entre dans une cage verte, l’animateur remet la souris dans l’enclos ; si la souris entre alors
dans une cage noire, le joueur gagne sinon il perd.
On suppose que le choix de la deuxième cage est indépendant du choix de la première.
1. Montrez que la probabilité de l’événement " le joueur gagne " est 5
24.
A.LAMIDIAUX 4IUT d’Amiens: GEA - Probabilités

Couple de variables aléatoires Variables aléatoire
2. Un joueur ne possède que 5euros qu’il verse pour participer à une partie. S’il gagne, il reçoit keuros ; sinon,
il ne reçoit rien. Soit Xla variable aléatoire prenant pour valeur la somme que possède le joueur après la
partie.
(a) Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
(b) Calculez, en fonction de k, l’espérance mathématique E(X)de la variable aléatoire X.
(c) Quelle valeur faut-il donner à kpour que le jeu soit équitable ? (c’est à dire pour que ce joueur puisse
espérer posséder 5 euros à la fin de la partie)
Exercice B4 Dans une kermesse, un jeu est organise de la façon suivante : le joueur mise 10 €puis il réalise un
tirage en deux étapes :
•1ère étape : le joueur tire au hasard un billet dans un panier. Dans ce panier, on a placé 10 billets marqués
U1et 2 billets marqués "U2.
•2ème étape : Si le joueur a obtenu un billet marqué U1, il tire alors un jeton dans une urne U1où sont
placés 10 jetons marques "Perdant" et 2 jetons marqués "Gagnant". Si le joueur a obtenu un billet marqué
"U2", il tire alors un jeton dans une urne U2où sont places 7 jetons marqués "Perdant" et 5 jetons marques
"Gagnant".
On note :
•Al’événement : Le joueur a tiré un billet "U1".
•Bl’événement : Le joueur a tiré un billet "U2".
•Gl’événement : Le joueur a tiré un jeton marque "Gagnant".
Tous les résultats seront donnes sous forme de fractions irréductibles.
1. Construire un arbre pondéré qui décrit ce jeu.
2. Calculer la probabilité des événements (G∩A) et (G∩B).
3. Montrer que p(G) = 5
24
4. Avec un jeton gagnant de l’urne U1, le joueur reçoit 25 €. Avec un jeton gagnant de l’urne U2, il reçoit
10 €. Et rien sinon. On notera Xla variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur a l’issue du jeu.
Déterminer son espérance mathématique.
II) Couple de variables aléatoires
Propriété B3:
1. Pour toutes variables aléatoires X et Y, on a E(X+Y)=E(X)+E(Y). Cette propriété est appelée addi-
tivité de l’espérance, c’est à dire que l’espérance d’une somme est la somme des espérances.
2. Á condition que les variables aléatoires X et Y soient indépendantes, on a : V(X+Y)=V(X)+V(Y).
Cette propriété est appelée additivité de la variance, c’est à dire que la variance d’une somme est la
somme des variances.
3. Dans tous les cas, il n’y a pas d’additivité des écart-types. Si σ(X)6= 0 et σ(Y)6= 0, on a : σ(X+Y)6=
σ(X) + σ(Y)
1) Exemple de loi conjointe de 2 variables aléatoires
Deux représentants A et B d’une même entreprise travaillent pour proposer des contrats à d’éventuels clients :
A est chargé de placer de nouveaux contrats à des clients de l’entreprise, tandis que B prospecte de nouveaux
clients. On note :
X : le nombre de contrats obtenus par A en un jour.
Y : le nombre de contrats obtenus par B en un jour.
Le tableau
A.LAMIDIAUX 5IUT d’Amiens: GEA - Probabilités